Mergullo (matemáticas): Diferenzas entre revisións
Engade 3 libros para verificar (20240712)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
|||
Liña 102: | Liña 102: | ||
* {{cita libro| first=Frank Wilson| last = Warner |authorlink = Frank Wilson Warner| title = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | url=https://archive.org/details/foundationsofdif0000warn| publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1983| isbn = 0-387-90894-3}}. |
* {{cita libro| first=Frank Wilson| last = Warner |authorlink = Frank Wilson Warner| title = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | url=https://archive.org/details/foundationsofdif0000warn| publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1983| isbn = 0-387-90894-3}}. |
||
=== Outros artigos === |
=== Outros artigos === |
||
*[[ |
*[[Inmersión (matemáticas)]] |
||
*[[Subvariedade]] |
*[[Subvariedade]] |
||
*[[Cobertura (álgebra)|Cobertura]] |
*[[Cobertura (álgebra)|Cobertura]] |
||
=== Ligazóns externas === |
=== Ligazóns externas === |
||
*{{cita libro|last=Adámek|first=Jiří|author2=Horst Herrlich |author3=George Strecker |title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|year=2006}} |
*{{cita libro|last=Adámek|first=Jiří|author2=Horst Herrlich |author3=George Strecker |title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|year=2006}} |
Revisión como estaba o 24 de agosto de 2024 ás 18:24
En matemáticas, un mergullo é unha instancia dalgunha estrutura matemática contida dentro doutra instancia, como por exemplo un subgrupo que como índica o nome está incluído nun grupo.
Cando algún obxecto dise que está mergullado noutro obxecto , o mergullo vén dada por algún mapa inxectivo e preservador da estrutura . O significado preciso de "preservar a estrutura" depende do tipo de estrutura matemática da cal e son instancias. Na terminoloxía da teoría de categorías, un mapa que preserva a estrutura chámase morfismo.
O feito de que un mapa é un mergullo adoita indicarse mediante o uso dunha "frecha con gancho" . [1] (por outra parte, esta notación ás veces reservase para as inxeccións canónicas (función inclusión).
Dado e , poden darse varios mergullos diferentes de en . En moitos casos de interese existe un mergullo estándar (ou "canónico"), como o dos números naturais nos números enteiros, os enteiros nos números racionais, os números racionais nos números reais e os números reais nos números complexos. Nestes casos é habitual identificar o dominio coa súa imaxe contida en , así que .
Topoloxía e xeometría
Topoloxía xeral
En topoloxía xeral, un mergullo é un homeomorfismo na súa imaxe.[2] Máis explicitamente, un mapa continuo inxectivo entre espazos topolóxicos e é un mergullo topolóxico se produce un homeomorfismo entre e (onde leva a topoloxía relativa herdada de ). Intuitivamente logo, o mergullo permítenos tratar como subespazo de . Todo mergullo é inxectivo e continuo. Todo mapa que é inxectivo, continuo e aberto ou pechado é un mergullo; porén tamén hai mergullos que non están nin abertos nin pechados. Isto último ocorre se a imaxe non é un conxunto aberto nin un conxunto pechado .
Para un espazo determinado , a existencia dun mergulo é un invariante topolóxico de . Isto permite distinguir dous espazos se un é capaz de mergullarse nun espazo mentres que o outro non.
Definicións relacionadas
Se o dominio dunha función é un espazo topolóxico, entón dise que é unha función localmente inxectiva nun punto se existe algunha veciñanza deste punto tal que a restrición é inxectiva. Chámase localmente inxectiva se é localmente inxectiva en cada punto do seu dominio. Do mesmo xeito, un mergullo local topolóxico é unha función para a cal cada punto do seu dominio ten algunha veciñanza na que a súa restrición é un mergullo (topolóxico, resp. suave).
Toda función inxectiva é localmente inxectiva mais non á inversa. Os difeomorfismos locais, os homeomorfismos locais e as inmersións suaves son todas funcións localmente inxectivas que non son necesariamente inxectivas. O teorema da función inversa dá unha condición suficiente para que unha función continuamente derivable sexa (entre outras cousas) localmente inxectiva. Cada fibra dunha función localmente inxectiva é necesariamente un subespazo discreto do seu dominio
Topoloxía diferencial
En topoloxía diferencial: Sexan e variedades suaves e un mapa suave. Daquela chámase inmersión se a súa derivada (ou pulo diferencial) é inxectiva en tódalas partes. Un mergullo, ou un mergullo suave, defínese como unha inmersión que é un mergullo no sentido topolóxico mencionado anteriormente (é dicir, homeomorfismo na súa imaxe). [3]
Noutras palabras, o dominio dun mergullo é difeomorfo á súa imaxe e, en particular, a imaxe dun mergullo debe ser unha subvariedade. Un mergullo é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto hai unha veciñanza tal que é un mergullo.
Cando a variedade de dominio é compacta, a noción de mergullo suave é equivalente á de inmersión inxectiva.
Un caso importante é . O interese aquí está en saber como debe ser o tamaño para unha mergullo, en canto á dimensión de . O teorema do mergullo de Whitney [4] afirma que é suficiente e é o mellor límite linear posible. Por exemplo, o espazo proxectivo real de dimensión , onde é unha potencia de dous, esixe que sexa para ter un mergullo. No entanto, isto non se aplica ás inmersións; por exemplo, pode estar inmerso en como mostra explicitamente a superficie de Boy (que ten autointerseccións).
Xeometría de Riemann e pseudoriemanniana
Nas xeometría de Riemann e xeometría pseudoriemanniana: Sexan e variedades riemannianas ou máis xeralmente variedades pseudoriemannianas. Un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a (pseudo-) métrica no sentido de que é igual á regresión de por , é dicir . Explicitamente, para dous vectores tanxentes calquera temos
Na xeometría de Riemann, un mergullo isométrico é un mergullo suave que conserva a lonxitude das curvas (Teorema de mergullo de Nash).[5]
Álxebra
En xeral, para unha categoría alxébrica , un mergullo entre dúas -estruturas alxébricas e é un -morfismo que é inxectivo.
Teoría de corpos
Na teoría de corpos, un mergullo dun corpo nun corpo é un homomorfismo de anéis .
O kernel de é un Ideal de , que non pode ser todo o corpo , por mor da condición . Alén diso, calquera corpo ten como ideais só o ideal cero e o propio corpo (porque se hai algún elemento do corpo distinto de cero nun ideal, é invertíbel, mostrando que o ideal é todo o corpo). Polo tanto, o kernel é , polo que calquera mergullo de corpos é un monomorfismo. Polo tanto, é isomorfo ao subcorpo de . Isto xustifica o nome de mergullo para un homomorfismo arbitrario de corpos.
Álxebra universal e teoría de modelos
Se é unha sinatura e son -estruturas (tamén chamadas -álxebras en álxebra universal ou modelos en teoría dos modelos), daquela un mapa é un -mergullo exactamente se todo o seguinte se cumpre:
- é inxectivo,
- para cada símbolo de argumentos e temos ,
- para cada símbolo de relación de argumentos e temos se
Aquí é unha notación de teoría de modelos equivalente a . Na teoría de modelos tamén hai unha noción máis forte que sería o mergullo elemental.
Teoría da orde e teoría do dominio
Na teoría da orde, un mergullo de conxuntos parcialmente ordenados é unha función entre conxuntos parcialmente ordenados e tal que
A inxectividade de obtense rapidamente desta definición.
Na teoría dos dominios, un requisito adicional é que
- é un conxunto dirixido.
Espazos métricos
Un mapa de espazos métricos denomínase mergullo (con distorsión ) se
para todo e algunha constante .
Espazos normados
Un caso especial importante é o dos espazos normados; neste caso é natural considerar mergullos lineares.
Unha das preguntas básicas que se poden facer sobre un espazo normado de dimensión finita é, cal é a dimensión máxima tal que o espazo de Hilbert pódese mergullar linearmente en con distorsión constante?
A resposta vén dada polo teorema de Dvoretzky.
Teoría de categorías
Na teoría de categorías, non existe unha definición satisfactoria e xeralmente aceptada de mergullo que sexa aplicable en todas as categorías. Cabería esperar que todos os isomorfismos e todas as composicións de mergullos sexan mergullos, e que todos os mergullos sexan monomorfismos. Outros requisitos típicos son: calquera monomorfismo extremo é un mergullo e os mergullos son estables baixo regresións (pullbacks).
Notas
- ↑ "Arrows – Unicode" (PDF). Consultado o 2017-02-07.
- ↑ Hocking & Young 1988. Sharpe 1997.
- ↑ Bishop & Crittenden 1964. Bishop & Goldberg 1968. Crampin & Pirani 1994. do Carmo 1994. Flanders 1989. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004. Kobayashi & Nomizu 1963. Kosinski 2007. Lang 1999. Lee 1997. Spivak 1999. Warner 1983.
- ↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 (1936), pp. 645–680
- ↑ Nash J., The embedding problem for Riemannian manifolds, Ann. of Math. (2), 63 (1956), 20–63.
Véxase tamén
![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Mergullo |
Bibliografía
- Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
- Bishop, Richard Lawrence; Goldberg, Samuel Irving (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
- Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
- do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2.
- Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
- Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
- Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience.
- Lee, John Marshall (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
- Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9..
- Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.
- Warner, Frank Wilson (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3..
Outros artigos
Ligazóns externas
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats).
- Embedding of manifolds on the Manifold Atlas.