מערכת דינמית

מערכת דינמית היא מערכת שבה קיימת פונקציה המתארת את מיקומה של נקודה במרחב הסביבה כתלות בזמן, כמו בעקומה פרמטרית. דוגמאות לכך כוללות את המודלים המתמטיים המתארים את התנודה של מטוטלת, זרימת מים בצינור, תנועה אקראית של חלקיקים באוויר ומספר הדגים בכל אביב באגם (אנ'). ההגדרה הכללית ביותר מאחדת כמה מושגים במתמטיקה כגון משוואות דיפרנציאליות רגילות ותאוריה ארגודית על ידי מתן אפשרות בחירות שונות של מדידה של המרחב והזמן. זמן יכול להימדד במספרים שלמים, במספרים ממשיים או מרוכבים או יכול להיות עצם אלגברי כללי יותר, שמאבד את הזיכרון של המקור הפיזי שלו, והמרחב עשוי להיות יריעה או קבוצה מתמטית, ללא צורך במרחב-זמן חלק מבנה שהוגדר עליו.

כהגדרה מתמטית, מערכת דינמית היא מרחב טופולוגי $X$ שיש עליו פעולה רציפה, במתכונת של מערכת הומיאומורפיזמים $T_{t}:X\rightarrow X$ כך ש- $T_{t}\circ T_{t'}=T_{t+t'}$ . הפעולות $T$ מתארות התקדמות של הנקודות במרחב עם הזמן, כאשר הנקודה $x$ מגיעה בזמן $t$ למקום $T_{t}(x)$ . מערכות דינמיות מופיעות בתחומים רבים של האנליזה המתמטית, ויש להן יישומים בכל תחומי המדע.

מערכות דינמיות קלאסיות מתארות תנועה $x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))$ במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{n}$ המוכתבת על ידי מערכת של משוואות דיפרנציאליות ${\frac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})$ . שמורה של מערכת כזו היא פונקציה $H:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ שעבורה $\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}x_{i}=0$ ; אם $H(x(0))=0$ , אז $H(x(t))=0$ לכל $t$ , כך שהמערכת מוגבלת למשטח $H=0$ .

בדינמיקה סימבולית, אוסף הסדרות האינסופיות $\Sigma ^{\mathbb {Z} }$ מעל אלפבית סופי $\Sigma$ מצויד בטופולוגית המכפלה, ובאופרטור הזזה $T\colon ((x_{i})_{i\in \mathbb {Z} })\mapsto ((x_{i+1})_{i\in \mathbb {Z} })$ , ולכן מהווה מערכת דינמית בדידה. תת-הזזה היא תת-קבוצה סגורה $X\subseteq \Sigma ^{\mathbb {Z} }$ של אוסף הסדרות האינסופיות מעל אלפבית סופי $\Sigma$ (ביחס לטופולוגית המכפלה) שהיא סגורה גם תחת $T,T^{-1}$ .