Bose-Einstein estatistika

Hiru estatistikentzako oinarrizko egoeraren okupaketaren konparazioa

Estatistika kuantikoan, bereiztezinak eta elkarreraginik ez duten partikula sorta batek bi eratara okupa ditzake energia egoera diskretuak, partikula moten arabera (fermioiak edo bosoiak). Fermioien kasuan, bi partikula ezin dira energia maila berean egon, eta bosoien kasuan, aldiz, bai. Azken hau Bose-Einstein (B-E) estatistika-ren bidez azaltzen da. Portamolde honen teoria Satyendra Nath Bose-k garatu zuen (1924-25). Bose-k bereiztezinak eta elkarreraginik ez duten partikulak era honetara banandu daitezkeela erakutsi zuen. Ideia hau beranduago Albert Einstein-ek hartu eta sakondu zuen Bose-rekin batera.

Bose-Einstein estatistika egoera bereko okupatze bakarrera mugatuta ez dauden partikulei bakarrik aplika dakieke, hau da, Pauliren esklusio printzipioaren murrizketa betetzen ez duten partikulei. Horrelako partikulek spin balio osoak dituzte eta bosoi deritze, haien portaera zuzena deskribatzen duen estatistikagatik. Horrez gain, partikulen artean ezin da elkarreragin esanguratsurik egon.

Bose-Einstein distribuzioa

Tenperatura baxuetan, bosoiek eta fermioiek era desberdinean jokatzen dute (fermioiek Fermi-Dirac estatistika jarraitzen dute), bosoi kopuru mugagabe bat energia maila berean “kondentsa” daitekeelako. Ez-ohiko propietate honek, agregazio egoera berezi baten sorkuntza eragiten du: Bose-Einstein kondentsatua. Fermi-Dirac eta Bose-Einstein estatistikak efektu kuantikoak gertatzen direnean eta partikulak bereiztezinak direnean erabiltzen dira. Partikula kontzentrazioak hurrengo adierazpena betetzen badu

${\frac {N}{V}}\geq n_{q},$

efektu kuantikoak agertzen dira, non $N$ partikula kopurua, $V$ bolumena eta $n_{q}$ kontzentrazio kuantikoa diren, zeinetan partikulen arteko distantzia de Broglie-ren uhin luzera termikoa den, partikulen uhin-funtzioak gainezarri ez daitezen.

Fermi-Dirac estatisitka fermioiz osatutako sistemetan aplikatzen da (Pauliren esklusio printzipioa betetzen duten partikulekin) eta Bose-Einstein estatistika, berriz, bosoiz osatutako sisteman. Kontzentrazio kuantikoa tenperaturaren menpekoa denez, tenperatura altuetan dauden sistema gehienek limite klasikoarekin (Maxwell-Boltzmann) bat datoz baldin eta haien dentsitatea oso handia ez bada, nano zuriaren kasuan bezala. Tenperatura altuetan eta dentsitate txikietan, bai Fermi-Dirac eta bai Bose-Einstein, Maxwell-Boltzmann estatistika bilakatzen dira.

1924. urtean Bose-k fotoietarako B-E estatistika aurkeztu zuen eta Einsteinek 1924-25. urteetan atomoetara orokortu zuen.

B-E estadistiketarako $i$ energia egoera batean espero den partikula kopurua:

${\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}$

da, non $\varepsilon _{i}$ magnitudeak $i$. mailaren energia, $\mu$ potentzial kimikoa, $k_{B}$ Boltzmann-en konstantea, $T$ tenperatura absolutua, $n_{i}$ zenbakia $i$. energia mailan dagoen partikula kopurua eta $g_{i}$ zenbakia $i$. energia mailaren endekapena diren. Energia guztiek $\varepsilon _{i}>\mu$ erlazioa betetzen dute.

Distribuzio honen $V(n)$ bariantza, goiko adierazpenaren batezbesteko balioarekin zuzenean kalkulatzen da.

$V(n)=kT{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}$ $=\langle n\rangle (1+\langle n\rangle )={\bar {n}}+{\bar {n}}^{2}$

Fermi-Dirac partikula-energia banaketak emandako fermioien kopuruaren batezbestekoa Bose-Einsteinen adierazpenak emandakoarekin alderatuz, biak antzekoak direla ikus daiteke.

${\bar {n}}_{i}(\varepsilon _{i})={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.$

Lehen esan bezala, B-E eta F-D banaketak Maxwell-Boltzmann banaketara hurbiltzen dira tenperatura altuaren eta partikula dentsitate txikiaren limitean:

• Partikula dentsitate txikiaren limitean, ${\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1$ , beraz, $e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1\gg 1$ eta biak baliokideak dira, $e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\gg 1$. Kasu horretan ${\bar {n}}_{i}\approx {\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}}={\frac {1}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\text{B}}T}$ eta Maxwell-Boltzmann-en estatistika berreskuratzen da.
• Tenperatura altuko limitean, partikulak energia-balio oso zabal batean banatuta daude (energia altukoak bereziki non $|\varepsilon _{i}-\mu |\gg k_{\text{B}}T$ den), beraz, energia egoera bakoitzean dagoen partikula kopurua txikia da, ${\bar {n}}_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}\pm 1}}\ll 1$. Honek Maxwell-Boltzman estatistikara garamatza berriro.

Maxwell-Boltzmann-en banaketara murrizteaz gain, tenperatura altuko eta dentsitate baxuko limiteak  Rayleigh-Jeans lege banaketara ere murritzten du B-E, energia txikiko egoetarako $|\varepsilon _{i}-\mu |\ll k_{\text{B}}T$ dutena, hots,

${\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}-1}}\\&\approx {\frac {g_{i}}{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}}={\frac {g_{i}k_{\text{B}}T}{\varepsilon _{i}-\mu }}.\end{aligned}}$

Historia

Satyendra Nath Bose Dhakako Unibertsitatean (gaurko Bangladesh-en) hitzaldi bat ematen zegoela, erradiazio-teoria eta katastrofe ultramoreari buruz, garai hartako teoria desegokia zela erakusten saiatu zen, haren predikzioak ez zetozelako bat emaitza esperimentalekin. Hitzaldian zehar, Bosek akats bat izan zuen teoria aplikatzerakoan eta, nahigabe, esperimentuekin ados zegoen emaitza bat lortu zuen. Hala ere, lortutako emaitza esperimentuekin bat zihoan, eta azkenean akats bat izan ez zitekeelaz ohartu zen Bose.

Honekin, agian Maxwell-Boltzmann distribuzioa ez zela egia partikula mikroskopiko guztietarao eskala guztietan pentsatu zuen. Hortaz, fase espazioan egoera ezberdineko partikulak aurkitzeko probabilitatea ikasi zuen, non egoera bakoitza h³ fase bolumeneko zonalde txikiak diren. Gainera, partikulen posizioa eta momentua ez dira partikularki bereiztuta geratzen, baina aldagai bakar bat bezala kontsideratzen dira.

Bosek hitzaldi hau Planck's Law and the Hypothesis of Light Quanta izeneko artikulu laburrean bildu zuen, eta Philosophical Magazine aldizkarira bidali zuen. Alabaina, balioztatzaileen erantzunak ezezkoak izan ziren, eta artikulua atzera bota egin zen. Dokumentu hortaz oso harro, eta inolako beldurrik gabe, Albert Einstein-i bidali zion, eta Zeitschrift für Physik albistean argitaratzea eskatu zion. Einsteinek berehala baietz esan zuen, eta Einsteinek berak artikulua Ingelesetik Alemaniera itzuli zuen (jada Bosek Einsteini Erlatibitate Orokorraren artikulua itzuli zion Ingelesera), argitaratuta izan ahal izateko. Bose-n teoriak onarpena lortu zuen Einsteinek bere artikulu propioa Zeitschrift für Physik-era bidali zuenean Boserena sostengatzeko, elkarrekin publikatzea eskatzen zuena ere. Bion izena zeraman artikulua 1924-an argitaratu zen.

Bosek emaitza zehatzak lortzearen arrazoia, zenbaki kuantiko bereko bi fotoi ezin direla ezberdindu izan zen, zeren eta fotoiak erabat bereiztezinak dira haien artean. Analogia moduan, unibertso alternatibo batean txanponek fotoien eta beste bosoien moduan jokatuko balute, bi gurutze lortzeko probabilitatea ⅓ izango litzateke, eta probabilitate berbera buru bat eta gurutze bat lortzeko, ohiko txanpona erabiliz ½ dena. Bose-ren “erroreak”, gaur egun Bose-Einstein estatistika moduan ezagutzen dugunera eraman zuen.

Bose eta Einsteinek ideia hauek atomoetara zabaldu zituzten, eta fenomeno baten existentzia aurresan zuten, gaur Bose-Einstein kondentsatua bezala ezagutzen dena, bosoien multzo dentso bat (spin osoa duten partikulak direnak, Boseren omenez deituak), 1995-ean esperimentalki demostratua izan zena.

Deribazioa

Multzo mikrokanonikoan deribazioa

Multzo mikrokanonikoan partikula kopuru, bolumen eta energia finkoko sistema kontsideratzen da. $N=\sum _{i}n_{i}$ bosoi identikoz konposatutako sistema hartzen da, non $n_{i}$ bosoik $\epsilon _{i}$ energia duten eta $g_{i}$ energia bereko maila edo egoeratan sakabanatuta dauden, hau da,  $E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}$ energia osoaren $\epsilon _{i}$ energiarekin erlazionatutako endekapena da $g_{i}$.

$g_{i}$ egoeran sakabanatutako $n_{i}$ partikulen antolaketa kopuruaren kalkulua konbinatoria problema bat da. Mekanika kuantikoko testuinguru honetan partikulak bereiztezinak direnez, $n_{i}$ partikula $g_{i}$ kutxatan jartzeko era kopurua (i enegia mailarako)

$w_{i,{\text{BE}}}={\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}=C_{n}^{n_{i}+g_{i}-1}$

izango litzateke, non $C_{n}^{m}$ m elementuko multzoaren konbinazioa den. Bosoi multzo bateko banaketa kopurua energia guztietarako $C_{n}^{n_{i}+g_{i}-1}$ koefiziente binomialen biderkadura da, hots,

$W_{\text{BE}}=\prod _{i}w_{i,{\text{BE}}}=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{(g_{i}-1)!n_{i}!}}$.

$n_{i}$ okupazio zenbakia determinatzen duten banaketa kopuru maximoa entropia maximizatuz lortzen da, edo baliokidea dena, $\mathrm {d} (\ln W_{\text{BE}})=0$ ezarriz eta $N=\sum n_{i},E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}$ baldintzak kontuan hartuz (Lagrangeren biderkatzaileak). $n_{i}\gg 1$, $g_{i}\gg 1$, $n_{i}/g_{i}=O(1)$ kasurako emaitza Bose-Einstein banaketa da.

Multzo makrokanonikoan deribazioa

Bose-Einstein distribuzioa, elkarreraginik ez duten bosoien sistema kuantikoetan bakarrik aplikatu daitekeena, multzo makrokanonikotik lor daiteke inolako hurbilketa gabe. Multzoan, sistemak energia eta partikulak truka ditzake biltegi batekin (T tenperatura eta biltegiak finkatutako µ potentzial kimikoa).

Elkareragin eza dela eta, partikula-bakarreko maila eskuragarri bakoitzak (ϵ energia mailarekin) biltegiarekin kontaktuan dagoen sistema termodinamiko berezi bat osatzen du. Hau da, sistema batean partikula bakarreko egoera bat okupatzen duten partikulek ere multzo makrokanonikoa den azpi-multzoa osatzen dute. Hortaz, makropartizio funtzioaren bidez azter daiteke.

Partikula bakarreko egoera bakoitza $\varepsilon$ energia finkokoa da. Partikula bakarreko egoera bati dagokion azpi-multzoa partikula kopuruaren arabera bakarrik aldatzen denez, ondoriozta daiteke azpi-multzoaren energia osoa partikula bakarreko egoerako partikula kopuruaren proportzionala dela. $N$ partikula kopurua bada, azpi-multzoaren energia osoa $N\varepsilon$ izango da. Makropartizio funtzioaren oinarrizko adierazpena harturik eta $E$-ren ordez $N\varepsilon$ jarriz, hurrengo formula lortuko da:

${\mathcal {Z}}=\sum _{N}\exp((N\mu -N\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N}\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T).$

Formula hau fermioi-sistemetarako eta bosoi-sistemetarako betetzen da. Pauli-ren esklusio printzipioa kontuan hartzen deean Fermi-Dirak estatisitika  azaldu egiten da: partikula-bakarreko egoera bat okupatzen duen fermioi kopurua 0 edo 1 izan daiteke soilik, aldiz, partikula-bakarreko egoera bat okupatzen duen bosoi kopurua edozein zenbaki oso izan daiteke. Beraz, bosoietarako makropartizio funtzioa serie geometriko gisa konstidera daiteke eta era honetan ebalua daiteke.

${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\sum _{N=0}^{\infty }\exp(N(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)=\sum _{N=0}^{\infty }[\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)]^{N}={\frac {1}{1-\exp((\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T)}}.\end{aligned}}$

Ohartu serie geometrikoa konberegentea dela soilik $e^{(\mu -\varepsilon )/k_{\text{B}}T}<1$ denean, $\epsilon =0$ kasua barnean izanik.  Honek, Bose gasetarako potentzial kimikoa negatiboa izan behar dela inplikatzen du, hots, $\mu <0$; Fermi gasak, aldiz, potentzial kimiko negatibo zein positiboak har ditzake.

Partikula-bakarreko azpiegoera horren partikula kopuruaren batezbestekoa hurrengoa da:

$\langle N\rangle =k_{\text{B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1}}$.

Emaitza hau partikula-bakarreko maila bakoitzerako bete egiten da eta beraz, sistemaren egoera guztiek Bose Einstein-en banaketa eratzen dute.

Partikula kopuruaren bariantza (fluktuazio termikoak direla eta) ere lor daiteke $\langle N\rangle$ balioarekin adierazita:

$\langle \sigma _{N}^{2}\rangle =k_{\text{B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}={\frac {\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)}{(\exp((\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T)-1)^{2}}}=\langle N\rangle (1+\langle N\rangle ).$

Hortaz, energia maila altuko partikula zenbakiaren deribazio estandarra oso handia da, partikula zenbakia baino pitin bat handiagoa: $\sigma _{N}\approx \langle N\rangle$. Ziurgabetasun handi hau, energia maila jakin batean egoteko bosoi kopuruaren probabilitatearen banaketa geometrikoa delako da; probabilitate handiena duen $N$-ren balioa beti 0 da, nolabait ez-intuitiboa den arren. Partikula klasikoek, bestalde, egoera bakoitzerako Poisson banaketa daukate partikula kopuruan, ziurgabetasun askoz txikiagoarekin, $\sigma _{N,{\rm {klasikoa}}}={\sqrt {\langle N\rangle }}$, eta probabilitate handieneko $N$ balioa $\langle N\rangle$-tik hurbil izanda.

Multzo kanonikotik deribazioa

Bose-Einstein estatistika gutxi gorabehera multzo kanonikotik deribatzea ere posible da. Deribazio hauek luzeak dira eta partikula kopuru handien limitean bakarrik ematen dituzte goiko emaitzak. Hau multzo kanonikoan bosoi kopurua finkoa delako da. Bose-Einstein distribuzioa maximizazioaren bidez deribatzen da normalean kasu honetan, baina matematikoki deribazio onena Darwin-Fowler metodoa erabiliz lortzen da, Dinglek esan bezala. Halaere, kondentsatutako eskualdean oinarrizko egoeraren fluktuazioak desberdinak dira multzo kanoniko eta makrokanonikoan.

Diziplinen arteko aplikazioak

Bose-Einstein distribuzioak badu aplikaziorik beste alor batzuetan, probabilitate distribuzio puru gisa.

• Azken urteetan B-E estatistika informazio berreskurapen arloan “term weighting” metodo bezala erabili da. Metodo hau DFR (Divergence From Randomness) bildumako eredu bat da, oinarrizko kontzeptua Bose-Einstein estatistika kasu batean erakusle erabilgarria izan daitekeela izanik. Kasu hori, gai jakin batek eta dokumentu jakin batek beraien artean ausaz gertatu ezin litzatekeen erlazio esanguratsu bat dutenekoa da.

Sistema konplexu ugariren eboluzioa, World Wide Web, enpresa eta zitazio sareak besteak beste, sistemaren osagaien arteko interakzioak deskribatzen dituen sare dinamikoan zifratuta dago. Nahiz eta izate itzulezin eta ezegonkorra izan, sareok Bose estatistika jarraitzen dute eta Bose Einstein kondentsazioa paira dezakete. Gas kuantikoen egonkortasun erreferentzia markoan sistema ez egonkor hauen ezaugarri dinamikoak aztertzeak sistema lehiakorretan behatutako “first-mover-advantage”, “fit-get-rich(FGR)” eta “winner-takes-all” fenomenoak sareko azpisistemen fase termodinamikoki bereiziak direla aurresaten du.

Ikus, gainera

• Fermi-Diracen estatistika
• Maxwell-Boltzmann banaketa
• Bose-Einstein korrelazioa
• Bose-Einstein kondentsatu
• Bose gas
• Higgs bosoi
• Supereroankortasun

Kanpo estekak

• Datuak: Q191076
• Multimedia: Bose-Einstein distribution / Q191076