Patokaava

Thomsonin pato, joita Suomessa on käytetty ojien virtaamamittauksissa.

Patokaava on fysikaalinen lauseke, jolla voidaan arvioida tietyntyyppisen padon läpi kulkevan nesteen (yleensä veden) virtaamaa Q yläpuolisen altaan vedenkorkeuden h funktiona. Patokaavoja on useita erilaisia, ja niihin sisältyy yleensä semiempiirisiä korjausparametreja, jotka ottavat huomioon pintajännitysten vaikutuksen sekä vesisuihkun kapenemisen padon suulla (ennen niin sanottua vena contracta -pistettä).

Virtaaman dimensio on [L³ T^-1], ja sen lauseke saadaan integroimalla virtausnopeutta v vesisuihkun poikkipinnan A yli. Padon kynnyksen kohdalla virtausnopeus on likimain kohtisuorassa suihkun poikkileikkausta vastaan, joten pätee

$Q=\int _{A}v\,{\textrm {d}}A$

Erimuotoisia patokaavoja saadaan nyt sijoittamalla yllä olevaan lausekkeeseen Bernoullin yhtälön antama virtausnopeus sekä huomioimalla integroinnissa padon poikkileikkauksen geometria.

Suorakulmainen pato

Tarkastellaan suorakulmaista patoa, jonka yläreuna on korkeudella z = 0. Olkoon nyt patoaltaan vedenpinta korkeudella z = h. Bernoullin yhtälöstä lähtien voidaan osoittaa, että virtausnopeus purkautuvassa vesisuihkussa on korkeudella z likimain

$v={\sqrt {2g(h-z)}}$,

missä g on putoamiskiihtyvyys. Jos nyt padon leveys on B, on virtaama

$Q=\int _{\Delta _{2}}^{h-\Delta _{1}}{\sqrt {2g(h-z)}}B\,{\textrm {d}}z={\frac {2}{3}}\mu {\sqrt {2g}}Bh^{3/2}$

missä Δ₁ ja Δ₂ kuvaavat suihkun kapenemista ylä- ja alareunasta padon suulla, ja määritellään purkautumiskerroin μ siten, että

$\mu =\left(1-{\frac {\Delta _{2}}{h}}\right)^{3/2}-\left({\frac {\Delta _{1}}{h}}\right)^{3/2}$

Määritelmän mukaisesti purkautumiskerroin on aina ykköstä pienempi, ja yleensä se on luokkaa 0,6...0,7. Käytännössä sen arvo on selvitettävä kokeilun kautta.

V-aukkoinen pato

V-aukkoisen padon (toiselta nimeltään Thomsonin padon) virtaamalle voidaan vastaavin menetelmin johtaa lauseke

$Q={\frac {8}{15}}\mu {\sqrt {2g}}\tan \left({\frac {\vartheta }{2}}\right)h^{5/2}$

missä ϑ on V-aukon kulma (esimerkiksi 90°). Purkautumiskerroin μ on luokkaa 0,6 virtausnopeuden ollessa alle 30 cm s^-1 .

Esimerkki

Hitaasti virtaavaan ojaan asennettiin virtaaman määrittämiseksi Thomsonin pato, jonka V-aukon kulma oli 90°. Tietyllä ajanhetkellä havaittiin yläjuoksulla vedenpinnan olevan 4,5 cm V-aukon pohjaa ylempänä. Tästä päätellään, että kyseisellä hetkellä ojavirtaaman suuruus oli

$Q=\left[{\frac {8}{15}}\times 0.6\times {\sqrt {2\times 9.81}}\times \tan 45^{\circ }\times (0.045)^{5/2}\right]\,{\text{m}}^{3}\,{\text{s}}^{-1}\approx (6.1\times 10^{-4})\,{\text{m}}^{3}\,{\text{s}}^{-1}=0.61\,\ell \,{\text{s}}^{-1}$

Aiheesta muualla

• Laskuri suorakulmaiselle padolle sekä Kindsvater-Carter -yhtälö (englanniksi)