Affin geometria

A matematika, azon belül a geometria területén használatos az affin geometria fogalma. Két ekvivalens módon is értelmezhető.

A fogalom értelmezhető egyfelől úgy, hogy mellőzzük az euklideszi geometria metrikus fogalmait , azaz a távolságok és szögek használatát elhagyjuk, és csak a metrikafüggetlen fogalmakat használjuk, mint a párhuzamosságot. Az affin geometriát gyakran a párhuzamosok vizsgálatával azonosítják, mert alapvető tétele a Playfair-axióma. Az axióma kimondja, hogy egy adott e egyeneshez és P ponthoz található egy, és csak egy olyan egyenes, amely párhuzamos e-vel és áthalad P-n. Az alakzatok összehasonlítása az affin geometriában az affin transzformációk segítségével történik.

Másfelől a lineáris algebra fogalomkörében az affin tér egy ponthalmaz és egy transzformációhalmaz alkotta rendezett párként értelmezhető. A közös halmazban a pontok bijektív leképezések oly módon, hogy minden (P, Q) pontpárra létezik egyértelműen egy transzformáció, amely a P pontot a Q pontra képezi le. A transzformációk a függvénykompozíció műveletével vektorteret alkotnak valamely test, jellemzően a valós számtest felett.

Axiomatikus definíció

Affin geometriának nevezzük az olyan ${\mathfrak {P}}$ és ${\mathfrak {E}}$ (pont- illetve egyeneshalmazokból) képzett $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {E}})$ rendezett párokat, amelyekre adott egy $I\subset {\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {E}}$ (metszési) reláció, valamint egy $\|\subset {\mathfrak {E}}\times {\mathfrak {E}}$ (párhuzamossági) reláció a következő tulajdonságokkal:

1. Két különböző $A$ és $B$ pontra pontosan egy olyan $e$ egyenes létezik, amely mindkét pontot metszi, azaz $AIe$ és $BIe$ egyaránt fennáll. Ezt az egyenest az egyszerűség kedvéért szokás $AB$ egyenesként is emlegetni.
2. Minden egyenes legalább két pontot metsz.
3. A párhuzamossági reláció ekvivalenciareláció.
4. Egy adott $A$ ponthoz és adott $e$ egyeneshez pontosan egy olyan $e'$ egyenes létezik, amely metszi az $A$ pontot és párhuzamos az $e$ egyenessel.
5. Ha adott egy $ABC$ háromszög (három nem egy egyenesen fekvő pont), valamint két $A'$ és $B'$ úgy, hogy az $AB$ egyenes párhuzamos az $A'B'$ egyenessel, akkor létezik egy olyan $C'$ pont, amelyre az $AC$ egyenes párhuzamos az $A'C'$ egyenessel és a $BC$ egyenes párhuzamos a $B'C'$ egyenessel.

További információk

• Moussung Gábor: Affin geometria (egyetemi jegyzet)
• Vincze Csaba: Az affin geometria alapjai, Debreceni Egyetem, 2022. március 18.

Kapcsolódó szócikkek

• Affin transzformáció (affinitás)
• Affin koordináták
• Affin kombináció
• Nemeuklideszi geometria