Spirale de Poinsot

Type borné ρ cosh(θ/3)=1.

Type asymptotique ρ sinh(θ/3)=1..

Logarithmique ρ = 1,19^θ

Les spirales de Poinsot regroupent plusieurs spirales dont l'équation polaire s'exprime à l'aide d'inverses de fonctions hyperboliques. Le nom de ces spirales fait référence au mathématicien Louis Poinsot qui a rencontré l'une d'entre elles comme cas particulier d'herpolhodie, en 1851 .

Selon les auteurs, cette famille de spirales est plus ou moins large. Certains considèrent comme étant une spirale de Poinsot toute spirale dont l'équation polaire s'écrit:

$\rho ={\frac {A}{a\cosh(k\theta )+b\sinh(k\theta )}}$ avec a² + b² non nul

Cette famille regroupe trois sous-familles:

• celle pour lesquelles |a | > |b|, courbes bornées toutes semblables dont des représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}$
• celle pour lesquelles |a| < |b|, courbes possédant une asymptote dont les représentants sont les courbes d'équation polaire $\rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}$
• celle pour lesquelles |a| = |b|, qui regroupe toutes les spirales logarithmiques.

D'autres auteursexcluent de cette famille les spirales logarithmes ne conservant que les spirales de type borné $\rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}$ ou asymptotique $\rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}$.

D'autres enfin ne conservent que la spirale de type borné.

Les spirales de Poinsot font partie des spirales de Cotes.

Spirale de Poinsot de type borné

Son équation polaire se ramène à $\rho \cosh(k\theta )=C$.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que:

$\tan \alpha =k\tanh(k\theta )$.

Le rayon de courbure a pour valeur :

$R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\tanh ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}$

La courbe de Poinsot bornée est la projection sur l'équateur d'une loxodromie de la sphère.

Spirale de Poinsot de type asymptotique

Son équation polaire se ramène à $\rho \sinh(k\theta )=C$.

Elle possède une asymptote d'équation y= K/k.

L'angle entre le vecteur normal à la courbe en A et le vecteur radial est l'angle α tel que:

$\tan \alpha =k\coth(k\theta )$.

Le rayon de courbure a pour valeur:

$R=\rho {\frac {{\sqrt {1+k^{2}\coth ^{2}(k\theta )}}^{\,3}}{1+k^{2}}}$

Voir aussi

Les spirales de Cotes, qui englobent les spirales de Poinsot.

Bibliographie

• Francisco Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, t. 2, 1909
• (pt) Dina dos Santos Tavares, As espirais na Obra de Francisco Gomes Teixeira, Universidade de Aveiro, 2006 (lire en ligne)
• Robert Ferreol, « Spirale de Poinsot », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2014 (consulté le 20 novembre 2018)