Fonction de taux
Apparence
En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités une fonction de taux est une fonction positive semi-continue inférieurement. Ces fonctions interviennent dans l'étude des grandes déviations et permettent de quantifier les probabilités d'évènements rares.
Définition
[modifier | modifier le code]Soit un espace topologique séparé et une fonction positive à valeurs dans la droite réelle achevée. On dit que est une fonction de taux si elle est semi-continue inférieurement, c'est-à-dire que :
pour tout l'ensemble est fermé.
Si de plus ces ensembles sont tous compacts alors on dit que est une bonne fonction de taux.
Propriétés et exemples
[modifier | modifier le code]- Si est une bonne fonction de taux alors possède un minimum sur tout fermé. Autrement dit atteint son infimum sur tout fermé.
- La transformée de Cramér d'une variable aléatoire à valeurs dans est toujours une fonction de taux. Plus précisément si est une variable aléatoire à valeurs dans et si on note
- la fonction génératrice des cumulants de et
- la transformée de Legendre-Fenchel de , alors est une fonction de taux convexe. Si de plus 0 appartient à l'intérieur de l'ensemble alors est une bonne fonction de taux convexe.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Amir Dembo et Ofer Zeitouni, Large deviations techniques and applications, vol. 38, New York, Springer-Verlag, coll. « Applications of Mathematics », , 2e éd. (ISBN 0-387-98406-2) lien Math Reviews
- (en) Frank den Hollander, Large deviations, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Fields Institute Monographs 14 », (ISBN 0-8218-1989-5)
- (en) Achim Klenke, Probability Theory—A Comprehensive Course, London, Springer, (ISBN 978-1-84800-047-6)
Voir aussi
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