Corpo (álxebra)

Na álxebra abstracta, un corpo é unha estrutura alxébrica na cal se dan as operacións de adición e multiplicación que ademais cumpren as propiedades asociativa, conmutativa e distributiva, e posúen un inverso aditivo e un inverso multiplicativo, que permiten efectuar as operacións de resta e división (excepto a división por cero). Estas propiedades xa son familiares da aritmética de números ordinarios.

Os corpos son obxectos importantes de estudo na álxebra posto que proporcionan a xeneralización apropiada de dominios de números tales como os conxuntos de números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

O concepto dun corpo emprégase tamén para definir o concepto de espazo vectorial e as transformacións nestes obxectos, dadas por matrices, obxectos que na álxebra linear os seus compoñentes poden ser elementos dun corpo arbitrario. A teoría de Galois estuda as relacións de simetría nas ecuacións alxébricas, desde a observación do comportamento das súas raíces e as extensións de corpos correspondentes e a súa relación cos automorfismos de corpos correspondentes.

Definición

Un corpo é un anel de división conmutativo, é dicir, un anel conmutativo e unitario no que todo elemento distinto de cero é invertible respecto do produto. Polo tanto, un corpo é un conxunto K no que se definiron dúas operacións, + e ·, chamadas suma e multiplicación respectivamente, que cumpren as seguintes propiedades:

K é cerrado para a suma e a multiplicación

Para todo a, b en K, a + b e a * b pertencen a K (ou máis formalmente, + e * son operacións matemáticas en K);

Asociatividade da suma e a multiplicación

Para todo a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c e a * (b * c) = (a * b) * c.

Conmutatividade da suma e a multiplicación

Para todo a, b en K, a + b = b + a e a * b = b * a.

Existencia dun elemento neutro para a suma e a multiplicación

Existe un elemento 0 en K, tal que para todo a en K, a + 0 = a.

Existe un elemento 1 en K diferente a 0, tal que para todo a en K, a * 1 = a.

Existencia de elemento oposto e de inversos:

Para cada a en K, existe un elemento -a en K, tal que a + (- a) = 0.

Para cada a ≠ 0 en K, existe un elemento a ^-1 en K, tal que a * a^-1 = 1.

Distributividade da multiplicación respecto da suma

Para todo a, b, c, en K, a * (b + c) = (a * b) + (a * c).

O requisito a ≠ 0 asegura que o conxunto que contén só un cero non sexa un corpo, e de paso elimina a posibilidade de que no corpo existan divisores de cero distintos de 0, o que o converte tamén nun dominio de integridade. Directamente dos axiomas, pódese demostrar que (K, +) e (K - { 0 }, *) son grupos conmutativos e que polo tanto (véxase a teoría de grupos) o oposto -a e o inverso a⁻¹ son determinados unicamente por a. Ademais, o inverso dun produto é igual ao produto dos inversos:

(a*b)^-1 = a^-1 * b^-1

con tal que a e b sexan diferentes de cero. Outras regras útiles son:

-a = (-1) * a

e máis xeralmente

- (a * b) = (-a) * b = a * (-b)

así como

a * 0 = 0,

todas regras familiares da aritmética elemental.

Exemplos de corpos

Racionais e alxébricos

Os números racionais $\mathbb {Q} =\{{a \over b}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}$ onde está incluído o conxunto $\mathbb {Z}$ dos números enteiros, forman un corpo.

Os números complexos conteñen o corpo de números alxébricos, a clausura alxébrica de Q.

Números reais, complexos e p-ádicos

Os números reais $\mathbb {R}$ coas operacións usuais forman un corpo.

Os números hiperreais forman un corpo que contén os reais máis os números infinitesimais e infinitos. Os números surreais forman un corpo que contén os reais, a excepción do feito de que son unha clase propia, non un conxunto. O conxunto de todos os números surreais coa condición de seren menor que un certo cardinal inaccesible é un corpo.

Os números reais conteñen varios subcorpos interesantes: os números reais alxébricos, os números computables, e os números definibles.

Os números complexos $\mathbb {C}$ consisten en expresións do tipo

a + bi

onde i é a unidade imaxinaria, i.e., un número (non real) que satisfai i² = −1. A adición e multiplicación dos números reais son definidos de tal maneira para que todos os axiomas do corpo se cumpren para C. Por exemplo, a lei distributiva cumpre

(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi², que é igual a ac−bd + (bc + ad)i.

Os números racionais pódense ampliar aos corpos de números p-ádicos para cada número primo p.

Corpos finitos

O corpo máis pequeno ten só dous elementos: 0 e 1. É denotado por ${\mathbb {F} }_{2}$ o ${\mathbb {Z} }_{2}$ e pode ás veces ser visto nas dúas táboas que seguen:

${\begin{array}{|c|c|c|}\hline +&\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\hline \mathbf {0} &0&1\\\mathbf {1} &1&0\\\hline \end{array}}\quad {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \cdot &\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\hline \mathbf {0} &0&0\\\mathbf {1} &0&1\\\hline \end{array}}$

Ten aplicacións importantes na informática, especialmente na criptografía e na teoría da codificación.

Máis xeralmente, para un número primo $p$, o conxunto dos números enteiros módulo $p$ é un corpo finito cos $p$ elementos: isto pode escribirse como ${\mathbb {Z} }_{p}=\{0,1,...,p-1\}$ onde as operacións son definidas realizando a operación en $\mathbb {Z}$, dividindo por $p$ e tomando o resto, ver aritmética modular.

Corpos de funcións

Para un corpo dado K, o conxunto K(X) de funcións racionais na variable X con coeficientes en K é un corpo; isto defínese como o conxunto de cocientes de polinomios con coeficientes en K.

Se K é corpo, e p(X) é un polinomio irreducible nun anel de polinomios F[X], entón o cociente F[X]/<p(X)> é un corpo cun subcorpo isomorfo a K. Por exemplo, R[X]/(X²+1) é un corpo (de feito, é isomorfo con respecto ao corpo dos números complexos).

Cando K é un corpo, o conxunto K[[X]] de series formais de Laurent sobre K é un corpo.

Se V é unha variedade alxébrica sobre K, entón as funcións racionais V → K forman un corpo, o corpo de funcións V. Se S é unha superficie de Riemann, entón as funcións meromorfas de S → C forman un corpo.

Ultrafiltros

Se I é un conxunto de índices, U é un ultrafiltro sobre I, e K_i é un corpo para cada i en I, o ultraproduto de K_i (usando U) é un corpo.

Subcorpos

Sexan E e K dous corpos con E un subcorpo de K (é dicir, un subconxunto de K que contén 0 e 1, cerrado baixo as operacións + e * de K e coas súas propias operacións definidas por restrición). Sexa x un elemento de K non en E. Entón E(x) defínese como o subcorpo máis pequeno de K que contén a E e a x. Por exemplo, Q(i) é o subcorpo dos números complexos C que consisten en todos os números da forma a+bi onde a e b son números racionais.

Algúns teoremas iniciais

• O conxunto de elementos diferentes de cero dun corpo K (denotado tipicamente por K^×) é un grupo abeliano baixo multiplicación. Cada subgrupo finito de K^× é cíclico.
• A característica de calquera corpo é cero ou un número primo. A característica defínese como o número enteiro positivo máis pequeno n tal que n·1 = 0, ou cero se non existe tal n; aquí n·1 significa n sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1).
• Se $q>1$ é unha potencia dun número primo, entón existe (salvo isomorfismo) exactamente un corpo finito con $q$ elementos. Ademais, estes son os únicos corpos finitos posibles.
• Como anel, un corpo no ten ningún ideal excepto {0} e el mesmo.
• Todo anel de división finito é un corpo (teorema de Wedderburn).
• Para cada corpo K, existe (salvo isomorfismo) un corpo único G que contén a K, é alxébrico sobre K, e é alxebricamente pechado. G denomínase clausura alxébrica de K.

Construcións de corpos

Subcorpos e ideais

Se un subconxunto E dun corpo (K,+,*) xunto coas operacións *, + restrinxido a E é en si mesmo un corpo, entón denominase subcorpo de K. Tal subcorpo ten os mesmos 0 e 1 que K.

Sexa $(K,+,\cdot )$ un corpo, e $E\subset K$. Dise que $\ E$ é subcorpo de $\ K$ ou que $\ K$ é extensión de $\ E$ se se cumpre que $(E,+,\cdot )$ é un corpo cando as operacións $\ (+)$ e $(\cdot )$ se restrinxen a $\ E$. En particular, $\ E$ será entón un subanel de $(K,+,\cdot )$. Tense logo que $\ (E,+)$ e $(E\setminus \{0\},\cdot )$ son subgrupos respectivos dos grupos abelianos $\ (K,+)$ e $(K\setminus \{0\},\cdot )$.

Como todo corpo é un anel, poderíamos preguntarnos pola forma que teñen os seus ideais. Para empezar, como todo corpo é anel conmutativo, todo ideal pola esquerda é ideal (bilátero) e todo ideal pola dereita é tamén ideal (bilátero). Así pois, só hai que estudar os ideais do corpo.

Se $\ I$ é ideal do corpo $\ K$, entón todo elemento non nulo $a\in K$ terá inverso, $a^{-1}\in K$, logo $\ a$ é unha unidade de $\ K$ [isto é, $a\in U(K)$], e terase que $I\cap U(K)\neq \varnothing$, é dicir, $\ I=R$. Desta forma, os únicos ideais dun corpo son o propio corpo e o ideal nulo.

Corpo de fraccións

Dado un corpo K, o corpo polinómico K(X) é o corpo de fraccións de polinomios en X con coeficientes en K, é dicir, os seus elementos son funcións racionais con coeficientes en K.

Extensión de corpos

Unha extensión alxébrica dun corpo K é o corpo máis pequeno que contén a K e unha raíz dun polinomio irreducible p(X) en K [X]. Alternativamente, é idéntico ao anel factor K [X]/(p(X)), onde (p(X)) é o ideal xerado por p(X).

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Field, en Math World (en inglés)