Mergullo (matemáticas)

En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.

Cando algún obxecto $X$ dise que está mergullado noutro obxecto $Y$, o mergullo vén dada por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura $f:X\rightarrow Y$. O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal $X$ e $Y$ son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.

O feito de que un mapa $f:X\rightarrow Y$ é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" $f:X\hookrightarrow Y.$. (por outra parte, esta notación ás veces reservase para as inxeccións canónicas (función inclusión).

Dado $X$ e $Y$, poden darse varios mergullos diferentes de $X$ en $Y$. En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio $X$ coa súa imaxe $f(X)$ contida en $Y$, así que $X\subseteq Y$.

Topoloxía e xeometría

Topoloxía xeral

En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe. Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo $f:X\to Y$ entre espazos topolóxicos $X$ e $Y$ é un mergullo topolóxico se $f$ produce un homeomorfismo entre $X$ e $f(X)$ (onde $f(X)$ leva a topoloxía relativa herdada de $Y$). Intuitivamente logo, o mergullo $f:X\to Y$ permítenos tratar $X$ como subespazo de $Y$. Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe $f(X)$ non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado $Y$.

Para un espazo determinado $Y$, a existencia dun mergulo $X\to Y$ é un invariante topolóxico de $X$. Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.

Definicións relacionadas

Se o dominio dunha función $f:X\to Y$ é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función localmente inxectiva nun punto se existe algunha veciñanza $U$ deste punto tal que a restrición $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$ é inxectiva. Chámase localmente inxectiva se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un mergullo local topolóxico é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).

Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva $f:X\to Y$ é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio $X.$

Topoloxía diferencial

En topoloxía diferencial: Sexan $M$ e $N$ variedades suaves e $f:M\to N$ un mapa suave. Daquela $f$ chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe).

Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto $x\in M$ hai unha veciñanza $x\in U\subset M$ tal que $f:U\to N$ é un mergullo.

Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.

Un caso importante é $N=\mathbb {R} ^{n}$. O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño $n$ para unha mergullo, en canto á dimensión $m$ de $M$. O teorema do mergullo de Whitney afirma que $n=2m$ é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{m}$ de dimensión $m$, onde $m$ é unha potencia de dous, esixe que sexa $n=2m$ para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ pode estar inmerso en $\mathbb {R} ^{3}$ como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).

Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana

Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan $(M,g)$ e $(N,h)$ variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave $f:M\rightarrow N$ que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que $g$ é igual á regresión de $h$ por $f$, é dicir $g=f^{*}h$. Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera $v,w\in T_{x}(M)$ temos

$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$

Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).

Álxebra

En xeral, para unha categoría alxébrica $C$, un mergullo entre dúas $C$-estruturas alxébricas $X$ e $Y$ é un $C$-morfismo $e:X\rightarrow Y$ que é inxectivo.

Teoría de corpos

Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo $E$ nun corpo $F$ é un homomorfismo de anéis $\sigma :E\rightarrow F$.

O kernel de $\sigma$ é un Ideal de $E$, que non pode ser todo o corpo $E$, por mor da condición $1=\sigma (1)=1$. Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é $0$, polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, $E$ é isomorfo ao subcorpo $\sigma (E)$ de $F$. Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.

Álxebra universal e teoría de modelos

Se $\sigma$ é unha sinatura e $A,B$ son $\sigma$-estruturas (tamén chamadas $\sigma$-álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa $h:A\to B$ é un $\sigma$-mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:

• $h$ é inxectivo,
• para cada símbolo de $n$ argumentos $f\in \sigma$ e $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ temos $h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))$ ,
• para cada símbolo de relación de $n$ argumentos $R\in \sigma$ e $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},$ temos $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ se $B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).$

Aquí $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ é unha notación de teoría de modelos equivalente a $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}$. Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.

Teoría da orde e teoría do dominio

Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función $F$ entre conxuntos parcialmente ordenados $X$ e $Y$ tal que

$\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).$

A inxectividade de $F$ obtense rapidamente desta definición.

Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que

$\forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}$ é un conxunto dirixido.

Espazos métricos

Un mapa $\phi :X\to Y$ de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión $C>0$) se

$Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)$

para todo $x,y\in X$ e algunha constante $L>0$.

Espazos normados

Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.

Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita $(X,\|\cdot \|)$ é, cal é a dimensión máxima $k$ tal que o espazo de Hilbert $\ell _{2}^{k}$ pódese mergullar linearmente en $X$ con distorsión constante?

A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.

Teoría de categorías

Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).

Véxase tamén

Bibliografía

• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3. 
• Bishop, Richard Lawrence; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6. 
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2. 
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0. 
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4. 
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. 
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience. 
• Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. 
• Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9. .
• Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5. 
• Warner, Frank Wilson (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3. .

Outros artigos

• Inmersión (matemáticas)
• Subvariedade
• Cobertura

Ligazóns externas

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). 
• Embedding of manifolds on the Manifold Atlas.