Hiperbola (krivulja)

Definicija hiperbole pomoću udaljenosti od dviju čvrstih točaka, fokusa F₁ i F₂.

Hiperbola je krivulja u ravnini, jedna od čunjosječnica. Najčešće se definira kao skup točaka za koje se modul razlike udaljenosti do dviju čvrstih točaka ne mijenja.

Uz zadane dvije točke u ravnini, F₁ i F₂, te duljinu 2a koja simetrično leži na dužini F₁F₂ uz uvjet 2a<d(F₁, F₂), hiperbolom s fokusima (žarištima) u točkama F₁ i F₂ i velikom osi 2a nazivamo skup točaka u ravnini za koje je apsolutna vrijednost razlike udaljenosti do fokusa F₁ i F₂ jednaka 2a.

Smjesti li se središte hiperbole u ishodište O koordinatnog sustava, udaljenost /OF₁/=/OF₂/ naziva se linearnim ekscentricitetom hiperbole, e. Numerički ekscentricitet hiperbole određen je kao

$\epsilon \,={\frac {e}{a}}>1$

Jednadžba hiperbole

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Hiperbola sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava, realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

$b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}}=1$

Jednadžba hiperbole sa središtem u S(p, q)

Hiperbola sa središtem točki S određenoj koordinatama S(p, q), realnom osi 2a i imaginarnom osi 2b određena je jednadžbom

$b^{2}(x-p)^{2}-a^{2}(y-q)^{2}=a^{2}b^{2}\,$

koja se može prikazati i u segmentnom obliku

${\frac {(x-p)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-q)^{2}}{b^{2}}}=1$

Tangenta hiperbole

Tangenta hiperbole sa središtem u S(0, 0)

Tangenta hiperbole koja ima središte u ishodištu koordinatnog sustava i koja prolazi točkom T $(x_{0},y_{0})$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

$2b^{2}xdx-2a^{2}ydy=0\,$

odakle slijedi da je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}}$

te da je jednadžba tangente na hiperbolu

$y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}(x-x_{0})$

odakle se sređivanjem nalazi i drugi oblik jednadžbe tangente hiperbole

${\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1$

Tangenta hiperbole sa središtem u S(p, q)

Tangenta hiperbole koja ima središte u točki S(p, q) i koja prolazi točkom T $(x_{0},y_{0})$ na hiperboli, određena je koordinatama točke T i koeficijentom smjera tangente. Diferencirajući jednadžbu hiperbole nalazimo da je

${2b^{2}(x-p)dx-2a^{2}(y-q)dy}=0\,$

odakle slijedi da je je

$y'={\frac {dy}{dx}}=\tan \alpha \,={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}$

te se sličnim postupkom nalazi da je jednadžba tangente hiperbole

$y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}-p}{y_{0}-q}}(x-x_{0})$