En théorie des catégories, un objet projectif est une forme de généralisation des modules projectifs. Les objets projectifs dans les catégories abéliennes sont utilisés en algèbre homologique. La notion duale d'objet projectif est celle d'objet injectif (en).

Définition

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Un objet   dans une catégorie   est dit projectif si pour tout épimorphisme   et tout morphisme  , il existe un morphisme   tel que  , c'est-à-dire que le diagramme suivant commute :

 

Autrement dit, tout morphisme   se factorise par les épimorphismes  [1].

Si C est localement petite, et donc qu'en particulier   est un ensemble pour tout objet X de C, cette définition est équivalente à dire que le foncteur hom (également appelé foncteur coreprésentable) :

 

préserve les épimorphismes[2].

Objets projectifs dans les catégories abéliennes

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Si la catégorie C est une catégorie abélienne (comme par exemple la catégorie des groupes abéliens), alors P est projectif si et seulement si

 

est un foncteur exact (où Ab est la catégorie des groupes abéliens).

Une catégorie abélienne   est dite posséder suffisamment de projectifs si, pour tout objet   de  , il existe un objet projectif   de   et un épimorphisme de P vers A ou si, de manière équivalente, il existe une suite exacte courte :

 

L'objectif de cette définition est de s'assurer que tout objet A admette une résolution projective (en), c'est-à-dire une suite exacte :

 

où les objets   sont projectifs.

Propriétés

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Exemples

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L'affirmation que tous les ensembles sont projectifs est équivalente à l'axiome du choix[5].

Les objets projectifs de la catégorie des groupes abéliens sont les groupes abéliens libres.

Soit   un anneau, et  - Mod la catégorie (abélienne) des  -modules à gauche. Les objets projectifs de   - Mod sont exactement les modules projectifs. Par conséquent,   est lui-même un objet projectif dans   - Mod. De manière duale, les objets injectifs dans   - Mod sont exactement les modules injectifs.

La catégorie des   -modules à gauche (resp. à droite) a de plus suffisamment de projectifs. C'est le cas, car pour tout   -module à gauche (resp. à droite)  , on peut considérer   le module libre (et donc projectif) engendré par un ensemble   qui est générateur pour   (on peut en réalité prendre   égal à  ). La projection canonique   est la surjection requise.

Dans la catégorie des espaces de Banach munis des contractions, les épimorphismes sont exactement les fonctions dont l'image est dense. Wiweger (1969)[réf. incomplète] montre que l'espace nul est le seul objet projectif de cette catégorie. Il existe cependant des espaces non triviaux et projectifs par rapport à la classe des contractions surjectives. Dans la catégorie des espaces vectoriels normés munis des contractions (et des fonctions surjectives comme "surjections"), les objets projectifs sont exactement les espaces  [6] :

 

Notes et références

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Références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Projective object » (voir la liste des auteurs).
  1. Awodey 2010, p. 33.
  2. (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], p. 118.
  3. Awodey 2010, § 2.1.
  4. Awodey 2010, p. 72.
  5. (en) Andreas Blass (en), « Injectivity, projectivity, and the axiom of choice », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 255,‎ , p. 31-59 (DOI 10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6).
  6. (en) Z. Semadeni, « Projectivity, injectivity and duality », Rozprawy Mat., vol. 35,‎ (lire en ligne), 47 p.

Bibliographie

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