Invariant

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En mathématiques, le mot invariant possède suivant le contexte différentes significations. Par exemple, le seul nombre égal à son triple est zéro, le seul élément invariant d’une fonction qui multiplie par trois n’importe quel nombre, réel ou entier. Les notions d’invariance interviennent aussi bien en géométrie et en topologie qu’en analyse et en algèbre.

Cette similitude

F

agrandit n’importe quel
pentagone régulier convexe de centre S,
en un autre concentrique, dont les cinq
côtés passent par les sommets du
précédent pentagone. Le “centre” S
de la similitude itérée est son seul
point invariant :

F

(S ) = S.

Dans le groupe de translations associé à tout papier peint,
chaque translation le laisse globalement invariant. En effet
ce papier peint, mathématique, répète son motif à l’infini.
Ce groupe peut être généré par une paire de ses éléments,
telle que {

T

,

U

} dans cet exemple.

Par exemple, une transformation géométrique peut laisser
un ou plusieurs points invariants, ou laisser un objet globalement invariant.

Invariant d'une transformation

Si g : E→E est une application, un invariant de g est un point fixe, c'est-à-dire un élément x de E qui est sa propre image par g :

g(x)=x~.

Pour une telle application g, une partie P de E est dite :

invariante point par point si tous ses éléments sont des points fixes ;
globalement invariante par g, ou stable par g, si $g(P)\subset P$ , c'est-à-dire : $\forall x\in P:g(x)\in P$ (cette propriété est moins forte que la précédente).

Ces notions interviennent souvent en systèmes dynamiques, pour les transformations géométriques et pour les actions de groupe. En effet, les invariants d'une application peuvent apporter des informations à son sujet.

En géométrie euclidienne, l'unique point invariant d'une similitude directe (qui n'est pas une translation) du plan euclidien sera son centre.
En réduction des endomorphismes, un sous-espace vectoriel F de E est dit invariant par une application linéaire g lorsqu'il est globalement invariant par g.
Pour une action (à gauche) d'un groupe G sur un ensemble X, un point x est dit invariant lorsque pour tout élément g de G on a : g.x = x.

Propriété invariante

Une propriété est dite invariante lorsqu'un procédé ne la modifie pas. Une propriété concerne un objet ou un ensemble d'objets donné. Différentes constructions peuvent être menées pour construire des objets de nature similaire : partie, complémentaire, somme, produits, quotient, recollement, extension…

L'invariance d'une propriété caractérise sa stabilité sous ces constructions.

Au sens de la théorie des catégories

Pour une catégorie donnée, un invariant est une quantité ou un objet associé(e) à chaque objet de la catégorie, et qui ne dépend que de la classe d'isomorphisme de l'objet, éventuellement à isomorphisme près.

Le langage des invariants est particulièrement adapté à la topologie algébrique.

En théorie des graphes

On dit qu'un nombre associé à un graphe est un invariant de graphe, s'il n'est pas modifié par un isomorphisme de graphes. Par exemple, le nombre chromatique est un invariant de graphe.

Bibliographie

(en) Eric W. Weisstein, « Invariant », sur MathWorld
(en) « Invariant », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)

Articles connexes

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