Règle de Raabe-Duhamel

En mathématiques, la règle de Raabe-Duhamel est un théorème permettant d'établir la convergence ou la divergence de certaines séries à termes réels strictement positifs, dans le cas où une conclusion directe est impossible avec la règle de d'Alembert. Elle tire son nom des mathématiciens Joseph Raabe et Jean-Marie Duhamel.

Énoncé

Règle de Raabe-Duhamel — Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite de réels strictement positifs.

• Si (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\geq 1-{\frac {1}{n}}$, alors $\sum u_{n}$ diverge.
• S'il existe $b>1$ tel que (à partir d'un certain rang) ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq 1-{\frac {b}{n}}$, alors $\sum u_{n}$ converge.

Cette règle est un corollaire immédiat de celle de Kummer (section ci-dessous).

Dans le cas particulier où la suite $\left(n\left({\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}-1\right)\right)_{n}$ admet une limite réelle - α, ce qui équivaut à

${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {\alpha }{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)$,

la règle de Raabe-Duhamel garantit que :

• si α < 1, $\sum u_{n}$ diverge ;
• si α > 1, $\sum u_{n}$ converge.

Si α = 1, l'exemple de la série de Bertrand montre que l'on ne peut pas conclure.

Exemple

Soient $x,y>0$. La série de terme général $u_{n}={\frac {x\left(1+x\right)\left(2+x\right)\dots \left(n+x\right)}{y\left(1+y\right)\left(2+y\right)\dots \left(n+y\right)}}$ est divergente si $y\leq x+1$ et convergente si $y>x+1$. En effet : ${\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}=1-{\frac {y-x}{n+1+y}}$.

Règle de Kummer

La règle de Kummer peut s'énoncer comme suit :

Soient (u_n) et (k_n) deux suites strictement positives.

• Si ∑1/k_n = +∞ et si, à partir d'un certain rang, k_nu_n/u_n+1 – k_n+1 ≤ 0, alors ∑u_n diverge.
• Si lim inf (k_nu_n/u_n+1 – k_n+1) > 0, alors ∑u_n converge.

Henri Padé a remarqué en 1908 que cette règle n'est qu'une reformulation des règles de comparaison des séries à termes positifs.

Un autre corollaire de la règle de Kummer est celle de Bertrand (en prenant k_n = n ln(n)), dont le critère de Gauss est une conséquence.

Bibliographie

Jean-Marie Duhamel, Nouvelle règle sur la convergence des séries, JMPA, vol. 4, 1839, p. 214-221