Principio de Hasse

En matemáticas, o principio local-global de Helmut Hasse, é a idea de que se pode atopar unha solución en enteiros dunha ecuación utilizando o teorema chinés dos restos para unir solucións módulo potencias de cada número primo diferente. Isto faise examinando a ecuación no completamento dos números racionais: os números reais e os números p-ádicos.

Intuición

Dado un polinomio con coeficientes racionais, se ten unha solución racional, daquela tamén produce unha solución real e unha solución p-ádica, xa que os racionais incorporan os reais e os p-ádicos: unha solución global produce solucións locais para cada primo. O principio de Hasse cuestiona cando se pode facer o contrario, ou visto desde outro punto de vista, cal é a obstrución, cando se poden unir solucións sobre os reais e os p-ádicos para producir unha solución sobre os racionais? cando se poden unir solucións locais para formar unha solución global?

Un pode cuestionarse este punto tamén para outros anéis ou corpos: enteiros ou corpos de números alxébrico. Para corpos de números alxébricos úsanse mergullos (embeddings) complexos e ${\mathfrak {p}}$-ádicos para ideais primos ${\mathfrak {p}}$.

Exemplo

Consideramos o polinomio $f(x)=x^{3}-2x+17$. Para determinar se ten solucións enteiras traballamos en módulo 5 e obtemos

${\overline {f}}(x)=x^{3}+3x+2$ e comprobamos que non ten solucións en $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ (fácil pois só temos que comprobar 5 valores. Como non temos solucións localmente en $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ daquela non temos solucións globalmente en $\mathbb {Z}$.

Nota: A implicación no outro sentido non ten por qué ser certa, a existencia dunha solución local non implica necesariamente solución global.

As formas que representan cero

Formas cadráticas

O teorema de Hasse–Minkowski declara que o principio local-global cúmprese para o problema da representación do 0 por formas cadráticas sobre os números racionais (este é o resultado de Minkowski); e máis xeralmente sobre calquera corpo numérico (camo probou Hasse), cando un utiliza todas as condicións necesarias apropiadas do corpo local. O teorema de Hasse en extensións cíclicas afirma que o principio local-global aplica á condición de ser unha norma relativa para unha extensión cíclica dos corpos de números alxébricos.

Formas cúbicas

Un contraexemplo de Ernst S. Selmer mostra que o teorema de Hasse–Minkowski non pode ser estendido a formas de grao 3. A ecuación cúbica 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 ten unha solución en números reais, e en tódolos corpos p-ádicos, mais non ten solución non trivial na que x, y, e z son tódolos números racionais.

Roger Heath-Marrón mostrou que toda forma cúbica sobre os enteiros en polo menos 14 variábeis representa 0, mellorando os resultados anteriores de Davenport. Xa que cada forma cúbica sobre os números p-ádicos con polo menos dez variábeis representa 0, o principio local-global cúmprese para formas cúbicas sobre os racionais en polo menos 14 variábeis.

Segundo unha idea de Manin, as obstrucións ao principio de Hasse que se cumpren para formas cúbicas pode relacionarse coa teoría do grupo de Brauer; isto é a obstrución de Brauer–Manin, que explica completamente o fracaso do principio de Hasse para algunhas clases de variedades. No entanto, Skorobogatov demostrou que a obstrución de Brauer-Manin non pode explicar tódolos fallos do principio de Hasse.

Formas de grao máis alto

Os contraexemplos de Fujiwara e Sudo mostran que o teorema de Hasse–Minkowski non é extensíbel a formas de grao $10n+5$, onde n é un enteiro non negativo.

Doutra banda, o teorema de Birch mostra que se d é calquera número natural impar, daquela hai un número N(d) tal que calquera forma de grao d en máis de N(d) variábeis representa 0, e o principio de Hasse cúmprese trivialmente.

Teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether

O Teorema_de_Albert-Brauer-Hasse-Noether estabelece un principio local-global local para a descomposición dunha álxebra simple central A sobre un corpo numérico alxébrico K. O teorema di que se A descompón sobre cada completamento K_v entón é isomórfica a unha álxebra de matrices sobre K.

Principio de Hasse Principio para grupos alxébricos

O principio de Hasse principio para grupos alxébricos afirma que se G é un grupo alxébrico sinxelamente-conectado definido sobre o corpo global k daquela o mapa

$H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)$

é inxectivo, onde o produto é sobre todos os lugares s of k.

O principio de Hasse para grupos ortogonais está estreitamente relacionado co principio de Hasse para as formas cadráticas correspondentes.

Kneser (1966) e varios outros verificaron o principio de Hasse con probas caso por caso para cada grupo. O último caso foi o grupo E₈, que só foi completado por Chernousov (1989) moitos anos despois dos outros casos.

O principio de Hasse para os grupos alxébricos usouse nas probas da conxectura de Weil para os números de Tamagawa e o teorema de aproximación forte.

Véxase tamén

Bibliografía

• Chernousov, V. I. (1989). The Hasse principle for groups of type E8. Soviet Math. Dokl. 39. pp. 592–596. MR 1014762. 
• Kneser, Martin (1966). "Hasse principle for H¹ of simply connected groups". Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colo., 1965). Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 159–163. MR 0220736. 
• Serge Lang (1997). Survey of Diophantine geometry. Springer-Verlag. pp. 250–258. ISBN 3-540-61223-8. 
• Alexei Skorobogatov (2001). Torsors and rational points. Cambridge Tracts in Mathematics 144. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 1–7,112. ISBN 0-521-80237-7. 

Outros artigos

• Análise local
• Teorema de Grunwald–Wang
• Conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz

Outras ligazóns

• PlanetMath article Arquivado 2004-03-13 en Wayback Machine.
• Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes
• J. Franklin, Global and local, Mathematical Intelligencer 36 (4) (Dec 2014), 4–9.