Trisection du carré
La trisection du carré consiste à découper un carré en plusieurs morceaux de manière à reconstituer par assemblage des pièces obtenues, trois carrés de surfaces identiques.
Historique du problème
[modifier | modifier le code]La dissection du carré en trois partitions congruentes est un problème de géométrie qui remonte à l'âge d'or de la civilisation islamique et du monde arabo-musulman. Les artisans qui maîtrisaient l'art du zellige avaient besoin de techniques novatrices pour réaliser leurs fabuleuses mosaïques aux figures géométriques complexes. Ainsi, la première solution à ce problème fut proposée au Xe siècle par le mathématicien perse Abu'l-Wafa' (940-998) dans son traité Sur l'indispensable aux artisans en fait de construction[1]. Abu'l-Wafa' utilisa également sa dissection pour illustrer le théorème de Pythagore[2]. Cette démonstration géométrique du théorème de Pythagore sera redécouverte dans les années 1835-1840[3] par Henry Perigal[4] et publiée en 1875[5].
Recherche d'optimalité
[modifier | modifier le code]La beauté d'une dissection dépend de plusieurs paramètres. Il est cependant d'usage de rechercher les solutions comportant le minimum de pièces. Loin d'être minimale, la trisection du carré proposée par Abu'l-Wafa' utilise 9 morceaux. Au XIVe siècle, Abu Bakr al-Khalil propose deux solutions dont une en 8 morceaux[6]. Vers la fin du XVIIe, Jacques Ozanam se repenche sur le problème[7] et au XIXe siècle des solutions en 8 et 7 morceaux sont proposées, dont une par le mathématicien Édouard Lucas[8]. C'est en 1891 que Henry Perigal publie la première solution connue en 6 pièces seulement[9] (voir Fig. 1). De nos jours, de nouvelles dissections continuent d'être découvertes[10] (voir Fig. 2) et la conjecture que 6 est le nombre minimal de pièces n'est toujours pas démontrée.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Alpay Özdural (1995), « Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans », Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995
- (en) Reza Sarhangi, Slavik Jablan (2006). Elementary Constructions of Persian Mosaics. Towson University and The Mathematical Institute. online
- (en) Voir appendice de L. J. Rogers (1897). Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735.
- (en) Henry Perigal sur wikisource
- (en) Henry Perigal, « On Geometric Dissections and Transformations », Messenger of Mathematics, vol. 19, (lire en ligne).
- (en) Alpay Özdural, « Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World », Historia Mathematica, vol. 27, no 2, , p. 171-201 (lire en ligne)
- Jean-Étienne Montucla (1778), complété et ré-édité par Jacques Ozanam (1640-1717) Récréations mathématiques, Tome 1 (1694), p. 297 Pl.15.
- Édouard Lucas (1883), Récréations Mathématiques, Volume 2. Paris, Gauthier-Villars. 2e édition (1893) réimprimée par Blanchard en 1960. Voir p. 151 et 152 du Volume 2 de cette édition. online (pp. 145-147).
- (en) Henry Perigal (1891). Geometric Dissections and Transpositions, Association for the Improvement of Geometrical Teaching.
- (en) Christian Blanvillain et János Pach (2010). Square Trisection. Bulletin d'Informatique Approfondie et Applications N°86 - Juin 2010 également disponible à l'EPFL sur: oai:infoscience.epfl.ch:161493.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Greg N. Frederickson (trad. de l'anglais), Dissections: Plane and Fancy, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-57197-5, LCCN 97011189, lire en ligne)
- (en) Greg N. Frederickson (trad. de l'anglais), Hinged Dissections: Swinging and Twisting, Cambridge, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-81192-7, LCCN 2001043450, lire en ligne)
- (en) Greg N. Frederickson (trad. de l'anglais), Piano-hinged Dissections: Time to Fold!, Wellesley, A K Peters, Ltd. (en), (ISBN 978-1-56881-299-1, OCLC 65978672, LCCN 2006012022, lire en ligne)
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Lien externe
[modifier | modifier le code](en) Site web de Greg N. Frederickson, professeur à l'université Purdue
