הצגת המקור של הדף "משתמש:Huckbuc/התפלגות מעריכית"

{{נתוני התפלגות|
שם=שם ההתפלגות|
תמונת צפיפות=Exponential distribution pdf.png|
תמונת מצטברת=Exponential distribution cdf.png|
פרמטרים=<math> \ \lambda>0</math>|
תומך= <math>x \in [0,\infty)\!</math>|
צפיפות=<math> \,\lambda e^{-\lambda x}</math>|
מצטברת=<math> \ 1 - e^{-\lambda x}</math>|
תוחלת=<math>\lambda^{-1}\,</math>|
חציון=<math>\ln(2)/\lambda\,</math>|
שכיח=<math>0\,</math>|
שונות=<math>\lambda^{-2}\,</math>|
סטיית תקן=<math>\ \lambda^{-1} </math>|
אנטרופיה= <math>1 - \ln(\lambda)\,</math>|
מומנטים=<math>\left(1 - \frac{t}{\lambda}\right)^{-1}\,</math>|
גבנוניות=<math> \ 2</math>|
צידוד=<math>\ 6</math>
}}

ב[[תורת ההסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''התפלגות מעריכית''' (או '''התפלגות אקספוננציאלית''',Exponential Distribution), היא [[התפלגות]] רציפה על המספרים האי-שליליים.  

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת [[תכונת חוסר הזיכרון]], וככזו, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון [[רדיואקטיביות|התפרקות רדיואקטיבית]] או הזמן עד לתקלה ב[[נורה]] או ברכיב חשמלי.

== הגדרה ==
===פונקציית צפיפות===
התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, ש[[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] שלה היא
:<math>
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x} &\; x \ge 0 \\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.</math>
כאשר 
<math> \lambda > 0</math> היא הפרמטר של ההתפלגות, המכונה גם '''קצב''' או '''קבוע דעיכה'''.  ההתפלגות מתוארת לעתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר
<math> \tau = 1/\lambda > 0</math>.  במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא
:<math>
f(x) = \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{\tau} e^{-x/\tau} &\; x \ge 0 \\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.</math>

[[משתנה מקרי]] <math> X </math> המתפלג מעריכית עם פרמרטר <math> \lambda </math>
מסומן בדרך כלל <math> X \sim \textrm{exp}(\lambda) </math>.  הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר ה[[תומך (הסתברות)|תומך]] של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע <math>[0, \infty)</math>.  

===פונקציית התפלגות מצטברת===
ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות [[פונקציית הצטברות| פונקציית ההתפלגות המצטברת]] שלה, שהיא
:<math>
F(x) = \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x} &\; x \ge 0 \\
0 &\; x < 0
\end{matrix}\right.</math>

==שימושים==

ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע.  דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן
* הגעת שיחות ל[[מרכזייה|מרכזיית טלפונים]]
* פליטה של חלקיקים במהלך [[רדיואקטיביות|התפרקות רדיואקטיבית]]
* קלקולים במערכת אלקטרונית
מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעתים קרובות כ[[תהליך פואסון|תהליכי פואסון]] הומוגניים בזמן, שבהם [[זמן בין מופעי|הזמן הבין מופעי]] מתפלג מעריכית.

ב[[תורת התורים]] (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעתים לתיאור זמן השירות.  תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כ[[שרשרת מרקוב|שרשראות מרקוב]], וקל יחסית לנתח את התנהגותן.

ב[[תורת האמינות]] (Reliability Theory) וב[[ניתוח שרידות]] (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה.

ב[[פיזיקה]], הגובה של [[מולקולה|מולקולת]] [[גז]] תחת [[לחץ]] ו[[טמפרטורה]] קבועים, ותחת [[שדה כבידה]] אחיד, מתפלג בקירוב מעריכית.  דבר זה נובע מתכונת ה[[אנטרופיה]] המקסימלית המתוארת להלן.

==תכונות==
===תוחלת ושונות===
ה[[תוחלת]] של משתנה מקרי <math> X \sim \textrm{exp}(\lambda) </math>, הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא
:<math>E(X) = \frac{1}{\lambda} \!</math>
וה[[שונות]] היא
:<math>\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} \!</math>

===תכונת חוסר הזיכרון===
משתנה מקרי מעריכי הוא [[תכונת חוסר הזיכרון|חסר זיכרון]], כלומר לכל <math>s, t \ge 0 </math> מתקיים כי 
:<math>\,P(X > s + t\; |\; X > s) = P(X > t) </math> 
בניסוח אחר: אם <math>\,X \sim \textrm{exp}(\lambda) </math>, אז [[התפלגות מותנית|ההתפלגות המותנית]] של <math>\ X - s</math>, בהינתן <math>\ X > s</math>, גם היא <math>\,\textrm{exp}(\lambda) </math>.

המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון.

===שברונים===
ה[[חציון]] של משתנה מקרי <math>\,\mathrm{exp}(\lambda)</math> הוא
<math>\ln(2)/\lambda</math>.  גודל זה קרוי לעתים [[זמן מחצית החיים]].  

באופן כללי יותר, ה[[שברון]] (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא 
:<math>\,F^{-1}(p) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1 - p), \qquad 0 \leq p < 1</math>

===אנטרופיה מקסימלית===
מבין כל ההתפלגויות הרציפות על <math>[0, \infty)</math> שהתוחלת שלהן <math>\mu</math>, ההתפלגות המעריכית עם פרמטר <math>\lambda = 1/\mu</math> היא בעלת [[אנטרופיה]] מקסימלית.

===התפלגות המינימום===
אם <math>X_1, \ldots, X_n</math> הם משתנים מקריים מעריכיים [[תלות (סטטיסטיקה)|בלתי תלויים]], כך ש-
<math>X_i \sim \textrm{exp}(\lambda_i)</math>, אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר <math>\lambda_1 + \ldots + \lambda_n</math>, כלומר
:<math> \min( X_1, \cdots , X_n) \sim \exp \left( \sum_{i=1}^{n}{\lambda_i} \right)</math>
בפרט, המינימום של n משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר <math>\ \lambda</math> הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר <math> n\lambda</math>.

===התפלגות המקסימום===
המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים '''לא''' מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר.  אם <math>X_1, \ldots, X_n</math> הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש-<math>\,X_i \sim \textrm{exp}(\lambda_i)</math>, ו- <math>X = \max(X_1,\cdots,X_n)</math>, אז
:<math>P(X \leq x) = \Pi_{i=1}^{n}(1 - e^{-\lambda_i x})</math>
אם <math>\,X_i \sim \mathrm{exp}(\lambda)</math>  (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז
:<math>P(X \leq x) = (1 - e^{-\lambda x})^{n}, \qquad E(X) = \frac1{\lambda}\left(1 + \frac1{2} + \frac1{3} + \cdots + \frac1{n}\right)</math>

===פונקציית סיכון===
[[פונקציית סיכון|פונקציית הסיכון]] (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא <math>\ \lambda</math>.

==קשר להתפלגויות אחרות==

===התפלגות גאומטרית===
ההתפלגות המעריכית היא במובן מסויים [[גבול (מתמטיקה)|גבול]] של ה[[התפלגות גאומטרית|התפלגות הגאומטרית]]:  נניח שעורכים סידרה של [[ניסוי ברנולי|ניסויי ברנולי]] בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא <math> 1/n</math>, והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא <math> \lambda/n</math>.  אזי '''מספר הניסוי''' בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר <math> \lambda/n</math>), ואילו '''הזמן''' עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאין-סוף, [[התכנסות (הסתברות)|מתכנס (בהתפלגות)]] להתפלגות מעריכית עם פרמטר <math> \lambda</math>.

כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו.

אם <math> X \sim \textrm{exp}(\lambda)</math>, אז הערך השלם העליון של <math>X</math> (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל-<math>X</math>, המסומן <math>\lceil X \rceil</math>), מתפלג גאומטרית עם פרמטר <math> 1 - e^{-\lambda}</math>.

===התפלגות פואסון===
אם תופעה מסויימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים <math>\mathrm{exp}(\lambda)</math>, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג פואסונית עם פרמטר <math>\lambda t</math>.

כדוגמא קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג <math>\mathrm{exp}(\lambda)</math>, ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y שנשרפות עד זמן <math>\ t</math> מתפלג פואסונית עם פרמטר <math>\lambda t</math>, כלומר 
:<math>\ P( Y = y) = \frac{ e^{-\lambda t} (\lambda t)^y}{y!}</math>

תהליך שכזה נקרא [[תהליך פואסון]] הומוגני בזמן.

===התפלגות גמא והתפלגות ארלנג===
ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של [[התפלגות גמא]]: משתנה מקרי 
<math>\mathrm{Gamma}(\lambda, 1)</math>
(כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי <math>\mathrm{exp}(\lambda)</math>.  היות שהתפלגות גמא עם פרמטר צורה [[מספר שלם|שלם]] נקראת לעתים [[התפלגות ארלנג]], ההתפלגות המעריכית היא גם מקרה פרטי של התפלגות ארלנג.

הסכום של n משתנים מקריים בלתי תלויים <math>\mathrm{exp}(\lambda)</math> מתפלג <math>\mathrm{Gamma}(\lambda, n)</math>.

===התפלגות אחידה===
אם U הוא משתנה מקרי רציף [[התפלגות אחידה|המתפלג אחיד]] על הקטע <math>(0,1)</math>, אז
:<math> -\frac{\ln(U)}{\lambda}\sim \mathrm{exp}(\lambda)</math>
על בסיס תוצאה זו ניתן לחולל ("להגריל") מספרים מקריים מעריכיים, לצרכי [[סימולציה ממוחשבת]].

===התפלגות כי בריבוע===
ההתפלגות המעריכית עם פרמטר <math>\lambda = 1/2</math> היא מקרה פרטי של [[התפלגות כי בריבוע]]: משתנה מקרי <math>\chi^2_2</math> (כלומר עם שתי דרגות חופש) הוא משתנה מקרי <math>\mathrm{exp}(1/2)</math>.

===התפלגות וייבול===
ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של [[התפלגות וייבול]]: משתנה מקרי 
<math>\mathrm{Weibull}(\lambda, 1)</math>
(כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי <math>\mathrm{exp}(\lambda)</math>.

===התפלגות לפלס===
[[התפלגות לפלס]], הקרויה גם "התפלגות מעריכית כפולה", היא ההתפלגות של ההפרש בין שני משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר.  כלומר, אם <math>X_1, X_2, \sim \mathrm{exp}(\lambda)</math> הם בלתי תלויים, אז <math>X_1 - X_2</math> מתפלג התפלגות לפלס.

==אמידה==
בהינתן מדגם <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> של תצפיות בלתי תלויות מהתפלגות מעריכית בעלת פרמטר לא ידוע <math>\lambda</math>, [[אומד נראות מירבית|אומד הנראות המירבית]] הוא ההופכי של ממוצע התצפיות, כלומר
:<math>\widehat{\lambda} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n x_i}</math>

אותו אומד בדיוק מתקבל גם ב[[שיטת המומנטים]].

{{התפלגות}}

<nowiki>[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]</nowiki>

[[en:Exponential distribution]]
[[bn:সূচকীয় বিন্যাস]]
[[cs:Exponenciální rozdělení]]
[[de:Exponentialverteilung]]
[[es:Distribución exponencial]]
[[et:Eksponentjaotus]]
[[eu:Banakuntza esponentzial]]
[[fa:توزیع نمایی]]
[[fi:Eksponenttijakauma]]
[[fr:Loi exponentielle]]
[[hu:Exponenciális eloszlás]]
[[it:Variabile casuale esponenziale negativa]]
[[ja:指数分布]]
[[nl:Exponentiële verdeling]]
[[nov:Exponential distributione]]
[[pl:Rozkład wykładniczy]]
[[pt:Distribuição exponencial]]
[[ru:Экспоненциальное распределение]]
[[simple:Exponential distribution]]
[[su:Sebaran eksponensial]]
[[sv:Exponentialfördelning]]
[[tr:Üstel dağılım]]
[[uk:Експоненційний розподіл]]
[[vi:Phân phối mũ]]
[[zh:指数分布]]