Garbo (matematiko)

En matematiko, garbo (angle sheaf, france faisceau) estas kolekto da aroj (aŭ aliaj matematikaj strukturoj) sur iu topologia spaco (aŭ pli abstraktaj ĝeneraligaĵoj de la koncepto de spaco).

Difino

Se $X$ estas topologia spaco, garbo ${\mathcal {F}}$ sur $X$ konsistas el la jeno:

• Por ĉiu malfermita subaro $U\subseteq X$, aro ${\mathcal {F}}(U)$ (la aro de sekcioj)
• Por ĉiu malfermita subaro $U\subseteq X$ kun malfermita subaro $V\subseteq U$ en ĝi, funkcio $\operatorname {res} _{U,V}\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V)$ (la restrikto-bildigo)

tiel, ke estas plenumitaj jenaj aksiomoj:

• (Idento) Se $U=V$, tiam $\operatorname {res} _{U,V}$ estas identa bildigo.
• (Komponado) Se $W\subseteq V\subseteq U\subseteq X$, tiam $\operatorname {res} _{V,W}\circ \operatorname {res} _{U,V}=\operatorname {res} _{U,W}$.
• (Lokeco) Se $(V_{i})_{i\in I}$ estas malfermita kovrilo de $U$ (t.e. ĉiu $V_{i}$ estas malfermita, kaj $\textstyle \bigcup _{i\in I}V_{i}=U$), kaj se $s,t\in {\mathcal {F}}(U)$ estas du sekcioj de ${\mathcal {F}}$ sur $U$, kaj se $s$ kaj $t$ estas samaj post restrikto al iu ajn $U_{i}$ (t.e. $\forall i\in I\colon \operatorname {res} _{U,V_{i}}(s)=\operatorname {res} _{U,V_{i}}(t)$), tiam $s$ kaj $t$ estas egalaj.
• (Kunglueblo) Se $(V_{i})_{i\in I}$ estas malfermita kovrilo de $U$, kaj se sur ĉiu $V_{i}$ oni havas sekcion $s_{i}\in {\mathcal {F}}(V_{i})$, kaj se la sekcioj kongruas en intersekcioj (t.e. por ĉiu $i,j\in I$, $\operatorname {res} _{V_{i},V_{i}\cap V_{j}}(s_{i})=\operatorname {res} _{V_{j},V_{i}\cap V_{j}}(s_{j})$), tiam la sekcioj $s_{i}$ estas kunglueblaj (t.e. ekzistas sekcio $s\in {\mathcal {F}}(U)$ tia ke, por ĉiu $i\in I$, $s=\operatorname {res} _{U,V_{i}}(s_{i})$).

Se oni forigas la lastajn du aksiomojn (lokecon, kunglueblon), tiam oni difinas la koncepton de la pragarbo.

Garbo de grupoj estas garbo, kies aroj de sekcioj ${\mathcal {F}}(U)$ estas grupoj, kaj kies restrikto-bildigoj estas grupaj homomorfioj. Simile garbo de ringoj konsistas el ringoj de sekcioj kune kun ringaj restrikto-homomorfioj ktp.

Historio

La koncepton de la garbo difinis la franca matematikisto Jean Leray en 1947. La nomo estas metaforo je la garbo de sekigitaj plantoj.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Sheaf en MathWorld.
• Sheaf (angle). Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag.