Symbole de Levi-Civita d'ordre N

Le symbole de Levi-Civita d'ordre N, généralement noté ε_i1i2...iN, aussi appelé pseudo-tenseur complètement antisymétrique d'ordre N, est une généralisation du symbole de Levi-Civita d'ordre 3.

Chaque indice i₁, ... i_N peut prendre une valeur quelconque parmi N. La valeur du symbole de Levi-Civita pour un jeu d'indices donné est 0 si au moins deux indice sont égaux. Si la liste des indices est formée des N valeurs distinctes autorisées, alors, le symbole vaut 1 ou -1, la valeur 1 ou -1 dépendant si la liste des indices est une permutation paire ou une permutation impaire de la liste des N valeurs possibles préalablement ordonnée.

Exemple

Supposons par exemple que la liste ordonnée des index soit t, x, y, z pour définir un symbole d'ordre 4. Il existe 4⁴ = 256 valeurs possibles du symbole. Cependant, la plupart de ces valeurs sont nulles : le symbole ε_txty, par exemple, vaut 0 parce que l'indice t figure deux fois. Du fait de l'ordre initial des indices, ε_txyz vaut 1, et on a les valeurs suivantes pour diverse permutation des indices :

• ε_txzy = -1 ;
• ε_tyxz = -1 ;
• ε_ztyx = 1.

En tout, seules 4! = 24 valeurs parmi les 256 sont non nulles, la moitié d'entre elles valant 1, l'autre moitié -1.

Tenseur dualiseur

Mathématiquement, le symbole de Levi-Civita d'ordre N est un objet à plusieurs indices, ce qui lui donne une structure évoquant celle des tenseurs. Cependant, ce n'est pas un tenseur. Ses composantes ne dépendent pas du système de coordonnées choisi, et par convention ε_i1i2...iN = ε^{i₁i₂...i_N}. En revanche, un simple facteur de normalisation basé sur le déterminant du tenseur métrique permet de définir le tenseur de Levi-Civita, aussi appelé tenseur dualiseur.