4-polytope régulier convexe

Un polytope à 4 dimensions (ou polychore) régulier convexe est un objet géométrique, analogue en 4 dimensions des solides de Platon de la géométrie en 3 dimensions et des polygones réguliers de la géométrie en 2 dimensions.

Ces polytopes furent décrits la première fois en parallèle par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli et par la mathématicienne autodidacte irlandaise Alicia Boole Stott^[1], au milieu du XIX^e siècle. Schläfli et Boole Stott découvrirent, sans avoir conscience des travaux de l'autre, qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leurs côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle ; leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Propriétés

Caractéristiques

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

Symbole de Schläfli
Nombre de sommets, d'arêtes, de faces et de cellules
Figure de sommet
Polychore dual
Groupe de Coxeter et ordre du groupe

Polychore	Symbole de Schläfli	Sommets	Arêtes	Faces	Cellules	Figure de sommet	Dual	Groupe de Coxeter	Ordre
Pentachore	{3,3,3}	5	10	10 (triangles)	5 (tétraèdres)	Tétraèdre	(Lui-même)	A₄	120
Tesseract	{4,3,3}	16	32	24 (carrés)	8 (cubes)	Tétraèdre	Hexadécachore	B₄	384
Hexadécachore	{3,3,4}	8	24	32 (triangles)	16 (tétraèdres)	Octaèdre	Tesseract	B₄	384
Icositétrachore	{3,4,3}	24	96	96 (triangles)	24 (octaèdres)	Cube	(Lui-même)	F₄	1 152
Hécatonicosachore	{5,3,3}	600	1 200	720 (pentagones)	120 (dodécaèdres)	Tétraèdre	Hexacosichore	H₄	14 400
Hexacosichore	{3,3,5}	120	720	1 200 (triangles)	600 (tétraèdres)	Icosaèdre	Hécatonicosachore	H₄	14 400

Dimensions

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

V : hypervolume
S : hypersurface
R : rayon de la 3-sphère circonscrite
r : rayon de la 3-sphère inscrite (r)
θ : angle dichoral

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

Polychore	V	S	R	r	θ
Pentachore	${\frac {\sqrt {5}}{96}}$	${\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}$	${\frac {\sqrt {10}}{5}}$	${\frac {\sqrt {10}}{20}}$	$\arccos {\frac {1}{4}}$
Tesseract	$1\,$	$8\,$	$1\,$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\pi }{2}}$
Hexadécachore	${\frac {1}{6}}$	${\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}$	${\frac {2\pi }{3}}$
Icositétrachore	$2\,$	$8{\sqrt {2}}$	$1\,$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {2\pi }{3}}$
Hécatonicosachore	${\frac {15(47\varphi +29)}{2}}$	$60(7\varphi +4)\,$	$(\varphi +1){\sqrt {2}}$	${\frac {3\varphi +2}{2}}$	${\frac {4\pi }{5}}$
Hexacosichore	${\frac {25(2\varphi +1)}{4}}$	$50{\sqrt {2}}$	$\varphi \,$	${\frac {(2\varphi +1){\sqrt {2}}}{2}}$	$2\arctan \left\{(2\varphi +1){\sqrt {3}}\right\}$

Représentations

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

Polychore	Symbole de Schläfli	Projection orthographique solide
Pentachore	{3,3,3}	Tétraèdre
Tesseract	{4,3,3}	Cube
Hexadécachore	{3,3,4}	Cube
Icositétrachore	{3,4,3}	Cuboctaèdre
Hécatonicosachore	{5,3,3}	Triacontaèdre rhombique tronqué
Hexacosichore	{3,3,5}	Pentaki-icosidodécaèdre

Liste

Pentachore

Article détaillé : Pentachore.

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

5 sommets
10 arêtes
10 faces triangulaires
5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie $A_{4}$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Tesseract

Article détaillé : Tesseract.

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

16 sommets
32 arêtes
24 faces carrées
8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie $B_{4}$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexadécachore

Article détaillé : Hexadécachore.

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

8 sommets
24 arêtes
32 faces triangulaires
16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie $B_{4}$ . Sa figure de sommet est un octaèdre.

Icositétrachore

Article détaillé : Icositétrachore.

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

24 sommets
96 arêtes
96 faces triangulaires
24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie $F_{4}$ . Sa figure de sommet est un cube.

Hécatonicosachore

Article détaillé : Hécatonicosachore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

600 sommets
1200 arêtes
720 faces pentagonales
120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est $H_{4}$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

Hexacosichore

Article détaillé : Hexacosichore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

120 sommets
720 arêtes
1200 faces triangulaires
600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est $H_{4}$ . Sa figure de sommet est un icosaèdre.

Références

↑ « Voyages au pays des maths - Alicia Boole au pays des polytopes - Regarder le documentaire complet », sur ARTE (consulté le 15 décembre 2023)

Voir aussi

Nombre figuré 4-polytopique
Nombre figuré 4-polytopique centré
Polychores de Schläfli-Hess, les polychores réguliers non convexes

Bibliographie

Liens externes

Les polychores réguliers sur le site mathcurve
Les dimensions sur le site dimensions-superieures
(en) Eric W. Weisstein, « Regular Polychoron », sur MathWorld
(en) Patrons des polychores réguliers
Le film documentaire Dimensions donne des moyens de s'imaginer ces objets
(en) Les polychores réguliers sur Eusebeia
(en) Alicia Boole Stott’s four-dimension polytopes sur Alicia Boole Stott

(en) H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]
(en) H. S. M. Coxeter, Regular Polytopes, 3^e éd., Dover Publications, 1973 (ISBN 978-0-486-61480-9)
(en) D. M. Y. Sommerville, An Introduction to the Geometry of n Dimensions, New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X (« The Regular Polytopes »)

Portail de la géométrie

[1] « Voyages au pays des maths - Alicia Boole au pays des polytopes - Regarder le documentaire complet », sur ARTE (consulté le 15 décembre 2023)

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