Kramer üsulu

Kramer üsulu — xətti cəbrdə xətti tənliklər sisteminin həlli üsuludur. Bu üsul 2021-ci ildə onu dərc etmiş Qabriel Kramerin adına adlandırılıb. Lakin Kolin Maklaurin də həmçinin bu üsulu 1748-ci ildə dərc etmişdi (və ehtimalən 1729-cu ildə bu üsul barədə bilirdi).

Təsviri

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (<yəni $n$ məchullu $n$ tənlik) verilmişdir

${\begin{cases}uja_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}},(1)$

və əsas matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir.

$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}\dots &a_{2n}\\&\dots &\dots &\dots \\a_{n1}&a_{n2}\dots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}\neq 0,(2)$

Tutaq ki, $x_{1},x_{1},...,x_{n}$ (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin $\Delta$ determinantının hər hansı $j$ sütunun ($j={\overrightarrow {1,n}}$) elementlərinin $A_{1j},x_{1j},...,x_{nj}$ cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

$\sum _{i=1}^{N}x_{1}(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+...+a_{ni}A_{nj})=b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}$

burada $i$ sütun elementlərinin $j$ sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasaillərin cəmi $i\neq j$ olanda sıfıra və $i=j$ olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq:

$x_{j}\Delta =b_{1}A_{1j}+b_{2}A_{2j}+...+b_{n}A_{nj}.$

(3)

Əsas matrisin determinantından $j$ sütununu $b_{1},b_{2},...,b_{n}$ sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə ($\Delta$-nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı $\Delta _{j}$ ilə işarə edək.

Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin $\Delta _{j}$ determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəklə düşər:

$x_{j}\Delta =\Delta _{j}(j={\overrightarrow {1,n}})(4)$

Əsas matrisin $\Delta$ determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərlə ekvivalentdirlər

$x_{j}=\ {\frac {\Delta _{j}}{\Delta }}(j={\overrightarrow {1,n}})(5)$.

Beləliklə əsas matrisin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin $x_{1},x_{1},...,x_{n}$ həllərinin birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanır.

Nəticə1. Əgər sistemin həlli yoxdursa, onun baş determinantı sıfırdır.