Catégorie des groupes

En mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes.

Définition

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La catégorie des groupes

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La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante :

La 2-catégorie des groupes

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En théorie des catégories supérieures il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même. On dispose alors d'une nouvelle définition : la 2-catégorie des groupes Grp est la sous-2-catégorie pleine de la catégorie des groupoïdes formée ainsi :

  • Les objets sont les groupoïdes à un objet ;
  • Les 1-morphismes sont les foncteurs entre de tels objets. Ils correspondent exactement aux morphismes de groupes au sens usuel.
  • Les 2-morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Ils sont définis par les automorphismes intérieurs. Si f et g sont deux foncteurs (morphismes de groupes) d'un groupe G vers un groupe H, il existe a élément de H tel que, pour tout x élément de G,  .

La catégorie des groupes sur une catégorie

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Si K est une catégorie quelconque, on définit la catégorie GrpK des groupes sur K ainsi :

  • Les objets sont les objets groupes (en) dans K, c'est-à-dire les objets G tels que, pour tout objet X, il existe une structure de groupe sur   telle que   est un foncteur contravariant   ;
  • Les morphismes sont les homomorphismes entre objets groupes.

Dans ce cadre, la catégorie des groupes topologiques s'identifie à la catégorie des groupes sur Top, la catégorie des groupes de Lie à la catégorie des groupes sur la catégorie des variétés lisses et la catégorie des faisceaux de groupes sur un espace X s'identifie à la catégorie des groupes sur la catégorie des faisceaux d'ensembles sur X.

Groupes, monoïdes et ensembles

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Tout groupe est en particulier un monoïde, on dispose donc naturellement d'un foncteur d'oubli :

 

Ce foncteur apparaît dans un triplet d'adjonction   où :

On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir finalement que les éléments d'un groupe comme formant un ensemble. Cela correspond à un foncteur d'oubli

 

auquel est naturellement adjoint le foncteur libre F, c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a

 

En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli

 

dans la catégorie des ensembles. qui est adjoint à droite du foncteur libre

 

Propriétés

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Propriétés catégoriques

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Morphismes

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Limites

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Références

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  1. On trouvera une construction plus détaillée de la catégorie des groupes dans Saunders Mac Lane, Algèbre, Jacques Gabay, p. 129