Lähdekoodi sivulle Harmoninen funktio

==Yleistyksiä==
Funktio, tai yleisemmin matemaattinen [[distribuutio]], on [[heikosti harmoninen funktio|heikosti harmoninen]], jose toteuttaa Laplacen yhtälön
:<math>\Delta f = 0\,</math>
[[heikko derivaatta|heikossa muodossa]]. Heikosti harmoninen funktio saa [[melkein kaikkialla]] saman arvon kuin jokin vahvasti harmoninen funktio, ja erityisesti se on [[sileä funktio|sileä]]. Heikosti harmoninen distribuutio on nimenomaisesti vahvasti harmoniseen funktioon liittyvä distribuutio ja näin ollen sekin on sileä. Tämä tulos on nimeltään [[Weylin lemma]].

Laplacen yhtälölle on muitakin [[heikko muotoilu|heikkoja muotoilua]], jotka usein ovat käyttökelpoisia. Yksi niistä on [[Dirichletin periaate]], joka kuvaa [[Sobilevin avaruus|Sobolevin avaruuden]] ''H''<sup>1</sup>(Ω) harmoniset funktiot funktioina, jotka minimoivat [[Dirichletin energia]]integraalin
:<math>J(u):=\int_\Omega |\nabla u|^2\, dx</math>
lokaalisten variaatioiden osalta, toisin sanoen kaikkien sellaisten funktioiden  <math>u\in H^1(\Omega)</math> 
osalta, joille ''J''(''u'') ≤ ''J''(''u'' + ''v'') pätee kaikilla arvoilla <math>v\in C^\infty_c(\Omega),</math> tai yhtäpitävästi kaikilla arvoilla <math>v\in H^1_0(\Omega).</math>

===Harmoniset funktiot monistoilla===
Harmoniset funktiot voidaan määritellä millä tahansa [[Riemannin monisto]]lla käyttämällä [[Laplacen–Beltramin operaattoria]] Δ. Tässä yhteydessä funktiota sanotaan harmoniseksi, jos 
:<math>\ \Delta f = 0.</math>
Monet [[euklidinen avaruus|euklidisen avaruuden]] alueilla määriteltyjä harmonisia funktioita koskevat tulokset pätevät yleisemmässäkin tapauksessa, muun muassa keskiarvoperiaate ([[geodesia|geodeettisilla]] palloilla), maksimiperiaate ja Harnackin epäyhtälö. Keskiarvolausetta lukuun ottamatta nämä ovat helposti todistettavissa yleisiä lineaarisia toisen asteen [[elliptinen osittaisdifferentiaaliyhtälö|elliptisiä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä]] koskevien vastaavien tulosten avulla.

===Subharmoniset funktiot===
Kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia funktioita, jolle pätee Δ''f'' ≥ 0, sanotaan [[subharmoninen funktio|subharmonisiksi]]. Maksimiperiaate pätee myös
subharmonisille funktioille, monet muut harmonisia funktioita koskevat tulokset sen sijaan eivät. Voidaan osoittaa, että funktio ''f'' on
subharmoninen, jos ja vain jos alueella, jossa se on määritelty, jokaisen pallopinnalle on olemassa sellainen harmoninen funktio ''g'', 
että ''f''(''x'') = ''g''(''x'') jokaisessa pisteessä ''x'', joka sijaitsee pallon pinnalla, mutta ''f''(''x'')'' <= ''g''(''x'')
jokaisessa pisteessä ''x'', joka sijaitsee pallon sisällä.

===Harmoniset muodot===
Muuan harmonisten funktioiden teorian yleistys on [[Riemannin monisto]]illa määriteltyjen [[harmoninen muoto|harmonisten muotojen]] teoria, joka liittyy [[kohomologia]]n. Harmonisten funktioiden yleistyksiä ovat myös vektoriarvoiset harmoniset funktiot, jotka ovat harmonisia kuvauksia yhdeltä Riemannin monistolta toiselle. Ne ovat samalla Dirichletin yleistetyn energiafunktionaalin kriittisiä pisteitä. Niihin kuuluvat erikoistapauksena myös harmoniset funktiot, mikä tulos tunnetaan [[Dirichletin periaate|Dirichletin periaatteena]]. Tällaiset harmoniset kuvaukset esiintyvät minimaalisten pintojen teoriassa. Esimerkiksi Riemannin monistolla [[käyrä]]t voidaan määritellä kuvauksina joltakin <math>\mathbb{R}</math>:n väliltä monistolle, ja tällöin kyseessä on harmoninen kuvaus, jos ja vain jos käyrä on [[geodeettinen viiva]].

===Monistojen väliset harmoniset kuvaukset===
Jos ''M'' ja ''N'' ovat kaksi Riemannin monistoa, [[harmoninen kuvaus]] {{nowrap|''u'' : ''M'' &rarr; ''N''}} 
määritellään Diricletin energian kriittisenä pisteenä
:<math>D[u] = \frac{1}{2}\int_M \|du\|^2\,d\operatorname{Vol}</math> 
missä {{nowrap|''du'' : ''TM'' &rarr; ''TN''}} on ''u'':n differentiaali, ja normin määrittävät ''M'':n ja ''N'':n metriikat tensoritulojen joukossa  ''T''*''M'' ⊗ ''u''<sup>&minus;1</sup> ''TN''.

Tärkeitä harmonisten kuvausten erikoistapauksia ovat [[minimipinta|minimipinnat]], jotka ovat juuri pintojen harmonisia upotuksia kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Yleisemmin minimaaliset alimonistot ovat monistojen harmonisia upotuksia toisiin. [[Harmoninen koordinaatisto]] ovat harmoninen [[diffeomorfismi]] monistolta jollekin yhtä moniulotteisen euklidisen avaruuden avoimelle alueelle.

{{käännös|:en:Harmonic function}}