Système vicésimal

Le système vicésimal (ou vigésimal) est un système de numération utilisant la base 20. Vingt correspond au nombre de doigts et d'orteils que possède l'être humain. On peut distinguer le système vicésimal pur, ayant exclusivement pour principe la base 20, et le système vicésimal partiel, résultant de la combinaison d'une base 10 avec une base 20.

Histoire

Pour Georges Ifrah, la plus grande partie de l'Europe, une bonne fraction de l'Asie occidentale et presque partout en Amérique, les numérations orales vicésimales auraient une origine commune, celles de leur fond commun de peuplades préhistoriques.

En Europe, certains pensent que ce système a une origine pré-indo-européenne, caucasienne, basque; il existait peut-être en étrusque. En effet, le basque, ainsi que l'albanais gardent des traces évidentes du système vigésimal qui est la règle dans les langues paléocaucasiennes, en sumérien et en élamite.

Les peuples Indo-Européens venus s'installer en Europe, bien que disposant d'une numération originellement fondés sur la base dix, rencontrèrent sur place des populations indigènes usant de comptes fondés sur la base 20. Ils en subirent une telle influence qu'ils adoptèrent le compte vicésimal, au moins pour les nombres les plus courants. Ce qui explique que le système vicésimal ait persisté partiellement, dans certaines langues européennes, à côté du système décimal.

Les traces de ce système se trouve dans le danois, à côté du système décimal, dans les langues celtiques, en français, en portugais (Tras-os-Montes), en espagnol (Zamora), en italien du sud. En effet, le mot vingt et ses équivalents italien et espagnol (venti et veinte) se sont formés de manière apparemment indépendante, puisqu'il aurait du s'écrire decem-duo "dix-deux". Enfin, ces traces se rencontrent en albanais (tosque), en dialecte slovène d’Italie dans la vallée de Resia. Et même en Anglais, chez Shakespeare, lorsqu'il dit : "a cannon will shoot point-black twelve scores..." (12 scores = 12 x 20= 240) dans les Joyeuses commères de Windsor. Dans les langues anciennes d’Asie Mineure, des adjectifs numéraux au-dessus de 20 n’ont pas été attestés.

En Amérique, plusieurs numérations écrites vicésimales sont attestées en Mésoamérique : celle des Aztèques, additive, et celle des scribes mayas de l'époque classique, positionnelle, particulièrement utilisée pour noter les dates (dites du compte long) comptées en tun (année de compte valant 360 jours). Cette dernière se présente sous deux jeux de caractères : les chiffres de style 'point et barre' ou les chiffres de style 'céphalomorphe', chacun de ces deux jeux de caractères comporte un chiffre zéro (zéro de position).

le Français

Sous l'influence des langues pré-indo-europénnes, le français conserve des vestiges jusqu'à nos jours, dans les numéraux. Au Moyen Âge, on trouve ainsi les formes vingt et dix (30), deux vingt (40), deux vingt et dix (50), trois vingt (60), etc. Une ancienne attestation, « VII vinz liverez et IIII », dans les Lois de Guillaume 3, au XI^e siècle, peut laisser penser à une origine normande, le système vicésimal se retrouvant aussi en danois. Les linguistes penchent cependant traditionnellement pour un héritage du gaulois, les langues celtiques modernes possédant ou ayant possédé une numération par vingt. Mais les dizaines supérieures à vingt sont en réalité inconnues en gaulois, à l'exception d'une forme, peut-être latinisée, pour « trente », or cette forme n'est pas vicésimale. L'hôpital des Quinze-Vingts, fondé à Paris en 1260, qui accueillait à l'origine trois cents aveugles, témoigne également de cet usage.

Dès la fin du Moyen Âge, il est supplanté en français par le système décimal (trente, quarante, cinquante, soixante), à l'exception de la vingtaine précédant cent (quatre-vingts, quatre-vingt-dix), et de la dizaine d'avant qui semble avoir une forme mixte (soixante-dix). Mais au XVI^e siècle, on compte encore les arpens sous la forme sept à huit vingt ou sept vingt dix .

Au XVII^e siècle, sous l'influence de Vaugelas et de Ménage, l'Académie française et les auteurs de dictionnaires ont adopté les formes soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix au détriment de septante, octante, nonante. Cependant, les mots septante, octante, nonante figurent dans toutes les éditions du Dictionnaire de l'Académie française. Encore conseillés par les Instructions officielles de 1945 pour faciliter l'apprentissage du calcul, ils restent connus dans l'usage parlé de nombreuses régions de l'Est et du Midi de la France, ainsi qu'en Acadie. Septante et nonante sont officiels en Belgique et Suisse romande (avec l'addition de huitante pour une partie de la Suisse romande, quatre-vingts étant utilisés à Genève et dans le Jura).

Usages

Aujourd'hui, on en trouve une utilisation plus ou moins prononcée dans plusieurs langues, en particulier en Europe. Mais le système décimal prédomine généralement, car peu de langues possèdent des termes pour 400, 8000, etc.

Le système vicésimal est utilisé :

• en Albanais ;
• en basque ;
• traditionnellement dans les langues celtiques (gaélique, gallois, breton), en concurrence avec un système décimal ;
• en français de manière résiduelle, en Belgique, au Canada, en France et dans certains cantons romands de Suisse dans la lecture de 80, quatre-vingts, ou en France dans la dénomination de l'hôpital des Quinze-Vingts, qui abritait 300 lits ;
• en géorgien, où la base vingt est utilisée en-dessous de cent, avec les formes ოცდაათი oc'daat'i vingt et dix (30), ორმოცი ormoc'i deux vingt (40), ორმოცდაათი ormoc'daat'i deux vingt et dix (50), etc., comme dans le français du Moyen Âge ; l'un des dialectes de la montagne géorgienne, le khevsour, parlé en Khevsourétie, utilise quant à lui la base vicésimale au delà de cent, 120 s'y dit six vingt, 140 sept vingt etc., le système devenant décimal seulement à partir de mille ;
• en danois ;
• en Italien dialectes de l'Italie du Sud, surtout sicilien (20 = ventine).
• en yoruba, qui recourt très largement au système vicésimal, et utilise également 200 (igba ou igbéo) et 2 000 (ẹgbẹ̀wá ou ẹgbàá) comme références ; vingt se dit ogún ou okòó, 50 est exprimé sous la forme 3 x 20 - 10 (àádọ́ta), 150 sous la forme 8 x 20 - 10 (àádọ́jọ), 3 000 sous la forme 15 x 200 (ẹgbẹ́ẹdógún).

Mathématiques

En base 20, vingt chiffres (ou signes graphiques) sont utilisés, soit dix de plus que dans le système décimal usuel. Comme pour toute base de numération supérieure à 10, les symboles permettant de représenter les chiffres au-delà de neuf sont obtenus en utilisant les lettres de l'alphabet, en partant de A pour dix, et jusqu'à J pour dix-neuf. Une autre méthode de notation saute la lettre I (i majuscule correspondant à dix-huit) pour éviter toute confusion avec le chiffre 1. Ainsi le chiffre dix-huit s'écrit J et 19 s'écrit K. Il faut convenir à l'avance de la notation utilisée.

Le nombre est suivi de l'indice ₂₀ pour indiquer la base utilisée. En résumé :

décimal	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
duodécimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	1020
autre méthode	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	J	K	1020

Comme dans tout système de numération, le nombre égal à la valeur de la base s'écrit 10, en l'occurrence ici vingt s'écrit 10₂₀.

Quelques exemples : 20₂₀ = 40₁₀ (en effet, 2 × 20 = 40), DA₂₀ = 270₁₀ (en effet, 13 × 20 + 10 = 270), 100₂₀ = 400₁₀ (en effet, 20² = 400).

Monétaire

Le sou était le résultat de la division par 20 du franc (5 centimes) de la même façon que le shilling valait un vingtième de livre.

Voir aussi

• Numération
  • Système de numération
  • Notation positionnelle
  • Numération maya
  • Nombres en français
• Base (arithmétique)