Identité vecteur propre-valeur propre

En algèbre linéaire, l'identité vecteur propre-valeur propre est une formule reliant la norme d'un vecteur propre d'une matrice hermitienne à ses valeurs propres ainsi qu'à celles de ses matrices mineures (obtenues en supprimant une ligne et une colonne). Elle s'étend aux matrices diagonalisables.

Cette identité a été redécouverte plusieurs fois dans la littérature.

Énoncé

Pour une matrice $A$ hermitienne de taille $n$, on note $\lambda _{1}(A),\ldots ,\lambda _{n}(A)$ ses $n$ valeurs propres (réelles) éventuellement répétées selon leurs multiplicités. On note $v_{i}$ un vecteur propre normalisé associé à $\lambda _{i}(A)$.

L'identité vecteur propre-valeur propre est

$|v_{i,j}|^{2}\,\prod _{k=1,\,k\neq i}^{n}{\big (}\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A){\big )}=\prod _{k=1}^{n}{\big (}\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}){\big )}$

où $v_{i,j}$ est la $j$-ième composante de $v_{i}$ et où $A_{j}$ est la sous-matrice de $A$ obtenue en supprimant la ligne $j$ et la colonne $j$ de $A$ (c'est encore une matrice hermitienne).

Références

• Peter B. Denton, Stephen J. Parke, Terence Tao et Xining Zhang, « Eigenvectors from Eigenvalues: A Survey of a Basic Identity in Linear Algebra », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 59, n^o 1,‎ janvier 2022, p. 31–58 (DOI 10.1090/bull/1722, arXiv 1908.03795, S2CID 213918682, lire en ligne [archive du 19 janvier 2022])
• Natalie Wolchover, « Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math », Quanta Magazine,‎ 13 novembre 2019 (lire en ligne, consulté le 27 novembre 2019)