Discussion:Variable aléatoire discrète

Variable aléatoire sur un ensemble infini dénombrable ?

Bonjour, découvrant ce nouvel article,et merci HB de l'avoir initié, je vois ... variable aléatoire est dite discrète lorsqu'elle prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Mais est-ce moi qui ne sait pas, et alors je serai ravi de le découvrir, ou comme j'ai cru le comprendre il ne peut y avoir de variable aléatoire (au sens d'équirépartition) sur un ensemble infini dénombrable ? Cordialement, --Epsilon0 ε₀ 11 mars 2014 à 20:53 (CET)

J'ai un peu de mal à comprendre la question. Tu te poses la question de savoir si, pour une variable aléatoire prenant les valeurs (x_i)_i€I, avec I infini dénombrable, on peut avoir P(X=x_i) = P(X=x_j) pour tout i et j de I ? Si la question est celle-ci, la réponse est non car, selon le troisième axiome des probabilités qui est la σ-additivité, 1=Σ_iP(X=x_i). Si P(X=x_i) = 0 pour tout i, on arrive à 1 = 0 et si P(X=x_i) > 0, le membre de droite de l'égalité ne convergerait pas. Mais la question doit probablement être autre? HB (discuter) 11 mars 2014 à 21:22 (CET)

Euh, donc je crois que nous sommes d'accord sur le fait qu'avec I infini dénombrable on ne peut pas avoir P(X=x_i) = P(X=x_j) pour tout i et j de I. Mais alors, que signifie dans l'article cette précision sur le dénombrable (qui est donc l'infini dénombrable vu que le fini est aussi dénombrable, mais là n'est pas le point) ? Perso, je changerai simplement la phrase de l'article en ... variable aléatoire est dite discrète lorsqu'elle prend un nombre fini ou dénombrable de valeurs (donc en supprimant cette mention du "dénombrable") ; mais tu as p.-e. autre chose en tête que je ne saisis pas.--Epsilon0 ε₀ 11 mars 2014 à 21:50 (CET)

Il existe plein de variables aléatoires prenant un nombre infini dénombrable de valeurs, mais les probabilités de chaque éventualité sont différentes. Pour prendre un exemple évoqué dans l'article, le nombre de coup nécessaire pour obtenir un premier 6 en lançant un dé est une variable prenant une infinité dénombrable de valeurs et P(X=n) = (5/6)^n-1(1/6) (voir loi géométrique), donc il ne faut surtout pas barrer le cas dénombrable. HB (discuter) 11 mars 2014 à 22:03 (CET)

*J'avoue que je ne comprends pas, mais c'est sans doute du à mes lacunes en maths générale(s) ... mais que peuvent aussi avoir les autres lecteurs de cet article. Prenons un exemple : On lance un dé jusqu'à temps que chacune des 6 faces soient sorties. En moyenne au bout de combien de jets on s'arrête ? Bon en cherchant un peu on trouve 14,7 soit n*la série harmonique. Bien. Maintenant évidemment pour certaines suites de tirages on a des suites infinies (qui me semble éventuellement osé de qualifier d'infini dénombrable vu que c'est plutôt de l'illimité donc relevant de l'infini potentiel) n'aboutissant pas (genre on ne tire que des "5"). Bon maintenant en quoi, comme dit l'article, la variable aléatoire que nous considérons prend un nombre ... dénombrable de valeurs ?

*A ce que je comprends la variable prends un nombre fini (ici = 6) de valeurs. Et qu'on ait besoin d'envisager des suites infinies (et je rappelle qu'elles sont infinies potentielles et relèvent de la notion d'illimité et non de la notion d'infini mesurée par un nombre cardinal comme celui du dénombrable) puis de les sommer pour trouver 14.7 ne change rien au fait que les variables considérées ont toutes été tirées d'un l'ensemble fini, {1, 2, 3 , 4, 5 , 6}, et certainement pas d'un ensemble dénombrable.

*Bon, nous avons donc un désaccord qui est selon moi du 1/ (très probable) à un simple problème de terminologies OU 2/ (possible) à une erreur de ta part OU 3/ (probable) à une incompréhension totale de ma part du vocabulaire utilisé dans cet article ... mais qui alors (sans fausse modestie) devrait perturber d'autres lecteurs venus pour apprendre et comprendre. --Epsilon0 ε₀ 13 mars 2014 à 23:37 (CET)

En fait, cela ne devait pas être clair. La variable dans ce cas là n'est pas la face apparue (il n'y a toujours que 6 faces possibles) mais le nombre d'essais nécessaires pour obtenir un premier 6 : le premier 6 peut apparaitre au premier coup, ou au second coup ou au 10ème coup, ou si je joue de malchance au 1000ème. La variable qui précise le nombre de coup avant le premier 6 peut en fait prendre n'importe quelle valeur entière non nulle (soit un ensemble infini dénombrable de possibilités) , certes avec des probabilités de plus en plus faible pour les grandes valeurs de la variable. J'ai essayé de clarifier. Ai-je réussi? Si tu vois un exemple de variable aléatoire pouvant prendre n'importe quelle valeur entière, n'entrainant pas une confusion, n'hésite pas à changer. HB (discuter) 14 mars 2014 à 22:47 (CET)

Bon, il y a eu un conflit d’intervention. Néanmoins lisant ce que tu dis je crois que nous sommes toujours pleinement d'accord en ce qui concerne le fond mathématique ; ce qui est réjouissant ;-).

Néanmoins pour cohérence de propos avec ce que j'ai mis sur le Thé je mets (lors que je croyais l'avoir déjà mis ici) :

Je crois que nous appréhendons tous 2 les même réalités mathématiques. Le truc c'est que pour moi, en mes faibles connaissances en maths, une variable aléatoire concernant un dé prend un nombre fini (soit, ici 6) de valeurs. Toi considères les valeurs que peuvent prendre le résultat du tirage, qui clairement peuvent être une infinité de choses (d'ailleurs au delà de N, et tapant dans des nombres transendants avec pi ou e autour). Bref moi je vois, sous l'expression "variable discrète" les valeurs possibles de l'ensemble de départ, toi les valeurs possibles de la fonction d'arrivée. Et, j'ai sans doute tort, car 1/ clairement dans un tel article de wp, la question n'est pas ce que toi ou moi mettons sous cette notion mais ce qui est utilisé usuellement sous ce terme de "variable aléatoire discrète". 2/ sans doute tu connais mieux les terminologies usuelles que moi. (aparté) Il se trouve aussi que pour des raisons extérieures aux proba, le résultats de tels problèmes ne peut excèder un nombre dénombrable de valeurs (même incluant pi, e, etc), simplement car le nombre de pb mathématiques formulable est dénombrable). Bon, HB, le sujet me semble possiblement nous excéder et je le transmets au thé (--> non je n'ai pas honte de me manifester de nouveau comme un tocard total en maths ! J'assume car pour moi l'important est de comprendre, et au delà de ma petite ersonne que ceux qui lisent wp comprennent aussi) --Epsilon0 ε₀ 14 mars 2014 à 23:02 (CET)

Je réponds directement ici : comme toujours, il faut d'abord contrôler les définitions et le vocabulaire. "La variable X prend une infinité finie ou dénombrable de valeurs"  : par définition, cela veut dire que l'ensemble d'arrivée E est dénombrable (N, par exemple). Une variable aléatoire, c'est (toujours par définition) une fonction de l'univers des éventualités $\Omega$ vers E, donc par exemple pour l'histoire des dès, $\Omega$ est (par exemple) l'ensemble (dénombrable) des suites finies de tirages du dé (effectivement, si on ne considère qu'un tirage, E est nécessairement fini). Voilà, est-ce plus clair? Mais effectivement, sans une lecture soignée de l'article Variable aléatoire, cet article court risque de créer des confusions...--Dfeldmann (discuter) 15 mars 2014 à 00:08 (CET)

Merci HB et Dfeldmann pour vos explications. Me semble que j'ai eu là un problème de définition, p.-e. en lisant trop rapidement Variable aléatoire. J'avoue que 1/ je suis convaincu par ce que vous dites mais 2/ que je ne comprends pas encore pleinement (mais ça va venir ;-) ). En ce qui concerne les articles rien à dire, tb. Et si j'ai une lueur en ce qui a bloqué ma compréhension qui pourrait être transposée en ajout didactique/encyclopédique dans ces articles je me manifesterai. --Epsilon0 ε₀ 16 mars 2014 à 00:52

Il semble doonc nécessaire d'être plus clair dans l'article (mais comment ?). Par exemple, la définition citée par Asram : « Une variable aléatoire discrète (réelle) sur (A,P) est une variable aléatoire X telle que X(A) soit un ensemble réel fini ou dénombrable » trouvée dans Walter Appel Probabilités pour les non probabilistes, chapitre 16 : « Variables aléatoires discrètes », aurait peut-être pu t'orienter plus rapidement sur l'ensemble qui est infini dénombrable. Faut-il la mettre dans l'article ? Le surprenant est le nombre de présentations apparamment différentes de cette notion. J'avais cru avoir choisi la plus simple en entrée, celle nécessitant le moins de notions préalables, mais si cela obscurcit le discours ce n'est pas non plus top top.

@ Dfeldmann C'est par prudence que je n'avais pas voulu évoquer l'univers de départ pour la variable aléatoire donnant le temps d'apparition du premier 6. En effet cet univers ne peut pas être l'ensemble des suites finies (il me semble difficile d'y construire une tribu et une probabilité). Je crois bien qu'il faut prendre l'ensemble des suites infinies $\{1,\cdots ,6\}^{\mathbb {N} ^{*}}$ (infini non dénombrable) sur lequel la création d'une tribu et d'une probabilité semble être un exercice de haute école. On peut lire par exemple la problématique posée dans ce document p. 16, dans le cas du lancer infini d'une pièce. On y parle de mesure de Lebesgue sur [0,1] et du théorème d'extension de Kolmogorov auquel je ne comprends pas grand chose sur la probabilité construite sur un espace produit infini, c'est-à-dire des notions qui sont hors de portée de quelqu'un qui découvrirait seulement les variables aléatoires et se poserait la question de leur discrétion.

Tout ça pour dire qu'un bête article court peut se révéler plus difficile à écrire qu'il n'y parait. HB (discuter) 16 mars 2014 à 09:52 (CET)

Huh? Pourquoi ne pas identifier cet ensemble de suites au segment des réels entre 0 et 1 écrits en base 6, avec la mesure de Lebesgue (triviale pour les ensembles de suites commençant par une suite finie donnée)?--Dfeldmann (discuter) 16 mars 2014 à 11:55 (CET)

As-tu lu mon lien ? C'est justement ce qu'il propose, mais je ne me vois pas en parler dans cet article. HB (discuter) 16 mars 2014 à 12:23 (CET)

Pour W. Appel, l'intérêt des VA discrètes, c'est qu'elles sont naturelles dans les dénombrements et qu'elles permettent de faire des proba. sans théorie de la mesure. Donc à ne pas introduire d'entrée de jeu ? Il conseille de ne pas se concentrer sur X comme application définie sur un ensemble de départ, mais uniquement sur la répartition des valeurs prises par X dans l'espace d'arrivée R. Il dit que de toutes façons il devient rapidement impossible de définir l'espace probabilisé dès que l'on veut placer dessus un grand nombre de VA. Mais dès lors qu'on n'utilise qu'un nombre fini de VA, il est toujours possible de se placer au départ sur un ensemble dénombrable. Si l'on quitte le dénombrable, il faut définir différemment la notion de VA, et la notion de boréliens apparaît. L'idée serait (si j'ai compris) qu'on ne cherchera pas alors à construire une VA sur un ensemble naturel, mais au contraire à construire une bonne probabilité sur R et X sera alors l'identité. La clé serait le théorème d'extension de Kolmogorov. Asram (discuter) 16 mars 2014 à 14:52 (CET)

Pour Dfeldmann (d · c · b) et HB (d · c · b) : à propos de la VA X qui donne le numéro du premier tirage où apparaît un 6, Appel dit qu'il ne s'agit pas d'une VA, puisque certaines suites ne donnent jamais l'apparition du 6, et propose deux manières de résoudre le problème. D'abord en démontrant que la probabilité de ces événements est nulle, et ici la probabilité que X<+infini est effectivement égale à 1. Cela revient à définir la probabilité sur un sous-ensemble de l'ensemble de départ de probabilité égale à 1. Autre idée : définir X=+infini correspondant à « la VA n'est pas définie », avec P(X=+infini)=0 ce qui définit une VA presque sûrement à valeurs réelles. Les deux points de vue sont équivalents, sous réserve de conventions de calcul du type 0x(+infini)=0=(+infini)x0. Mais il est sûr qu'il vaut mieux trouver un autre exemple pour illustrer l'article. Asram (discuter) 17 mars 2014 à 00:17 (CET)

Je ne suis pas d'accord sur ce dernier point avec Appel, d'autant plus que le temps d'apparition du premier 6 ou du premier pile est quand même souvent cité comme exemple de variable aléatoire discrète. Si cela te gêne qu'elle ne soit pas définie partout, tu peux toujours affecter la valeur 0 au cas où le chiffre 6 n'apparaitrait jamais (inutile d'aller chercher l'infini). Ce cas étant de probabilité nulle, il peut être abandonné par la suite. Mais si tu trouves un exemple aussi parlant et moins casse-gueule , pourquoi pas.

Ceci dit, au vu de nos discussions, il s'avère que l'article pourrait être complété par la notion de loi discrète et par la remarque d'Appel sur le fait que l'on peut oublier l'ensemble de départ. Personnellement, je ne peut pas faire mieux avec la doc à ma disposition (rien entre le cours de lycée et le cours de l'X de J. Neveu) et puis, j'avoue que compliquer ainsi (surtout dans cette page de discussion) une notion qui devrait rester très simple me décourage un peu. N'hésitez pas à compléter ou modifier l'article que je vous abandonne. HB (discuter) 17 mars 2014 à 09:06 (CET)

Questions naïves pour savoir ce dont parle précisément cet article

1. Bonjour, considérons un dé idéel avec une infinité dénombrable de faces numérotées par les entiers >= 1 et avec pour probabilité d'obtention de chaque face n, 1/2^n (donc 1 --> 1/2, 2 -->1/4 , 3 --> 1/8, ...). Là on un un ensemble d'événements dénombrable et une somme de leurs probabilités d'obtention = 1 (un des axiomes de Kolmogorof). Il doit donc y avoir autour une "variable aléatoire" (<-- désolé de ne pas formaliser plus). Ma question est : sommes nous dans cet exemple dans ce qui est traité par cet article, soit dans le cas d'une variable aléatoire discrète et dénombrable ... OU à ce que je comprends de ce qui est dit ici, le mot "dénombrable" est utilisé pour désigner autre chose ? Autre chose, comme pour exemple, l'ensemble des valeurs que peut prendre la réponse à la question "qu'elle est la probabilité d'obtenir au moins une fois la face n au bout de 1729 lancés ?" est dénombrable (<-- ce qui est trivialement le cas ici, ..., bon je suis perdu et passe à la section du dessous ;-) ).
2. Avez vous des exemples, disons exprimés en termes de dés (--> parler simplement aide à comprendre pour un lecteur d'article de wp venu pour comprendre, comme je le suis) où :
   1. intervient une variable aléatoire discrète
   2. et des exemples où intervient une variable aléatoire mais qui n'est PAS discrète ? (... si celà existe, en parlant en terme de dés réels, pas celui idéel avec aleph_0 faces de la section d'avant).

Ceci afin que par distinction des situations la notion discrètes/non-discrète de la variable aléatoire soit mieux perçue ?--Epsilon0 ε₀ 16 mars 2014 à 21:33 (CET)

Ben non, avec des dès et des ensembles naturels (pas des suites de tirages infinis), on n'a que des variables discrètes. Le modèle de la variable continue, c'est soit un passage à la limite (genre taille d'un Français tiré au hasard), soit une situation naturellement continue, comme la distance au centre de la cible d'une fléchette lancée par un tireur non idéal. Typiquement, dans un cas de ce genre, l'univers des éventualités, c'est l'ensemble des positions de la fléchette, la modélisation du hasard est donnée par la définition d'une mesure (par exemple une surface en cloche symbolisant le fait qu'en moyenne, on est près du centre de la cible) et une variable aléatoire associe à chaque résultat possible un nombre, par exemple un gain en euros (variable discrète) ou la distance au centre (variable continue). C'est plus clair comme ça?--Dfeldmann (discuter) 16 mars 2014 à 21:48 (CET)

Je crois comprendre,

Donc ce qui est discret/continu est dans quoi on pioche (taille d'un Français --> donc là variable aléatoire continue) et non la valeur du résultat de la question (taille moyenne, taille médiane, ...), ce qui me semblait curieux, ou les proba associées à chaque événement.

Donc problèmes de dés avec nombre de faces fini ou dénombrables --> variable aléatoire discrète.

Bref, "(ensemble des événements possibles <= aleph_zero) <==> variable aléatoire discrète" ?

Ce serait donc aussi simple ?! pourquoi avons nous dépensé autant d'octets ;-) !? Ou alors il y a *encore* quelque chose que je n'aurai pas compris ?

P.S. : Qu'en est-il avec les passages à la limite que tu évoques. Exemple : "la limite quand n tend vers l'infini que 2 entiers < n soient premiers entre eux est 6/pi²" relève des variables aléatoires discrètes (car |N² est dénombrable) ou justement typiquement non, car on passe à la limite ?

--Epsilon0 ε₀ 16 mars 2014 à 22:46 (CET)

Ben non, c'est pas aussi simple. Si l'ensemble de départ est continu (les positions de la fléchette sur la cible), mais que l'ensemble d'arrivé est fini (gagné (1 euro) à moins de 1 cm du centre, perdu sinon), on a une variable discrète, donc ce n'est pas une équivalence. D'autre part, le passage à la limite auquel je fais allusion, c'est celui qui passe d'une grande quantité de valeurs possibles (la taille en mm) à une variable continue (la taille comme un réel); ce qui, dans le formalisme de la théorie, revient à remplacer une somme finie par une intégrale (l'intégrale de Riemann, vue comme limite des somme de Riemann sur le filtre des partitions). Mais intuitivement, le passage discret à continu, c'est toujours celui de la modélisation d'une variable continue par ses valeurs sur une grille de plus en plus fine.--Dfeldmann (discuter) 17 mars 2014 à 06:12 (CET)

Bon, tu as déjà eu une réponse. J'avais préparé ce qui suit. Si tu t'intéresses au lancer d'une pièce, tu peux considérer les événements « obtenir pile » (probabilité p) et « obtenir face » (probabilité q=1-p), avec p=1/2 si la pièce n'est pas truquée. Mais tu peux aussi modéliser à l'aide d'une variable aléatoire X à valeurs dans {0,1}, qui prend par exemple la valeur 1 si l'on obtient pile et la valeur 0 si l'on obtient face. On a donc P(X=0)=p et P(X=1)=1-p. La VA est donc définie par sa loi, i.e. l'ensemble des valeurs P(X=k) pour k dans {0,1}. On est dans un modèle de loi de Bernoulli, un fondamental.
Plus généralement, pour une VA discrète, sa loi est entièrement déterminée par les P(X=xk) pour xk décrivant l'ensemble des valeurs prises par X, grâce au caractère dénombrable de l'ensemble de ces valeurs.
Pour rencontrer des VA non discrètes, on peut s'intéresser à la loi des vitesses des molécules d'un gaz, ou plus compliqué, une VA qui mesure le temps d'attente à un feu de circulation. Asram (discuter) 17 mars 2014 à 00:00 (CET)