Harmoninen funktio

Rengasmaisella, kahden samankeskeisen ympyräviivan välisellä alueella määriteltyjä harmonisia funktioita

Harmoninen funktio on vähintään kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen matemaattinen funktio f: U → $\mathbb {R}$, joka on määritelty jossakin avaruuden $\mathbb {R} ^{n}$ avoimessa osajoukossa U ja joka toteuttaa Laplacen yhtälön

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0$

Tämä kirjoitetaan yleensä muotoon

$\nabla ^{2}f=0$

tai

$\textstyle \Delta f=0$

Koska kompleksitaso $\mathbb {C}$ voidaan samastaa avaruuden $\mathbb {R} ^{2}$ kanssa, harmonisen funktion käsite on käyttökelpoinen myös, kun määrittely­joukkona on jokin kompleksitason alue. Tällöin kyseessä on kompleksimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Kompleksitasossa jokaisen analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat harmonisia funktioita.

Harmonisilla funktiolla on suuri merkitys myös matemaattisessa fysiikassa ja stokastisten prosessien teoriassa.

Esimerkkejä ja fysikaalisia sovelluksia

Staattisen sähkökentän potentiaali alueella, jossa ei ole varausta, on paikan harmoninen funktio. Jos varaukset ovat keskittyneet joko erillisiin pisteisiin, käyrille tai pinnoille, potentiaalia esittää harmoninen funktio, jonka määrittelyalue U käsittää koko avaruuden $\mathbb {R} ^{3}$ lukuun ottamatta niitä kohtia, joissa varaukset ovat. Varausten kohdalla funktiolla on singulariteetti, jossa se ei ole määritelty.

Esimerkkejä tällaisista kolmen reaalimuuttujan harmonisista funktioista, jotka samalla kuvaavat sähkökenttää eri tilanteissa, esitetään seuraavassa taulukossa. Siinä r tarkoittaa lukua, jonka neliö on $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$. Funktio on määritelty alueella, joka käsittää koko avaruuden singulariteettia lukuun ottamatta.

Funktio	Singulariteetti	Varausjakauma, jonka ympärillä on tämän funktion mukainen kenttä
${\frac {1}{r}}$	Origo {(0,0,0)}	Pistemäinen yksikkövaraus origossa
${\frac {x}{r^{3}}}$	Origo {(0,0,0)}	x-akselin suuntainen dipoli origossa
$-\ln(r^{2}-z^{2})\,$	z-akseli	Koko z-akselille jakautunut varaus, jonka tiheys tällä suoralla on kaikkialla 1
$-\ln(r+z)\,$	negatiivinen z-akseli	Koko negatiiviselle z-akselille jakautunut varaus, jonka tiheys tällä puolisuoralla on kaikkialla 1
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	z-akseli	Jono x-akselin suuntaisia dipoleja, jotka täyttävät koko z-akselin
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	negatiivinen z-akseli	Jono x-akselin suuntaisia dipoleja, jotka täyttävät koko negatiivisen z-akselin

Kaikki nämä voivat kuvata myös gravitaatiokentän potentiaalia tilanteessa, jossa massat ovat keskittyneet singulariteetteihin.

Vastaavia esimerkkejä voidaan esittää myös tasossa $\mathbb {R} ^{2}$. Esimerkiksi funktio

$\,\!f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

on harmoninen, ja se on määritelty alueessa $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace$. Tämä funktio kuvaa pitkällä suoralla johtimella olevaa varausta ympäröivän sähkökentän potentiaalia tai myös pitkää lieriömäistä massaa ympäröivää gravitaatiopotentiaalia.

Kuten nämä esimerkit osoittavat, fysiikassa esiintyvät harmoniset funktiot määräytyvät niiden singulariteettien ja reunaehtojen perusteella. Harmoniseen funktioon, jolla on singulariteetti, voidaan kuitenkin lisätä mikä tahansa koko $\mathbb {R} ^{n}$:ssä määritelty harmoninen funktio, jolloin saadaan toinen harmoninen funktio, jolla on sama singulariteetti, ja näin ollen singulariteetti ei määritä harmonista funktiota yksikäsitteisesti. Jos kuitenkin edellytetään, että funktion raja-arvo argumenttien lähestyessä ääretöntä on nolla, singulariteetti määrittää funktion yksikäsitteisesti, mikä seuraa Liouvillen lauseesta.

Esimerkkejä n muuttujan harmonisista funktioista ovat:

• Vakiot, lineaariset ja affiinit funktiot koko avaruudessa $\mathbb {R}$
• Funktio $\,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2})^{1-n/2}$ joukossa $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$, kun n > 2.

Huomautuksia

Annetussa avoimessa joukossa U määriteltyjen harmonisten funktioiden joukkoa voidaan pitää Laplacen operaattorin Δ ytimenä tässä joukossa, ja näin ollen se muodostaa vektoriavaruuden, jonka kerroinrenkaana on $\mathbb {R}$. Toisin sanoen harmonisia funktioita lasketaan yhteen, vähennetään toisistaan tai kerrotaan vakiolla, saadaan jälleen harmonisia funktioita.

Jos f on harmoninen funktio alueessa U, myös f:n kaikki osoittaisderivaatat ovat harmonisia funktioita alueessa U. Laplacen operaattori Δ ja osittaisderivaattaoperaattori kommutoivat tässä funktioluokassa.

Harmoniset funktiot muistuttavat monessa suhteessa kompleksilukujen holomorfisia funktioita. Kaikki harmoniset funktiot ovat analyyttisiä, toisin sanoen ne voidaan lokaalisti ilmaista potenssisarjana. Tämä pätee yleensäkin kaikille elliptisille operaattoreille, joista Laplacen operaattori on tärkeä esimerkki.

Harmonisten funktioiden tasaisesti suppenevan jonon raja-arvo on myös harmoninen funktio. Tämä seuraa siitä, että jokainen jatkuva funktio, joka toteuttaa keskiarvoperiaatteen, on harmoninen. Käsitellään esimerkkinä alueessa (−∞, 0) × $\mathbb {R}$ määriteltyä funktiojonoa $\scriptstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny)$. Sarjan funktiot ovat harmonisia, ja se suppenee tasaisesti on harmoninen ja suppenee tasaisesti kohti nollafunktiota. Kuitenkaan sen osittaisderivaatat eivät suppene tasaisesti kohti nollafunktiota. Tämä esimerkki osoittaa, että todistettaessa, että jokin raja-arvo on harmoninen, on viitattava keskiarvo-ominaisuuteen ja jatkuvuuteen.

Harmoniset funktiot ja kompleksifunktioiden teoria

Jokaisen holomorfisen funktion reaali- ja imaginaariosa tasossa $\mathbb {C}$ eli $\mathbb {R} ^{2}$ ovat harmonisia funktioita. Näiden sanotaan muodostavan parin harmonisia konjugaatti­funktiota. Kääntäen jokainen funktio u, joka on harmoninen jossakin tason $\mathbb {C}$ avoimessa osajoukossa Ω, on lokaalisti jonkin holomorfisen funktion reaaliosa. Tämä seuraa siitä, että kun kompleksiluku kirjoitetaan muodossa z = x + iy, kompleksinen funktio g(z)  := u_x − i u_y on holomorfinen Ω:ssa, koska se toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt. Sen vuoksi g:llä on lokaalinen primitiivi f, ja u on f:n reaaliosa tiettyyn vakioon saakka, sillä u_x on $\scriptstyle f\,^{\prime }=g$:n reaaliosa.

Vaikka tämä yhteys harmonisten ja holomorfisten funktioiden välillä pätee vain kahden reaalimuuttujan tapauksessa, useammankin muuttujan harmonisilla funktioilla on holomorfisten funktioiden kanssa monia yhteisiä ominaisuuksia. Ne ovat reaalimuuttujien funktioina analyyttisiä, niitä koskee maksimiperiaate ja keskiarvoperiaate. Myös singulariteettien poistuvuutta koskeva tulos ja Liouvillen lause pätevät niille vastaavalla tavalla kuin kompleksitason holomorfisille funktioille.

Harmonisten funktioiden ominaisuuksia

Laplacen yhtälöstä seuraa harmonisille funktioille useita merkittäviä ominaisuuksia.

Harmoniset funktiot ovat äärettömän monta kertaa differentoituvia. Samalla ne ovat reaalianalyysin mielessä analyyttisia funktioita.

Maksimiperiaate

Harmonisille funktioille pätee seuraava maksimiperiaate: jos K on U:n kompakti osajoukko, funktion f rajoittumalla K:hon saa suurimman ja pienimmän arvonsa K:n reunalla. Jos U on yhtenäinen, tästä seuraa, ettei funktiolla f voi olla paikallista maksimia tai minimiä, ellei se ole vakio. Vastaava ominaisuus on subharmonisilla funktioilla.

Keskiarvoperiaate

Jos B(x, r) on pallo, jonka keskipiste on x ja säde r ja joka kokonaan sisältyy avoimeen alueeseen $\Omega \in \mathbb {R} ^{n}$, niin harmonisen funktion u: Ω → $\mathbb {R}$ arvo u(x) pallon keskipisteessä on sama kuin sen arvojen keskiarvo pallon pinnalla; tämä keskiarvo on samalla u:n keskiarvo pallon sisällä. Toisin sanoen

$u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

missä ω_n on yksikköpallon pinta-ala n-ulotteisessa avaruudessa ja σ n-1 -ulotteinen pintamitta.

Kääntäen kaikki lokaalisti integroituvat funktiot, jotka toteuttavat keskiarvo­periaatteen pallon sisällä, ovat sekä äärettömän monta kertaa differentoituvia että harmonisia.

Tätä keskiarvolausetta voidaan yleistää seuraavasti: Jos h on pallosymmetrinen funktio, jolla on sellainen kantaja alueessa B(x,r), että ∫h = 1, niin u(x) = h * u(x). Toisin sanoen voidaan muodostaa u:n painotettu keskiarvo pisteen ympärillä ja ratkaista u(x). Erityisesti jos funktioksi h valitaan jokin äärettömän monta kertaa jatkuvasti differentoituva funktio, u:n arvo voidaan ratkaista missä pisteessä tahansa, vaikka tunnettaisiin vain, kuinka u käyttäytyy jakaumanana. Tämän osoittaa Weylin lemma.

Harnackin epäyhtälö

Olkoon u ei-negatiivinen harmoninen funktio rajoitetulla alueella Ω. Silloin jokaisessa yhtenäisessä joukossa

$V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,$

Harnackin epäyhtälö

$\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$

pätee jollakin vakiolla C, joka riippuu vain V:stä ja alueesta Ω.

Singulariteettien poistuvuus

Singulariteetti eli erikoispiste on piste, jossa funktio ei ole määritelty. Singulariteetti on poistuva, jos funktiolla on raja-arvo kyseisessä pisteessä, muussa tapauksessa se on oleellinen.

Samoin kuin analyyttisille, myös harmonisille funktioille pätee seuraava tulos singulariteettien poistuvuudesta. Jos harmoninen funktio f on määritelty alueessa Ω yhtä pistettä x₀ lukuun ottamatta, toisin sanoen alueessa $\scriptstyle \Omega \,\setminus \,\{x_{0}\}$ of Rⁿ , ja jos funktio lisäksi on rajoitettu, sillä on raja-arvo pisteessä x₀ Jos lisäksi funktion määrittelyalue laajennetaan käsittämään myös piste x₀ ja sen arvoksi tässä pisteessä määritellään sen raja-arvo, funktio on harmoninen myös tässä pisteessä ja siten koko alueessa Ω.

Liouvillen lause

Jos koko $\mathbb {R}$:ssa määritelty harmoninen funktio f on joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu, se on vakio. Vastaava Liouvillen lause pätee myös kompleksi­muuttujien analyyttisille funktioille.

Edward Nelson esitti tälle erityisen lyhyen todistuksen, joka perustuu edellä mainittuun keskiarvo-ominaisuuteen.

Olkoon annettu kaksi pistettä. Valitaan kaksi kuula, joiden keskipisteinä ne ovat ja joilla on yhtä suuri säde. Jos säde on tarpeeksi suuri, kuulat ovat suurelta osin päällekkäin, ja toisesta kuulasta toisen ulkopuolella olevan osan tilavuuden suhteellinen osuus koko kuulan tilavuudesta voi olla kuinka pieni tahansa. Koska f on rajoitettu, sen keskiarvot kummassakin kuulassa voivat olla kuinka lähellä toisiaan tahansa, kunhan vain niiden säde valitaan tarpeeksi suureksi, ja täten f:llä on sama arvo missä tahansa kahdessa pisteessä.

Yleistyksiä

Funktio, tai yleisemmin matemaattinen distribuutio, on heikosti harmoninen, jose toteuttaa Laplacen yhtälön

$\Delta f=0\,$

heikossa muodossa. Heikosti harmoninen funktio saa melkein kaikkialla saman arvon kuin jokin vahvasti harmoninen funktio, ja erityisesti se on sileä. Heikosti harmoninen distribuutio on nimenomaisesti vahvasti harmoniseen funktioon liittyvä distribuutio ja näin ollen sekin on sileä. Tämä tulos on nimeltään Weylin lemma.

Laplacen yhtälölle on muitakin heikkoja muotoilua, jotka usein ovat käyttökelpoisia. Yksi niistä on Dirichletin periaate, joka kuvaa Sobolevin avaruuden H¹(Ω) harmoniset funktiot funktioina, jotka minimoivat Dirichletin energiaintegraalin

$J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx$

lokaalisten variaatioiden osalta, toisin sanoen kaikkien sellaisten funktioiden $u\in H^{1}(\Omega )$ osalta, joille J(u) ≤ J(u + v) pätee kaikilla arvoilla $v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ tai yhtäpitävästi kaikilla arvoilla $v\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

Harmoniset funktiot monistoilla

Harmoniset funktiot voidaan määritellä millä tahansa Riemannin monistolla käyttämällä Laplacen–Beltramin operaattoria Δ. Tässä yhteydessä funktiota sanotaan harmoniseksi, jos

$\ \Delta f=0.$

Monet euklidisen avaruuden alueilla määriteltyjä harmonisia funktioita koskevat tulokset pätevät yleisemmässäkin tapauksessa, muun muassa keskiarvoperiaate (geodeettisilla palloilla), maksimi­periaate ja Harnackin epäyhtälö. Keskiarvolausetta lukuun ottamatta nämä ovat helposti todistettavissa yleisiä lineaarisia toisen asteen elliptisiä osittais­differentiaali­yhtälöitä koskevien vastaavien tulosten avulla.

Subharmoniset funktiot

Kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia funktioita, jolle pätee Δf ≥ 0, sanotaan subharmonisiksi. Maksimiperiaate pätee myös subharmonisille funktioille, monet muut harmonisia funktioita koskevat tulokset sen sijaan eivät. Voidaan osoittaa, että funktio f on subharmoninen, jos ja vain jos alueella, jossa se on määritelty, jokaisen pallopinnalle on olemassa sellainen harmoninen funktio g, että f(x) = g(x) jokaisessa pisteessä x, joka sijaitsee pallon pinnalla, mutta f(x) <= g(x) jokaisessa pisteessä x, joka sijaitsee pallon sisällä.

Harmoniset muodot

Muuan harmonisten funktioiden teorian yleistys on Riemannin monistoilla määriteltyjen harmonisten muotojen teoria, joka liittyy kohomologian. Harmonisten funktioiden yleistyksiä ovat myös vektoriarvoiset harmoniset funktiot, jotka ovat harmonisia kuvauksia yhdeltä Riemannin monistolta toiselle. Ne ovat samalla Dirichletin yleistetyn energiafunktionaalin kriittisiä pisteitä. Niihin kuuluvat erikois­tapauksena myös harmoniset funktiot, mikä tulos tunnetaan Dirichletin periaatteena. Tällaiset harmoniset kuvaukset esiintyvät minimaalisten pintojen teoriassa. Esimerkiksi Riemannin monistolla käyrät voidaan määritellä kuvauksina joltakin $\mathbb {R}$:n väliltä monistolle, ja tällöin kyseessä on harmoninen kuvaus, jos ja vain jos käyrä on geodeettinen viiva.

Monistojen väliset harmoniset kuvaukset

Jos M ja N ovat kaksi Riemannin monistoa, harmoninen kuvaus u : M → N määritellään Diricletin energian kriittisenä pisteenä

$D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\|du\|^{2}\,d\operatorname {Vol}$

missä du : TM → TN on u:n differentiaali, ja normin määrittävät M:n ja N:n metriikat tensoritulojen joukossa T*M ⊗ u⁻¹ TN.

Tärkeitä harmonisten kuvausten erikois­tapauksia ovat minimi­pinnat, jotka ovat juuri pintojen harmonisia upotuksia kolmi­ulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Yleisemmin minimaaliset alimonistot ovat monistojen harmonisia upotuksia toisiin. Harmoninen koordinaatisto ovat harmoninen diffeomorfismi monistolta jollekin yhtä moni­ulotteisen euklidisen avaruuden avoimelle alueelle.

Katso myös

• Lämpöyhtälö
• Laplacen yhtälö

Lähteet

• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1998.
• David Gilbarg, Neil Trudinger: Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41160-7
• Jost Jürgen: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. 4. painos. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. ISBN 978-3-540-25907-7
• Q. Han, F. Lin: Elliptic Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2000.
• S. Axler, Paul Bourdon, Wade Ramey: Harmonic Function Theory. Springer-Verlag, 2001. ISBN 978-0-387-95218-5 Teoksen verkkoversio.
• Alpay, Daniel: ”9”, A Complex Analysis Problem Book, s. 395. Israel: Birkhäuser, 2010. (englanniksi)
• Lepistö, Timo: Funktioteoria, s. 128–131. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1983.

Aiheesta muualla

• Encyclopedia of Mathematics: Harmonic Funcktion Springer. Viitattu 5.11.2015.
• Wolfram MathWorld: Harmonic Function mathworld.wolfram.com. Viitattu 5.11.2015.
• Harmonic Function Theory by S.Axler, Paul Bourdon, and Wade Ramey