불변량

수학에서 불변량(不變量, invariant, 불변값)은 어떤 유형의 변형이 객체에 적용될 때 변경되지 않고 보존되는, 수학적 객체의 클래스에 의해서 계속 유지되는 속성을 가리킨다.

또한, 특정 클래스의 객체와 변환 유형은 해당 적용상에서 특정적으로 정의되므로, 이에 따라 불변량의 표현도 조금씩 다르게, 그리고 다양하게 표현될 수 있다.

예를 들면 불변량은 변하지 않는 고유한 값이기에 한편으로는 괴물군에서 존스 다항식처럼 동일한 매듭들에서 이들이 서로 다른 매듭들인지를 변별하는 수학적 특성이나 값을 가리킬 수도 있다.^[1]

예시

예를 들어, 삼각형의 영역에서 보면, 내각의 합이 $180^{\circ }$ 라는 불변량을 갖는데 이러한 불변량의 값은 삼각형의 클래스에서 일정한 속성이 된다.

또 다른 예로, 피타고라스의 정리에서처럼 직각 $90^{\circ }$ 에 대한 빗변은 항상 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합의 제곱근으로 나타내어지는 관계를 갖는 일종의 불변량이다.

a^{2}+b^{2}=c^{2}

또한, 등각 사상은 각도를 유지하는 평면의 변형으로 정의된다.

또한 함수에서도 의도된 조작으로 변하지 않는 불변량을 찾는 것이 가능하다.

이처럼 불변량은 기하학, 위상수학 및 대수학과 같은 다양한 수학 영역에서 사용된다. 몇 가지 중요한 변환 클래스는 변형되지 않는 불변 값으로 정의되기도 한다.

불변량의 정의는 수학적 객체를 분류하는 과정에서 중요한 단계이다.

불변량을 이용한 문제 접근

가우스가 제시한 불변량을 사용한 $1$ 부터 $100$ 까지의 합 계산식

{\begin{array}{cc}{\begin{array}{r}\\\\\end{array}}&{\begin{array}{|rrrr}x=1&+2&+3&+4&+\cdots &+97&+98&+99&+100\\x=100&+99&+98&+97&+\cdots &+4&+3&+2&+1\\\hline 2x=101&+101&+101&+101&+\cdots &+101&+101&+101&+101\\\end{array}}\end{array}}

2x=101\times 100

2x=10100

x={{10100} \over {2}}

x=5050

여기서 가우스가 사용한 불변량의 값은 $101$ 이다.

함수에서의 불변량

농도

소금물에서, 소금의 양은 변하지 않는 불변량으로 볼 수 있다.

소금물 $100$ 에 소금이 $10$ 만큼 녹아있다면, 이 소금물의 농도는 $10\%$ 이다. 이 소금물에 물을 $100$ 만큼 부으면, 이 소금물의 양은 $200$ 이 되고 소금물의 농도는 $5\%$ 로 변한다. 그러나 소금의 양은 여전히 $10$ 으로 일정하기 때문에, 소금의 양은 일종의 불변량이라고 볼 수 있다.