משפט קושי (תורת החבורות)

בתורת החבורות, אחד המאפיינים של חבורות סופיות הוא העובדה המפתיעה שאפשר להסיק רבות על המבנה של חבורה מתוך הסדר שלה. אחת הדוגמאות המוקדמות לתופעה הזו היא משפט קושי (שגילה אוגוסטן לואי קושי ב-1845): אם $G$ חבורה סופית, אזי לכל $p$ מספר ראשוני המחלק את סדר החבורה $|G|$ קיים ב-$G$ איבר מסדר $p$.

תוצאה כללית יותר, העוסקת בקיום של תת-חבורות מכל סדר שהוא חזקה של מספר ראשוני, מנוסחת במשפטי סילו.

שימושים

למשפט יסודי זה שימוש נרחב בתורת החבורות, ודרכה גם בתחומים אחרים באלגברה, בפרט בתורת גלואה. לדוגמה, אם $f(x)$ הוא פולינום אי פריק ממעלה $p$ מעל שדה $\mathbb {F}$, אז שדה ההרחבה $\mathbb {F} [x]/(f(x))$ הוא מממד $p$, ולכן גם הממד של שדה הפיצול $K$ של $f$, המכיל את השדה הראשון, מתחלק ב-$p$. אבל לפי המשפט היסודי של תורת גלואה, הסדר של חבורת גלואה שווה לממד של $K$ מעל $\mathbb {F}$, ולכן – לפי משפט קושי – היא כוללת איבר מסדר $p$.

הוכחה

הוכחה באינדוקציה

תהי $G$ חבורה מסדר המתחלק בראשוני $p$. יש להוכיח שקיים ב-$G$ איבר מסדר $p$. ראשית יש להוכיח את המשפט לחבורות אבליות, למשל באינדוקציה על הסדר: אם $e\neq x$ הוא איבר מסדר המתחלק ב-$p$, אז יש לו חזקה מסדר $p$. אחרת, אפשר לעבור לחבורת מנה ביחס לתת-החבורה הציקלית הנוצרת על ידי $x$.

כעת נוכיח את המשפט במקרה הכללי (שוב באינדוקציה על הסדר). אם $|G|=p$ אז כל איבר לא-טריוויאלי הוא מסדר $p$ (לפי משפט לגראנז'). נניח שהטענה נכונה לכל החבורות מסדר קטן מ-$|G|$.

• מקרה א – קיים איבר $x\in G\setminus Z(G)$ עבורו $p\mid |Z_{x}|$.

(לא להתבלבל: $Z_{x}:=\{g\in G:gx=xg\}$ הוא הַמְּרַכֵּז של $x$, ואילו $Z(G):=\{z\in G:\forall g\in G,zg=gz\}$ הוא מֶרְכַּז הַחֲבוּרָה).

$Z_{x}\neq G$ כי $x\notin Z(G)$ ולכן קיים לפחות איבר אחד בחבורה שאינו ב-$Z_{x}$ לכן $|Z_{x}|<|G|$, הנחנו $p\mid |Z_{x}|$, ולפי הנחת האינדוקציה קיים איבר מסדר $p$ ב-$Z_{x}$, אבל זו תת-חבורה של $G$.

• מקרה ב – לכל איבר $x\in G\setminus Z(G)$, $p$ לא מחלק את $|Z_{x}|$. לפי משפט לגראנז' $|G|=|Z_{x}|\cdot [G:Z_{x}]$ ומשני הנתונים נובע כי $p\mid [G:Z_{x}]$. לפי משוואת המחלקות $|G|=|Z(G)|+\sum _{i\,=\,1}^{k}[G:Z_{x_{i}}]$ כאשר $x_{1},\ldots ,x_{k}$ נציגי מחלקות הצמידות שסדרן גדול מ-1, כמובן $x_{1},\ldots ,x_{k}\notin Z(G)$ כי גודל מחלקת הצמידות של איבר במרכז הוא 1. הנחנו $p\mid |G|$, הראינו $p\mid \sum _{i\,=\,1}^{k}[G:Z_{x_{i}}]$ לפי משוואת המחלקות $p\mid |Z(G)|$. $Z(G)$ חבורה אבלית לכן לפי המקרה האבלי שהוכחנו בהתחלה, קיים בה איבר מסדר $p$ וסיימנו.

הוכחה באמצעות פעולה של $Z_{p}$

נסתכל על קבוצת ה-$p$-יות של איברים שמכפלתם היא היחידה:

$A={\Big \{}(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{p-1}):g_{0}g_{1}\cdots g_{p-1}=e{\Big \}}$

מכיוון שלכל $g_{0},\ldots ,g_{p-2}$ יש השלמה יחידה לווקטור ב-$A$, גודל הקבוצה הוא $|A|=|G|^{p-1}$, המתחלק ב-$p$. אנו רוצים להוכיח קיום של איבר בקבוצה $A$ מהצורה $(g,g,\ldots ,g)$ כאשר $g\neq e$. על ידי הצמדה ב-$g_{p-1}$, קל לראות כי $g_{0}g_{1}\cdots g_{p-1}=e$ אם ורק אם $g_{p-1}g_{0}g_{1}\cdots g_{p-2}=e$. לכן נוח לחשוב על כל וקטור כמעגל של מספרים, המסודרים כמו על חוגה של טלפון ישן, ולחלק את $A$ למחלקות שקילות, כך ששני איברים ייקראו שקולים אם הם סיבוב אחד של השני.

ה"עוקץ" בהוכחה נעוץ בכך שאורך כל וקטור $(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{p-1})$ הוא ראשוני. לכן, גודל כל מחלקת שקילות חייב להיות $p$ או 1. ניתן להבין זאת מכך שאם וקטור שווה לסיבוב של $n$ צעדים של עצמו, אז הוא בהכרח שווה גם לסיבוב של $2n$ צעדים, $3n$ צעדים, וכך הלאה. אך מכיוון ש-$p$ ראשוני, ניתן להגיע לסיבוב בכל מספר של שלבים על ידי סיבוב חוזר ב-$n$ צעדים. זאת מכיוון שלכל $m<p$ קיים $a\in \mathbb {Z}$ עבורו $a\equiv m\!\!\!\!{\pmod {p}}$ (טענה זו שקולה לטענה שכל איבר בחבורה הציקלית $\mathbb {Z} _{p}$ יוצר אותה). לכן, אם קיים סיבוב של הווקטור שבו הוא חוזר לעצמו, אז בכל סיבוב הוא יחזור לעצמו, והוא מהצורה $(g,g,\ldots ,g)$.

נשים לב כי $A$ היא איחוד זר של מחלקות השקילות שלה, ולכן גודלה הוא סכום גודלי מחלקות השקילות, שגודל כל אחת מהן הוא 1 או $p$. נזכור גם ש-$p$ מחלק את גודל $|A|$ ושאנו יודעים כי קיימת מחלקת שקילות בגודל 1 - המחלקה $(e,e,\ldots ,e)$. אך אם גודל כל מחלקות השקילות האחרות היה $p$, אז $p$ לא יכול היה לחלק את $|A|$, כי סכום של מספרים המתחלקים ב-$p$ ועוד 1 לא יכול להתחלק ב-$p$. לכן, קיבלנו כי חייבת להיות לפחות עוד מחלקה בגודל 1 (למעשה חייבות להיות עוד $p-1$ כאלה), כלומר מחלקות מהצורה $(g,g,\ldots ,g)$, ולכן קיים $g$ עבורו $g^{p}=e$.