Desigualdad de la suma de Chebyshov
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(Para la desigualdad utilizada en probabilidad, ver la Desigualdad de Bienaymé-Chebyshov)
La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.
Formulación
[editar]La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:
y
entonces:
Del mismo modo, si:
y
entonces:
- [1]
Demostración
[editar]Considérese la suma:
Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:
aj − ak y bj − bk
tienen el mismo signo para cualquier j, k. Por lo tanto S ≥ 0.
Resolviendo los paréntesis, se deduce que:
donde:
Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.
Versión continua
[editar]También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:
Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:
con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.
Referencias
[editar]- ↑ Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9. MR 0944909.