Conmutatividade

Unha operación binaria é conmutativa cando o resultado da operación é o mesmo sexa cal sexa a orde dos elementos cos que se opera.

Exemplo que amosa a conmutatividade da suma (3 + 2 = 2 + 3).

Definición alxébrica

Sexa E un conxunto no cal foi definida unha operación binaria ou lei de composición interna *, é dicir, unha aplicación:

${\begin{array}{rcl}\star :\;E\times E&\to &E\\(x,y)&\to &z=x\star y\end{array}}$

Dise que * é conmutativa se se comproba para todo (x,y) de E×E a igualdade x * y = y * x. Escrito formalmente:

$\forall (x,y)\in E^{2},\quad x\star y=y\star x.$

Diagrama correspondente á conmutatividade.

Este diagrama ilustra a conmutatividade: p é o intercambio das variables x e y. Dá o mesmo resultado percorrer a frecha horizontal, é dicir, aplicala operación *, que percorrer a frecha vertical (intercambiar as variables) e despois a diagonal (aplicar * ).

Estes diagramas, onde o resultado non depende do traxecto senón só do punto de partida e do de chegada, chámanse diagramas conmutativos.

Por convención, se unha operación está escita co símbolo +, suponse sempre que é conmutativa. Esta convención non é válida para o produto × nin · pois, por exemplo, o produto de matrices non é conmutativo en dimensións superiores a 1, nin o produto dos números cuaternións. O produto vectorial tampouco é conmutativo. Unha operación binaria é conmutativa cando o resultado da operación é o mesmo sexa cal sexa a orde dos elementos cos que se opera.

Exemplos

• No conxunto $\mathbb {C}$ dos números complexos, e por restrición, no conxunto $\mathbb {R}$ dos números reais, a suma e a multiplicación son operacións conmutativas.
• A suma nos espazos vectoriais é conmutativa.
• A suma de funcións tamén.
• A reunión e a intersección na teoría de conxuntos e máis en xeral a suma e o produto das álxebras de Boole.

Xeneralización

Xeneralízase o concepto a toda clase de aplicacións de dúas ou máis variables, e fálase de "simetría" no canto de conmutatividade:

• f, función de dúas variables é simétrica se para todo (x,y), f(x,y) = f(y,x).
• Unha función de n variables é simétrica se non cambia o seu valor cando intercambia os seus argumentos: con tres variables obtéñense:

f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y) = f(x,z,y) = f(z,y,x) = f(y,x,z).

Estas propiedades están no seguinte diagrama conmutativo:

onde p é o intercambio de dúas variables, id é a aplicación identidade.
O diagrama resúmese en: f o (p×id) = f o (id×p) = f, onde o denota a composición das funcións.

• En álxebra linear existe un concepto "oposto": a antisimetría, propiedade que di que o intercambio de dúas variables implica un troco de signo: f(y,x) = - f(x,y).

Véxase tamén

Outros artigos

• Asociatividade
• Relación reflexiva
• Relación simétrica
• Relación transitiva
• Relación antisimétrica