Distribución de Bernoulli

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Bernoulli

Función de masa de probabilidade
Función de distribución
Parámetros	$0<p<1,p\in \mathbb {R}$
Soporte	$k=\{0,1\}\,$
Función de densidade	${\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{para }}k=0\\p~~&{\mbox{para }}k=1\end{matrix}}$
Función de distribución	${\begin{matrix}0&{\mbox{para }}k<0\\q&{\mbox{para }}0\leq k<1\\1&{\mbox{para }}k\geq 1\end{matrix}}$
Media	$p\,$
Mediana
Moda	${\begin{matrix}0&{\mbox{si }}q>p\\0e1&{\mbox{si }}q=p\\1&{\mbox{si }}q<p\end{matrix}}$
Varianza	$pq\,$
Asimetría	${\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}$
Curtose	${\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$
Entropía	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
F. xeradora de momentos	$q+pe^{t}\,$
Func. caract.	$q+pe^{it}\,$

En teoría da probabilidade e estatística, a distribución de Bernoulli é unha distribución de probabilidade discreta, que toma valor 1 para a probabilidade de éxito ($p$) e valor 0 para a probabilidade de fracaso ($q=1-p$). Recibe o nome polo matemático e científico suízo Jakob Bernoulli.

Se $X$ é unha variable aleatoria que mide o "número de éxitos", e se realiza un único experimento con dous posibles resultados (éxito ou fracaso), dise que a variable aleatoria $X\,$ se distribúe como unha Bernoulli de parámetro $p\,$.

$X\sim Be(p)\,$

A súa función de probabilidade vén definida por:

$f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}\,\qquad {\text{ con }}\,x=\{0,1\}\,$

A fórmula é:

$f\left(x;p\right)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{si }}x=1,\\q&{\mbox{si }}x=0,\\0&{\mbox{en calquera outro caso}}\end{matrix}}\right.$

Un experimento ao que se aplica a distribución de Bernoulli coñécese como ensaio de Bernoulli, e a serie deses experimentos como ensaios repetidos.

Por exemplo, no experimento "Lanzar unha moeda", a variable aleatoria X que mide "número de cruces que saen nun lanzamento" seguirá unha distribución de Bernoulli ($X\sim Be(0,5)$)

Propiedades características

Jakob Bernoulli.

• Esperanza matemática:

$E\left[X\right]=p=u$

• Varianza:

$var\left[X\right]=p\left(1-p\right)=pq$

• Función xeratriz de momentos:

$\left(q+pe^{t}\right)$

• Función característica:

$\left(q+pe^{it}\right)$

• Moda:

0 se q > p (hai máis fracasos que éxitos)

1 se q < p (hai máis éxitos que fracasos)

0 e 1 se q = p (os dous valores, pois hai igual número de fracasos que de éxitos)

• Asimetría:

$\gamma _{1}={\frac {q-p}{\sqrt {qp}}}$

• Curtose:

$\gamma _{2}={\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}$

A curtose tende a infinito para valores de $p$ próximos a 0 ou a 1, pero para $p={\frac {1}{2}}$ a distribución de Bernoulli ten un valor de curtose menor que o de calquera outra distribución, igual a -2.

• Caracterización por a binomial:

$X\sim Be(p)\Longleftrightarrow X\sim B(1,p)\,$ ; onde $B(1,p)\,$ é unha distribución binomial.

Distribucións relacionadas

• Se $X_{1},X_{2},X_{3},\dots ,X_{n}$ son $n$ variables aleatorias identicamente distribuídas coa distribución de Bernoulli coa mesma probabilidade de éxito $p$ en todas, entón a variable aleatoria $X=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}$ presenta unha distribución binomial de probabilidade.

$X\sim B(n,p)$

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución binomial
• Distribución xeométrica, a distribución de probabilidade do número de ensaios de Bernoulli necesarios para obter un éxito.