Saltar ao contido

Mergullo (matemáticas)

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.

Cando algún obxecto se di que está mergullado noutro obxecto , o mergullo vén dado por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura . O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal e son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.

O feito de que un mapa é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" . [1] (por outra parte, esta notación ás veces resérvase para as inxeccións canónicas (función inclusión).

Dados e , poden darse varios mergullos diferentes de en . En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio coa súa imaxe contida en , así que .

Topoloxía e xeometría

[editar | editar a fonte]

Topoloxía xeral

[editar | editar a fonte]

En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe.[2] Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo entre espazos topolóxicos e é un mergullo topolóxico se produce un homeomorfismo entre e (onde leva a topoloxía relativa herdada de ). Intuitivamente logo, o mergullo permítenos tratar como subespazo de . Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado .

Para un espazo determinado , a existencia dun mergulo é unha invariante topolóxica de . Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

Definicións relacionadas

[editar | editar a fonte]

Se o dominio dunha función é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función localmente inxectiva nun punto se existe algunha veciñanza deste punto tal que a restrición é inxectiva. Chámase localmente inxectiva se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un mergullo local topolóxico é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio

Topoloxía diferencial

[editar | editar a fonte]

En topoloxía diferencial: Sexan e variedades suaves e un mapa suave. Daquela chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). [3]

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto hai unha veciñanza tal que é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é . O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño para unha mergullo, en canto á dimensión de . O teorema do mergullo de Whitney [4] afirma que é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real de dimensión , onde é unha potencia de dous, esixe que sexa para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, pode estar inmerso en como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).

Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana

[editar | editar a fonte]

Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan e variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que é igual á regresión de por , é dicir . Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera temos

Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).[5]

En xeral, para unha categoría alxébrica , un mergullo entre dúas -estruturas alxébricas e é un -morfismo que é inxectivo.

Teoría de corpos

[editar | editar a fonte]

Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo nun corpo é un homomorfismo de anéis .

O kernel de é un Ideal de , que non pode ser todo o corpo , por mor da condición . Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é , polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, é isomorfo ao subcorpo de . Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.

Álxebra universal e teoría de modelos

[editar | editar a fonte]

Se é unha sinatura e son -estruturas (tamén chamadas -álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa é un -mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

  • é inxectivo,
  • para cada símbolo de argumentos e temos ,
  • para cada símbolo de relación de argumentos e temos se

Aquí é unha notación de teoría de modelos equivalente a . Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

Teoría da orde e teoría do dominio

[editar | editar a fonte]

Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función entre conxuntos parcialmente ordenados e tal que

A inxectividade de obtense rapidamente desta definición.

Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que

é un conxunto dirixido.

Espazos métricos

[editar | editar a fonte]

Un mapa de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión ) se

para todo e algunha constante .

Espazos normados

[editar | editar a fonte]

Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita é, cal é a dimensión máxima tal que o espazo de Hilbert pódese mergullar linearmente en con distorsión constante?

A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.

Teoría de categorías

[editar | editar a fonte]

Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).


  1. "Arrows – Unicode" (PDF). Consultado o 2017-02-07. 
  2. Hocking & Young 1988. Sharpe 1997.
  3. Bishop & Crittenden 1964. Bishop & Goldberg 1968. Crampin & Pirani 1994. do Carmo 1994. Flanders 1989. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004. Kobayashi & Nomizu 1963. Kosinski 2007. Lang 1999. Lee 1997. Spivak 1999. Warner 1983.
  4. Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680
  5. Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]