Azpimultzo
Appearance
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Venn_A_subset_B.svg/150px-Venn_A_subset_B.svg.png)
erakusten da A B-ren azpimultzo propio bat dela eta alderantziz B A-ren gainmultzo propio bat
Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.
Definizioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Izan bitez A eta B bi multzo non A-ren elementu bakoitza B-ren elementua ere den. Orduan:
- A B-ren azpimultzoa da, eta A ⊆ B adierazten da
- B A-ren gainmultzoa da, eta B ⊇ A adierazten da
Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.
Azpimultzo propioa
[aldatu | aldatu iturburu kodea]Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.
Izan bedi A B-ren azpimultzo bat ezen A ≠ B baita. Orduan esaten da A B-ren azpimultzo propio bat dela, eta A ⊊ B adierazten da.
(Era berean, esaten da B A-ren gainmultzo propio bat dela, B ⊋ A)
A ⊂ B eta B ⊃ A notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, A ⊆ B eta B ⊇ A; edo azpimultzo propio, A ⊊ B eta B ⊋ A.
Ezaugarriak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.
- A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.
Propietateak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
- A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
- Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B
Adibideak
[aldatu | aldatu iturburu kodea]- {1,2,3} multzoa {-563,1,2,3,68} multzoaren azpimultzo propio bat da.
- [0;1] tartea zenbaki errealen multzoko azpimultzo propio bat da.
- {46,189,1264} multzoa beraren azpimultzo bat da, eta zenbaki arrunten multzoko azpimultzo propio bat da.