משתמש:Huckbuc/התפלגות מעריכית

שם ההתפלגות

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \lambda >0$
תומך	$x\in [0,\infty )\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\,\lambda e^{-\lambda x}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\ 1-e^{-\lambda x}$
תוחלת	$\lambda ^{-1}\,$
סטיית תקן	$\ \lambda ^{-1}$
חציון	$\ln(2)/\lambda \,$
ערך שכיח	$0\,$
שונות	$\lambda ^{-2}\,$
אנטרופיה	$1-\ln(\lambda )\,$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,$
צידוד	$\ 6$
גבנוניות	$\ 2$

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות מעריכית (או התפלגות אקספוננציאלית,Exponential Distribution), היא התפלגות רציפה על המספרים האי-שליליים.

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, וככזו, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון התפרקות רדיואקטיבית או הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי.

הגדרה

פונקציית צפיפות

התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.$

כאשר $\lambda >0$ היא הפרמטר של ההתפלגות, המכונה גם קצב או קבוע דעיכה. ההתפלגות מתוארת לעתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר $\tau =1/\lambda >0$. במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\tau }}e^{-x/\tau }&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.$

משתנה מקרי $X$ המתפלג מעריכית עם פרמרטר $\lambda$ מסומן בדרך כלל $X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$. הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע $[0,\infty )$.

פונקציית התפלגות מצטברת

ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה, שהיא

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.$

שימושים

ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע. דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן

• הגעת שיחות למרכזיית טלפונים
• פליטה של חלקיקים במהלך התפרקות רדיואקטיבית
• קלקולים במערכת אלקטרונית

מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעתים קרובות כתהליכי פואסון הומוגניים בזמן, שבהם הזמן הבין מופעי מתפלג מעריכית.

בתורת התורים (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעתים לתיאור זמן השירות. תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כשרשראות מרקוב, וקל יחסית לנתח את התנהגותן.

בתורת האמינות (Reliability Theory) ובניתוח שרידות (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה.

בפיזיקה, הגובה של מולקולת גז תחת לחץ וטמפרטורה קבועים, ותחת שדה כבידה אחיד, מתפלג בקירוב מעריכית. דבר זה נובע מתכונת האנטרופיה המקסימלית המתוארת להלן.

תכונות

תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי $X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$, הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא

$E(X)={\frac {1}{\lambda }}\!$

והשונות היא

$\mathrm {Var} (X)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\!$

תכונת חוסר הזיכרון

משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל $s,t\geq 0$ מתקיים כי

$\,P(X>s+t\;|\;X>s)=P(X>t)$

בניסוח אחר: אם $\,X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$, אז ההתפלגות המותנית של $\ X-s$, בהינתן $\ X>s$, גם היא $\,{\textrm {exp}}(\lambda )$.

המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה.

ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון.

שברונים

החציון של משתנה מקרי $\,\mathrm {exp} (\lambda )$ הוא $\ln(2)/\lambda$. גודל זה קרוי לעתים זמן מחצית החיים.

באופן כללי יותר, השברון (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא

$\,F^{-1}(p)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-p),\qquad 0\leq p<1$

אנטרופיה מקסימלית

מבין כל ההתפלגויות הרציפות על $[0,\infty )$ שהתוחלת שלהן $\mu$, ההתפלגות המעריכית עם פרמטר $\lambda =1/\mu$ היא בעלת אנטרופיה מקסימלית.

התפלגות המינימום

אם $X_{1},\ldots ,X_{n}$ הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים, כך ש- $X_{i}\sim {\textrm {exp}}(\lambda _{i})$, אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר $\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}$, כלומר

$\min(X_{1},\cdots ,X_{n})\sim \exp \left(\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}\right)$

בפרט, המינימום של n משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר $\ \lambda$ הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר $n\lambda$.

התפלגות המקסימום

המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים לא מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר. אם $X_{1},\ldots ,X_{n}$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש-$\,X_{i}\sim {\textrm {exp}}(\lambda _{i})$, ו- $X=\max(X_{1},\cdots ,X_{n})$, אז

$P(X\leq x)=\Pi _{i=1}^{n}(1-e^{-\lambda _{i}x})$

אם $\,X_{i}\sim \mathrm {exp} (\lambda )$ (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז

$P(X\leq x)=(1-e^{-\lambda x})^{n},\qquad E(X)={\frac {1}{\lambda }}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)$

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא $\ \lambda$.

קשר להתפלגויות אחרות

התפלגות גאומטרית

ההתפלגות המעריכית היא במובן מסויים גבול של ההתפלגות הגאומטרית: נניח שעורכים סידרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא $1/n$, והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא $\lambda /n$. אזי מספר הניסוי בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר $\lambda /n$), ואילו הזמן עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאין-סוף, מתכנס (בהתפלגות) להתפלגות מעריכית עם פרמטר $\lambda$.

כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו.

אם $X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )$, אז הערך השלם העליון של $X$ (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל-$X$, המסומן $\lceil X\rceil$), מתפלג גאומטרית עם פרמטר $1-e^{-\lambda }$.

התפלגות פואסון

אם תופעה מסויימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים $\mathrm {exp} (\lambda )$, אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t מתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda t$.

כדוגמא קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג $\mathrm {exp} (\lambda )$, ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y שנשרפות עד זמן $\ t$ מתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda t$, כלומר

$\ P(Y=y)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{y}}{y!}}$

תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון הומוגני בזמן.

התפלגות גמא והתפלגות ארלנג

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי $\mathrm {Gamma} (\lambda ,1)$ (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי $\mathrm {exp} (\lambda )$. היות שהתפלגות גמא עם פרמטר צורה שלם נקראת לעתים התפלגות ארלנג, ההתפלגות המעריכית היא גם מקרה פרטי של התפלגות ארלנג.

הסכום של n משתנים מקריים בלתי תלויים $\mathrm {exp} (\lambda )$ מתפלג $\mathrm {Gamma} (\lambda ,n)$.

התפלגות אחידה

אם U הוא משתנה מקרי רציף המתפלג אחיד על הקטע $(0,1)$, אז

$-{\frac {\ln(U)}{\lambda }}\sim \mathrm {exp} (\lambda )$

על בסיס תוצאה זו ניתן לחולל ("להגריל") מספרים מקריים מעריכיים, לצרכי סימולציה ממוחשבת.

התפלגות כי בריבוע

ההתפלגות המעריכית עם פרמטר $\lambda =1/2$ היא מקרה פרטי של התפלגות כי בריבוע: משתנה מקרי $\chi _{2}^{2}$ (כלומר עם שתי דרגות חופש) הוא משתנה מקרי $\mathrm {exp} (1/2)$.

התפלגות וייבול

ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות וייבול: משתנה מקרי $\mathrm {Weibull} (\lambda ,1)$ (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי $\mathrm {exp} (\lambda )$.

התפלגות לפלס

התפלגות לפלס, הקרויה גם "התפלגות מעריכית כפולה", היא ההתפלגות של ההפרש בין שני משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר. כלומר, אם $X_{1},X_{2},\sim \mathrm {exp} (\lambda )$ הם בלתי תלויים, אז $X_{1}-X_{2}$ מתפלג התפלגות לפלס.

אמידה

בהינתן מדגם $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ של תצפיות בלתי תלויות מהתפלגות מעריכית בעלת פרמטר לא ידוע $\lambda$, אומד הנראות המירבית הוא ההופכי של ממוצע התצפיות, כלומר

${\widehat {\lambda }}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}$

אותו אומד בדיוק מתקבל גם בשיטת המומנטים.

[[קטגוריה:התפלגויות רציפות]]