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Poliedro

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Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego antiguo πολύεδρον (polyedron), de la raíz πολύς (polys), «muchas» y de ἕδρα (hedra), «base», «asiento», «cara».

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro es el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que se puede definir un poliedro como un politopo tridimensional.

Definición

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La definición más común de poliedro es la de una región acotada del espacio, delimitada solamente por polígonos planos.

Sin embargo, la definición puede cambiar dependiendo de si se interpreta un poliedro como un volumen, como los polígonos que lo delimitan, o como únicamente los segmentos que conforman el esqueleto del poliedro.

Esta y otras variaciones en la definición permiten la inclusión de otros términos, tales como las estelaciones, teselaciones, caras oblicuas, geometría no euclidiana, etc.

Denominación de los poliedros

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El nombre dado a un poliedro depende de las propiedades del poliedro que sean relevantes en el contexto en que se esté mencionando.

Normalmente el nombre incluye:

Criterios de clasificación de los poliedros

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Los poliedros pueden clasificarse según varios criterios:

Estos en conjunto definen algunas de las principales familias de poliedros:
(Las propiedades en amarillo solo se encuentran en algunos (pero no todos) los poliedros de la familia.)

Convexos De caras regulares Isoedrales Isotoxales Isogonales Familia
Si Si No No No Sólidos de Johnson
No nec. Si No Si Si Poliedros cuasirregulares
No nec. Si No nec. No nec. Si Poliedros uniformes
No nec. No nec. Si No nec. Si Poliedros nobles
No nec. Si Si Si Si Poliedros regulares
No Si Si Si Si Sólidos de Kepler-Poinsot
Si Si Si Si Si Sólidos platónicos

Clasificación según el número de caras

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Poliedros exhibidos en el museo Universum en la Ciudad de México

El nombre que se le asigna a un poliedro según su número de caras se compone de un prefijo numeral más el sufijo ‑edro. La siguiente lista muestra varios ejemplos:

Nombre Número de caras
Henaedro o monoedro 1
Diedro 2
Triedro 3
Tetraedro 4
Pentaedro 5
Hexaedro 6
Heptaedro 7
Octaedro u octoedro 8
Eneaedro o nonaedro 9
Decaedro 10
Endecaedro o undecaedro 11
Dodecaedro 12
Tridecaedro 13
Tetradecaedro 14
Pentadecaedro 15
Hexadecaedro 16
Heptadecaedro 17
Octadecaedro u octodecaedro 18
Eneadecaedro o nonadecaedro 19
Icosaedro o isodecaedro 20
Triacontaedro o tricontaedro 30
Tetracontaedro 40
Pentacontaedro o pentecontaedro 50
Hectaedro o hecatontaedro 100
Chiliaedro 1.000
Miriaedro 10.000
Decamiriaedro 100.000
Hectamiriaedro o megaedro 1.000.000
Gigaedro 1.000.000.000
Quettaedro 1030
Googoledro 10100
Apeiroedro infinitos
n-edro[a] n
  1. n puede ser cualquier constante o variable escrita por su nombre o en dígitos.

Reglas de denominación

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El prefijo numeral que forma parte de estos nombres se puede dividir según el dígito en el número de caras que es descrito por cada parte del prefijo.

Cada una de estas puede a su vez dividirse en dos partes: la primera (prefijo de dígito) indica el dígito al que se refiere (1, 2, 3, ..., hasta 9), y la segunda (prefijo de posición) indica la posición que lleva el dígito en el número de caras al que se refiere (decenas, centenas, etc.)

Además, se tiene que:

  • Los 0s, la posición de los 1s y la del dígito en las unidades no se mencionan en el nombre
  • Si el dígito en las decenas es un 1 o el número de caras termina en 12, las unidades se mencionan antes que las decenas
  • El prefijo isodeca- puede reemplazarse por icosa-

La siguiente tabla muestra los distintos prefijos de dígito y de posición. Dependiendo de la posición del dígito correspondiente, los prefijos que se usan varían.

Prefijo de dígito Prefijo de posición
Dígito Posición del dígito correspondiente Posición Prefijo
Cualquiera Unidades Decenas Centenas
1 en-, hena-, mono- o un-[a] 10 conta- o deca-[b]
2 di-[c] do-[d] iso- dia-[e] 100 cosi-, hecatonta- o hecta-[f]
3 tri- tria- tria-[g] 1.000 chilia-
4 tetra- 10.000 miria-
5 penta- pente- 100.000 decamiria-
6 hexa- hexe- 1.000.000 hectamiria- o mega-
7 hepta- 10.000.000 decamega-
8 octa- octo- 100.000.000 hectamega-
9 enea- o nona- ...[h]
  1. mono- solo se usa si el dígito en las decenas corresponde a 0, y en- o un- solo se usan si el dígito en las decenas es 1
  2. deca- se usa solo si el dígito en las decenas es 1 o 2, y conta- solo en caso contrario
  3. di- se usa solo si el dígito en las decenas es distinto 1 y el nombre no contiene el prefijo deca-
  4. do- se usa solo si el dígito en las decenas es 1
  5. dia- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi-
  6. hecatonta- se usa solo si el dígito correspondiente es 1, y cosi- solo en el caso contrario
  7. tria- se usa en las centenas solo si el nombre contiene el prefijo cosi-
  8. A partir del megaedro se utiliza el prefijo del SI correspondiente, y se añade antes el prefijo deca- o hecta- para especificar potencias de 10 intermedias.

Familias de poliedros

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Poliedros regulares

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Un poliedro regular es isoedral, isotoxal, isogonal, y todas sus caras son regulares. En total existen cinco poliedros regulares convexos, que corresponden a los sólidos platónicos; más 4 no convexos, que corresponden a los sólidos de Kepler-Poinsot y son estelaciones de sólidos platónicos; sumando 9 en total.

Sólidos platónicos

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Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Solo existen cinco sólidos platónicos.

Nombre Imagen Símbolo de Schläfli Configuración de vértices
Tetraedro Tetraedro {3,3} 3.3.3
Cubo o hexaedro regular Cubo {4,3} 4.4.4
Octaedro Octaedro {3,4} 3.3.3.3
Dodecaedro Dodecaedro {5,3} 5.5.5
Icosaedro Icosaedro {3,5} 3.3.3.3.3

Sólidos de Kepler-Poinsot

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Los sólidos de Kepler-Poinsot o sólidos de Kepler son poliedros regulares y que, a diferencia de los sólidos platónicos, no son convexos. Solo hay cuatro de ellos y se obtienen como estelaciones del dodecaedro o del icosaedro.

Nombre Imagen Símbolo de Schläfli Configuración de vértices
Gran dodecaedro Gran dodecaedro {5,52} (55)/2
Pequeño dodecaedro estrellado Pequeño dodecaedro estrellado {52,5} (52)5
Gran icosaedro Gran icosaedro {3,52} (35)/2
Gran dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado {52,3} (52)3

Poliedros irregulares

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Los poliedros irregulares son aquellos que tienen desigualdades entre sus caras, aristas y/o vértices.

Sólidos arquimedianos

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Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos y uniformes pero no transitivos de caras, y no incluyen a la familia infinita de los poliedros prismáticos. Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos. Solo hay trece sólidos arquimedianos.

Nombre Imagen Configuración de vértices
Tetraedro truncado Tetraedro truncado 3.6.6
Cuboctaedro Cuboctaedro 3.4.3.4
Cubo truncado Cubo truncado 3.8.8
Octaedro truncado Octaedro truncado 4.6.6
Rombicuboctaedro Rombicuboctaedro 3.4.4.4
Cuboctaedro truncado Cuboctaedro truncado 4.6.8
Cubo romo Cubo romo 3.3.3.3.4
Icosidodecaedro Icosidodecaedro 3.5.3.5
Dodecaedro truncado Dodecaedro truncado 3.10.10
Icosaedro truncado Icosaedro truncado 5.6.6
Rombicosidodecaedro Rombicosidodecaedro 3.4.5.4
Icosidodecaedro truncado Icosidodecaedro truncado 4.6.10
Dodecaedro romo Dodecaedro romo 3.3.3.3.5

Prismas y antiprismas

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El resto de poliedros convexos y uniformes consiste de prismas y antiprismas, los cuales en conjunto llevan el nombre de poliedros prismáticos. Las familias de los prismas y antiprismas son ambas infinitas.

Todos los prismas uniformes se construyen con dos caras paralelas llamadas bases, directrices o caras directrices, y una serie de cuadrados, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos triángulos y tres cuadrados.

Los antiprismas uniformes también contienen dos directrices, pero en este caso van unidas por triángulos, donde la base de cada triángulo va unida a una arista de una de las bases del antiprisma, y el vértice del mismo triángulo va unido a un vértice de la otra base.

Sólidos de Johnson

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El resto de los poliedros convexos de caras regulares está conformado por los sólidos de Johnson. Este es un grupo extenso de poliedros convexos de caras regulares y no uniformes. Solo uno de estos, el pseudorrombicuboctaedro, tiene la misma configuración en todos sus vértices (pero no es transitivo de vértices). Los sólidos de Johnson fueron clasificados y ampliamente estudiados por el matemático Norman Johnson. Solo hay 92 sólidos de Johnson.

Poliedros estrellados uniformes

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Los poliedros estrellados uniformes son una familia de poliedros no convexos, isogonales y de caras regulares. Contiene dos familias infinitas, los prismas estrellados y los antiprismas estrellados, más otros 57 poliedros, 4 de los cuales son los sólidos de Kepler-Poinsot.

Otras familias de poliedros

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Sólidos de Catalan

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Corresponden a los duales de los sólidos de Arquímedes (el dual es básicamente el reemplazo de las caras por vértices y viceversa, de manera que las uniones entre los vértices del dual coincidan con las uniones entre las caras del poliedro original). Por ejemplo, el dual del icosaedro (de 20 caras y 12 vértices) es el dodecaedro (de 12 caras y 20 vértices), y viceversa. Los sólidos de Catalan son isoedrales, pero no de caras regulares.

Nombre Imagen
Tetraedro triakis Triaquistetraedro
Dodecaedro rómbico Dodecaedro rómbico
Triaquisoctaedro Triaquisoctaedro
Tetraquishexaedro Tetraquishexaedro
Icositetraedro deltoidal Icositetraedro deltoidal
Disdiaquisdodecaedro Disdiaquisdodecaedro
Icositetraedro pentagonal Icositetraedro pentagonal
Triacontaedro rómbico Triacontaedro rómbico
Triaquisicosaedro Triaquisicosaedro
Pentaquisdodecaedro Pentaquisdodecaedro
Hexacontaedro deltoidal Hexecontaedro deltoidal
Disdiaquistriacontaedro Disdiaquistriacontaedro
Hexecontaedro pentagonal Hexecontaedro pentagonal

Deltaedros

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Se llama deltaedros a los cuerpos que solo están formados por triángulos equiláteros. Solo hay ocho deltaedros convexos. Tres de ellos pertenecen a los sólidos platónicos: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro; y los otros cinco a los sólidos de Johnson: la bipirámide triangular, la bipirámide pentagonal, la bipirámide cuadrada giroelongada, el biesfenoide romo y el prisma triangular triaumentado.

Nombre Imagen
Tetraedro Tetraedro
Octaedro Octaedro
Icosaedro Icosaedro
Bipirámide triangular Bipirámide triangular
Bipirámide pentagonal Bipirámide pentagonal
Biesfenoide romo Biesfenoide romo
Prisma triangular triaumentado Prisma triangular triaumentado
Bipirámide cuadrada giroelongada Bipirámide cuadrada giroelongada

Trapezoedros

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Los trapezoedros son los duales de los antiprismas.

Generalizaciones de poliedros

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Apeiroedros

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Se puede incluir como poliedros a aquellos que tienen una cantidad infinita de caras, llamados apeiroedros, entre los que se encuentran:

Poliedros en el espacio no euclídeo

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También se puede extender el concepto de poliedro hacia espacios no euclídeos:

  • Un poliedro esférico es una teselación en la superficie de la esfera, donde las aristas corresponden a geodésicas.
  • También es posible teselar un espacio hiperbólico.

Véase también

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Bibliografía

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  • Quince Salas, Ricardo. Propiedades elementales de los poliedros regulares. Santander: [s.n.], 1974. 17 p. Comunicación presentada a las Reuniones sobre Geometría aplicada a la Arquitectura y a la Ingeniería Civil.
  • Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Teoría y ejercicios. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 202 p.
  • Quince Salas, Ricardo. Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos. Tomo 2: soluciones. Santander: Escuela Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, [s.a.]. 124 p.

Enlaces externos

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En español

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En otros idiomas

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Teoría general

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Listas y bases de datos de poliedros

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Software libre

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  • A Plethora of Polyhedra (en inglés) – Una colección interactiva y gratuita de poliedros en Java. Incluye redes, secciones planares, duales, truncamientos y estrellamientos de más de 300 poliedros.
  • Hyperspace Star Polytope Slicer (en inglés) – Una applet en java para Explorer, incluye una variedad de opciones de visores 3d.
  • openSCAD – Programa libre en multiplataforma para programadores. Los poliedros son unas de las formas que se pueden modelas con ellos. Hay un manual (OpenSCAD User Manual).
  • OpenVolumeMesh (en inglés) – Una biblioteca en C++ en multiplataforma para manejar redes poliédricas. Desarrollado por el Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
  • Polyhedronisme Archivado el 25 de abril de 2012 en Wayback Machine. – Una utilidad basada en web para generar modelos de poliedros que usa la Conway polyhedron notation. Los modelos se pueden exportar como imagen en 2D, o como 3D OBJ o ficheros VRML2. Los ficheros en 3D se pueden abrir con software CAD.

Recursos para hacer modelos físicos

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