נוסחת קרמר

באלגברה ליניארית, נוסחת קרמר (או כלל קרמר) היא נוסחה מפורשת לפתרון מערכת משוואות ליניאריות בעזרת דטרמיננטות. היא קרויה על שם המתמטיקאי השווייצרי גבריאל קרמר.

מבחינה חישובית הנוסחה אינה יעילה, שכן מספר הצעדים שצריך לעשות בחישוב הדטרמיננטות הרלוונטיות גדול מזה הדרוש בתהליך החילוץ של גאוס, אך יש לה חשיבות כיוון שהיא נותנת ביטוי חד-משמעי של פתרון המערכת, מה שגם מאפשר להוכיח תכונות של מטריצות ודטרמיננטות. כך למשל הנוסחה מספקת ביטוי מפורש לאיבר הכללי של מטריצה הפוכה, באופן שנובע ממנו כי מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מ-0.

נוסחת קרמר

כידוע מאלגברה ליניארית, למערכת משוואות ריבועית (כלומר, מספר המשתנים שווה למספר המשוואות) המיוצגת על ידי $\ Ax=b$ , כאשר $\ A$ היא מטריצה ריבועית, ו- $\ b$ הוא וקטור עמודה, קיים פתרון יחיד אם ורק אם $\ \det A\neq 0$ .

על פי נוסחת קרמר, הרכיב ה- $\ k$ של וקטור הפתרון $\ x$ נתון על ידי $\ x_{k}={\frac {\det A_{k}}{\det A}}$ כאשר $\ A_{k}$ היא המטריצה המתקבלת על ידי החלפת העמודה ה- $\ k$ שבמטריצה $\ A$ בווקטור $\ b$ .

דוגמה

נתונה מערכת המשוואות

${\begin{aligned}{\begin{cases}\ x\ +2y+3z=2\\4x+5y+6z=2\\7x+8y+8z=4\end{cases}}\end{aligned}}$

כלומר המערכת מיוצגת על ידי המטריצה $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&8\end{pmatrix}}$ , והווקטור $b={\begin{pmatrix}{\color {red}2}\\{\color {red}2}\\{\color {red}4}\end{pmatrix}}$ .

נחשב את הדטרמיננטות:

$\det A=\det {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&8\end{pmatrix}}=3$

$\ \det A_{1}=\det {\begin{pmatrix}{\color {red}2}&2&3\\{\color {red}2}&5&6\\{\color {red}4}&8&8\end{pmatrix}}=-12$

$\det A_{2}=\det {\begin{pmatrix}1&{\color {red}2}&3\\4&{\color {red}2}&6\\7&{\color {red}4}&8\end{pmatrix}}=18$

$\det A_{3}=\det {\begin{pmatrix}1&2&{\color {red}2}\\4&5&{\color {red}2}\\7&8&{\color {red}4}\end{pmatrix}}=-6$

והפתרון נתון על ידי ${\begin{array}{lclcl}x&=&{\frac {-12}{3}}&=&-4\\y&=&{\frac {18}{3}}&=&6\\z&=&{\frac {-6}{3}}&=&-2\end{array}}$

הוכחה

הוכחה בעזרת התכונות של פונקציית נפח

נניח כי נתונה המערכת $\ Ax=b$ . נסמן את עמודות המטריצה ב $\ \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ . הטענה כי הווקטור $\ (x_{1},\dots ,x_{n})$ פותר את המערכת היא בעצם הטענה כי $\ x_{1}\alpha _{1}+\dots +x_{n}\alpha _{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\alpha _{i}=b$ נחשוב על הדטרמיננטה כעל פונקציית נפח, המקבלת כארגומנטים את עמודות המטריצה: $\ \det A=\det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$

הדטרמיננטה $\ \det A_{k}$ מתקבלת מהחלפת העמודה ה-k בעמודה b. כלומר: $\ \det A_{k}=\det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k-1},b,\alpha _{k+1}\dots ,\alpha _{n})=\det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k-1},\sum x_{i}\alpha _{i},\alpha _{k+1},\dots ,\alpha _{n})$

מכיוון שהדטרמיננטה, כפונקציית נפח, היא ליניארית בכל רכיב, מתקבל

$\ \det A_{k}=\sum _{1}^{n}x_{i}\det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k-1},\alpha _{i},\alpha _{k+1},\dots ,\alpha _{n})$

ומתכונת פונקציית הנפח, לכל $i\neq k$ מתקיים כי $\ \det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k-1},\alpha _{i},\alpha _{k+1},\dots ,\alpha _{n})=0$ ולכן נותרנו עם

$\ \det A_{k}=x_{k}\det(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k-1},\alpha _{k},\alpha _{k+1},\dots ,\alpha _{n})=x_{k}\det A$

ולכן $\ x_{k}={\frac {\det A_{k}}{\det A}}$ .

הוכחה בעזרת הרחבת המטריצה

נניח כי נתונה מערכת לא הומוגנית:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

כאשר $\ (x_{1},\dots ,x_{n})$ הוא וקטור הפתרון (היחיד) של המערכת. לחישוב האיבר ה- $\ k$ של $\ x$ , נוסיף למערכת משוואה אחת, כך:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &\dots &\dots &a_{1n}&b_{1}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &\dots &\dots &a_{nn}&b_{n}\\0&\dots &1&\dots &0&x_{k}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\\vdots \\0\end{pmatrix}}$

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האיברים הם אפס, פרט לעמודה ה- $\ k$ ולעמודה ה- $\ n+1$ . מכיוון שהווקטור $\ x$ פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב $\ (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},-1)$ פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. טענה מאלגברה ליניארית אומרת כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי אם ורק אם הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה, ונשים לב כי המינור ה- $\ k$ הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה $\ A_{k}$ מוכפל בגורם $\ (-1)^{n-k}$ , מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה- $\ k$ יש לבצע על העמודות תמורה שהיא מחזור באורך $\ n-k+1$ . בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם $\ (-1)^{n+1+k}$ ולכן מתקבל: