Absorción (lógica)

Absorción es una forma lógica de argumento válido y una regla de inferencia de la lógica proposicional.^[1]^[2] La regla establece que si $P$ implica $Q$ , entonces $P$ implica $P$ y $Q$ . La regla hace posible introducir conjunciones en pruebas. Esto se llama ley de absorción ya que el término $P$ es "absorbido" por el término $Q$ en la consecuencia.^[3]

La absorción puede escribirse formalmente como:

{\frac {P\to Q}{\therefore P\to (P\land Q)}}

o sea: siempre que aparezca una instancia de " $P\to Q$ " en una línea de alguna prueba, " $P\to (P\land Q)$ " se puede concluir en la línea siguiente.

Notación formal

La regla de absorción puede escribirse en la notación subsiguiente:

P\to Q\vdash P\to (P\land Q)

donde $\vdash$ es un símbolo metalógico significando que $P\to (P\land Q)$ es consecuencia sintáctica de $(P\leftrightarrow Q)$ en algún sistema lógico;

y expresado como una tautología o teorema de la lógica proposicional. El principio fue establecido como un teorema de la lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia mathematica como:

(P\to Q)\leftrightarrow (P\to (P\land Q))

donde $P$ , y $Q$ son proposiciones expresadas en algún sistema lógico.

Demostración por tabla de verdad


$P\,\!$	$Q\,\!$	$P\rightarrow Q$	$P\rightarrow P\land Q$
v	v	v	V
v	F	F	F
F	v	v	v
F	F	v	v

Prueba formal


Proposición	Derivación
$P\rightarrow Q$	Implicación
$\neg P\lor Q$	Implicación material
$\neg P\lor P$	Ley del tercero excluido
$(\neg P\lor P)\land (\neg P\lor Q)$	Conjunción
$\neg P\lor (P\land Q)$	Distribución inversa
$P\rightarrow (P\land Q)$	Implicación material