Monikulmio

Monikulmio eli polygoni on geometriassa tasokuvio, jonka reuna on suljettu murtoviiva. Tämä tarkoittaa sitä, että seuraamalla murtoviivaa jana kerrallaan kärjestä toiseen päätyy lopulta takaisin lähtöpisteeseen. Monikulmion määritelmä vaihtelee hieman kirjallisuudessa. Eräät määritelmät rajaavat itseään leikkaavat murtoviivat pois, jolloin monikulmion sisäosat ovat yhtenäiset. Toiset määritelmät hyväksyvät itsensä leikkaamisen, jolloin monikulmio voisi olla myös tähti. Tällöin sisäosan määritelmä on mutkikkaampi. Eräät määritelmät tuntevat täytetyn monikulmion, jolloin sisäosan pisteet ovat osa monikulmiota.

Eräitä monikulmoita

Murtoviivan janoja kutsutaan monikulmion sivuiksi, jotka muodostavat yhdessä monikulmion piirin. Murtoviivan sisään sulkemaa aluetta kutsutaan monikulmion sisäpuoleksi, jonka kokoa voidaan ilmaista pinta-alana. Sivujen liittymispisteet ovat kärkiä ja janojen väliset asennot ilmaistaan kulmina, jotka aukeavat monikulmion sisäpuolelle. Nimityksen mukaisesti monikulmiossa on monta kulmaa. Jos kulmiossa on 5 kulmaa kutsutaan sitä viisikulmioksi. Yleistäen voidaan matemaattisessa tekstissä käyttää termiä n-kulmio, jos siinä on n kappaletta kulmia. Silloin sillä on myös n kärkeä ja n sivua.

Nimityksiä

Luokittelu

Yksinkertainen luokittelutapa on luokitella monikulmiot kulmien lukumäärän mukaisesti. Monikulmiota, jossa on n kulmaa, kutsutaan n-kulmioksi. Tällaisia ovat esimerkiksi

• kolmiot eli kolmikulmiot
• nelikulmiot
• viisikulmiot

Edellä mainittujen kolmion ja nelikulmion lisäksi myös seitsemänkulmiosta käytetään usein esilaista ilmaisua seitsenkulmio.

Monikulmioita on monentyyppisiä ja ne luokitellaan monilla muillakin eri tavoin. Seuraavassa on joitakin luokittelutapoja. Yksittäinen monikulmio saattaa kuulua useaan luokkaan samanaikaisesti.

• Itseään leikkaavan monikulmion murtoviiva leikkaa itseään vähintään kerran.
  • Tähti on säännöllinen itseään leikkaava monikulmio.
• Yksinkertaisen monikulmion murtoviiva ei leikkaa itseään ja sen sisäosa on siten yhtenäinen.
  • Konveksissa monikulmiossa kahden mielivaltaisen reunapisteen välinen jana kuuluu kokonaan monikulmioon. Jokainen sisäkulma on tällöin korkeintaan 180°.
    • Säännöllisellä monikulmiolla on kaikki sivut yhtä pitkät ja kulmat yhtä suuret. Ne ovat symmetrisiä keskipisteen ja n symmetria-akselin suhteen.
    • Syklisen monikulmion kaikki kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä.
    • Tangentiaalisessa monikulmiossa kaikki sivut sivuavat tangentteina ympyrää.
    • Bisentrinen monikulmio on sekä syklinen- että tangentiaalinen monikulmio.
  • Monikulmio on konkaavi, jos se ei ole konveksi. Termiä konkaavi ei oikeastaan kovin paljoa käytetä, koska ne monikulmiot jotka eivät ole konvekseja ovat edelleen hyvin erilaisia keskenään.

Muu luokitteluperuste:

• Tasakulmaisessa monikulmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuria.
• Tasasivuisessa monikulmiossa ovat kaikki sivut yhtä pitkät.
• Monotoninen monikulmio
• Suorakulmaisessa monikulmiossa ovat kaikki kulmat suoria eli 90° tai 270°.

Esimerkkejä

Yleisimmin tarvittavat monikulmiot ovat kolmioita ja nelikulmioita. Kolmiot ovat kaikki yksinkertaisia-, konvekseja- ja syklisiä monikulmioita, mutta riippuen niiden muodosta, ne voivat kuulua eri luokkiin. Tasasivuinen kolmio on samaan aikaan sekä monotoninen-, säännöllinen-, tasakulmainen-, tangentiaalinen- että bisentrinen kolmio. Suorakulmainen kolmio sen sijaan on vain monotoninen-, tangentiaalinen- ja bisentrinen kolmio. Yleensä kolmio on vain monotoninen kolmio. Nelikulmioiden variaatioita on paljon enemmän kuin kolmioiden.

• 
  Monikulmio, joka on sekä neljäkäs että suunnikas.
• 
  Suunnikas
• 
  Suorakulmio
• 
  Yleinen nelikulmio
• 
  Kuusikulmio, joka on konkaavi
• 
  Säännöllinen itseään leikkaava seitsemänkulmio (tavallisesti säännöllisellä seitsemänkulmiolla tarkoitetaan säännöllistä konveksia seitsemänkulmiota).
• 
  Itseään leikkaava kahdeksankulmio
• 
  29-kulmio

Monikulmioiden ominaisuuksia

Kulmat

Yleisessä monikulmiossa on n kappaletta kärkiä (ja kulmia) ja niiden välissä n sivua. Sisäkulmaksi kutsutaan sellaista kulmaa, joka aukeaa monikulmion sisäpuolelle. Monikulmion ulkopuolelle jäävä kulma on sisäkulman eksplementtikulma. Sisäkulmien suuruudet voivat vaihdella suuresti, mutta yksinkertaisen monikulmion kulmien yhteenlaskettu summa on

$\alpha _{1}+\alpha _{2}+\dots +\alpha _{n}=(n-2)\cdot 180^{\circ }$.

Ulkokulma jää kolmion sivun ja viereisen sivun jatkeen väliin. Ulkokulma voidaan piirtää kahdella tavalla, mutta ristikulmina ne ovat aina yhtä suuret. Ulkokulma vaihtelee suuresti, mutta konveksin monikulmion samansuuntaisten ulkokulmien summa on aina sama eli 360°. Jos monikulmio on konkaavi, käytetään suunnattuja kulmia, jolloin kulman kiertosuunta määrää sen merkin. Silloin samaan suuntaan otettujen ulkokulmien summa on 360°.

Lävistäjät

Monikulmion lävistäjien lukumäärä voidaan laskea ajattelemalla aluksi kärkipisteiden lukumäärää. Nämä voidaan yhdistää janoilla ${\tbinom {n}{2}}$ eri tavalla. Monikulmion sivut eivät ole lävistäjiä, joten ne vähennetään pois

${\binom {n}{2}}-n={\frac {n(n-3)}{2}}={\frac {n^{2}-3n}{2}}\,$

Kaikki lävistäjät eivät aina kulje monikulmion sisäosassa, mutta jos näin on, kutsutaan sitä konveksiksi monikulmioksi.

Pinta-ala

Monikulmio koordinaatistossa.

Yleisen n-kulmaisen konveksin monikulmion pinta-ala voidaan laskea jakamalla se $n-3$:lla lävistäjällä $n-2$:een kolmioon, joiden pinta-alojen summa on monikulmion ala. Jos yksinkertainen monikulmio on suorakulmaisessa koordinaatistossa ja kärkien K_i koordinaatit ovat $(x_{i},y_{i})$, saadaan pinta-alaksi

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).$

Summalausekkeen viimeinen piste on samalla ensimmäinen piste eli $(x_{1},y_{1})$ = $(x_{n},y_{n})$.

Sama voidaan ilmaista vektoreilla. Jos ilmaistaan pinta-ala käyttöön z-koordinaatilla ja merkitään ${\vec {r}}_{i}=(x_{i},y_{i},0)$, voidaan monikulmion pinta-ala $A$ laskea ristitulon avulla

$A={\frac {1}{2}}(|{\vec {r}}_{1}\times {\vec {r}}_{2}|+|{\vec {r}}_{2}\times {\vec {r}}_{3}|+|{\vec {r}}_{3}\times {\vec {r}}_{4}|+...+|{\vec {r}}_{n-1}\times {\vec {r}}_{n}|+|{\vec {r}}_{n}\times {\vec {r}}_{1}|)$

Tällaisia laskentakaavoja suositaan esimerkiksi tietokonelaskennassa niiden helpon ohjelmoitavuuden ansiosta.

Painopiste

Monikulmion painopiste lasketaan kolmiojaotteluun perustuvalla osien painopisteiden yhteisvaikutukseen geometrisenä painopisteenä. Painopistettä voidaan merkitä keskiarvon merkinnällä:

${\overline {x}}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,$

${\overline {y}}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\,.$

Katso myös

• Monikulmioluku
• Polygoni (tietokonegrafiikka)

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.9.2013).
• Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) users.utu.fi. 2012. Turun yliopisto. Viitattu 22.8.2013.