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Statistique de Bose-Einstein

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Statistique de Bose-Einstein
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Distribution statistique des particules (en)Voir et modifier les données sur Wikidata
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En mécanique quantique et en physique statistique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique. La distribution en question résulte d'une particularité des bosons : les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli, à savoir que plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique.

Distribution de Bose-Einstein

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La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre ni de particules d'énergie Ei est

où :

Entropie et dérivation dans l'ensemble microcanonique

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L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs[1]. Elle vaut

kB constante de Boltzmann,
nj   nombre d'occupation (proportion de bosons dans un état d'énergie donné),
Gj   nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).

Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons   et l'énergie totale  . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein

On peut retrouver les valeurs de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α = –μ β et β = (kBT)-1.

Limite classique et comparaison avec les fermions

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À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

  • avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
  • avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus gi fermions.

Condensat de Bose-Einstein

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Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.

Notes et références

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  1. (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Statistical Physics, Pergamon Press, (lire en ligne)

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Bibliographie

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  • [Bose 1924] (de) Satyendra Nath Bose (trad. de l'anglais par Albert Einstein), « Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese » [« La loi de Planck et l'hypothèse des quanta de lumière »], Zeitschrift für Physik, vol. 26,‎ , p. 178-181 (OCLC 4646217659, DOI 10.1007/BF01327326, Bibcode 1924ZPhy...26..178B, résumé, lire en ligne [PDF]) :
  • [Einstein 1924] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 261-267.
  • [Einstein 1925a] (de) Albert Einstein, « Quantentheorie des einatomigen idealen Gases : zweite Abhandlung » [« Théorie quantique du gaz parfait monoatomique : deuxième mémoire »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 3-14.
  • [Einstein 1925b] (de) Albert Einstein, « Zur Quantentheorie des idealen Gases » [« Théorie quantique du gaz parfait »], Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ , p. 18-25.

Articles connexes

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