Ennéagone
Un ennéagone[1], ou nonagone[2],[3],[4], est un polygone à 9 sommets, donc 9 côtés et 27 diagonales.
| Ennéagone régulier | |
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| Type | Polygone régulier |
|---|---|
| Arêtes | 9 |
| Sommets | 9 |
| Symbole de Schläfli | {9} |
| Diagramme de Coxeter-Dynkin |   
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| Groupe de symétrie | groupe diédral D18 |
| Angle interne | 140° |
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La somme des angles internes d'un ennéagone non croisé vaut 7π radians, soit 1 260 degrés.
Un ennéagone régulier est un ennéagone dont les neuf côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a trois : deux étoilés (les ennéagrammes notés {9/2} et {9/4}) et un convexe, noté {9}. C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéagone régulier ».
Caractéristiques de l'ennéagone régulier
modifierSi le côté a pour longueur a :
- chacun des 9 angles internes mesure 7π/9 rad = 140° ;
- chaque angle au centre mesure 2π/9 rad = 40° ;
- le rayon du cercle circonscrit vaut ;
- l'apothème (le rayon du cercle inscrit) est (a/2) cot(π/9) ;
- La grande diagonale a pour longueur ;
- l'aire est égale à .
Construction d'un ennéagone régulier
modifierUn ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel. Il l'est, par contre, « par neusis », avec une règle marquée et un compas.
Soient deux point A et B donnés. Il s'agit de construire un ennéagone de côté [AB] de longueur u. On appelle D1 la droite contenant A et B. Une des méthodes possibles est la suivante[réf. souhaitée]:
- Construction de l'axe de symétrie de la figure et d'un triangle équilatéral:
- on trace les cercles C1 de centre A passant par B, et C2 de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en deux points E et F, F étant le point du demi-plan d'origine D1 dans lequel on veut situer le centre de l'ennéagone ;
- on trace la droite D2 passant par E et F ;
- on trace les droites D3 et D4, passant par F et, respectivement, par A et B.
- Construction du point G (un des sommets de l'enneagone) par neusis :
- on trace le cercle C3 de centre F passant par A ;
- on marque la règle de deux points X et Y distants de u égal au segment AB qui est le côté du triangle équilatéral ;
- on fait glisser la règle marquée en pivotant autour du point B et en maintenant la marque X sur D3, avec la marque Y entre X et B, jusqu'à ce que la marque Y de la règle se trouve sur le cercle C3, en un point H. La marque X se trouve alors en un point G sur la droite D3. On trace la droite D5 passant par B, H et G.
- Construction du point J (un autre sommet de l'ennéagone) et du cercle circonscrit à l'ennéagone :
- on trace le cercle C4 de centre B passant par G, et le cercle C5 de centre G passant par B. Ces deux cercles se coupent en I et J, J étant le point situé dans le demi-plan d'origine D5 contenant A ;
- on trace la droite D6 passant par I et J. Elle coupe D2 en K centre du cercle circonscrit à l'ennéagone ;
- on trace le cercle C6 de centre K passant par A. Il passe aussi par B, G et J.
- Marquage des points L, M, N et O de l'ennéagone :
- C6 coupe D4, C1 et C2, en des points autres que les points A ou B, respectivement en L, M et N ;
- C6 coupe D2 en un point O dans le demi-plan d'origine D1 contenant K.
- Construction du dernier point P : on trace la droite D7 passant par K et H. Elle coupe C6 en P dans le demi-plan d'origine D5 contenant N.
Le polygone ABNPGOLJM est l'ennéagone recherché.
La démonstration complète est un peu longue mais relève de la géométrie élémentaire.
Architecture
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Les remparts de Palmanova, en Italie, furent bâtis par les Vénitiens en suivant un plan circulaire où les neuf bastions occupent les sommets d'un ennéagone régulier.
Notes et références
modifier- Denis Henrion, Mémoires mathématiques, (lire en ligne), p. 358.
- Michel Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, M. Hayez, (lire en ligne), p. 453, 480 et 484.
- Encyclopédie méthodique, Mathématiques, vol. 2, p. 468.
- Le mot « nonagone » associe un préfixe latin et un suffixe grec.
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifierLiens externes
modifier- G. Villemin, « Ennéagone », sur Nombres - Curiosités, théorie et usages
- (en) Eric W. Weisstein, « Trigonometry Angles — Pi/9 », sur MathWorld
- Ennéagone régulier : construction approchée sur geogebratube.org (précision 0,006 %)
- Constructions approchées d'un ennéagone régulier par l'IREM de l'université Montpellier 2
- Tracé de l'ennéagone (méthode approchée) sur le site du château de Mézerville (précision 1 %)
