Τετραγωνίζουσα του Ιππία

Η Τετραγωνίζουσα (κόκκινο)- στιγμιότυπο των E και F που έχουν ολοκληρώσει το 60% των κινήσεών τους

Η τετραγωνίζουσα του Ιππία (επίσης τετραγωνίστρια ή τετραγωνίζουσα του Δεινοστράτου) είναι μια καμπύλη που δημιουργείται από μια ομοιόμορφη κίνηση. Είναι ένα από τα παλαιότερα παραδείγματα κινηματικής καμπύλης (καμπύλη που δημιουργείται μέσω κίνησης). Η ανακάλυψή της αποδίδεται στον Έλληνα σοφιστή Ιππία από την Ήλιδα, ο οποίος τη χρησιμοποίησε γύρω στο 420 π.Χ. σε μια προσπάθεια να λύσει το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας (εξ ου και trisectrix). Αργότερα, γύρω στο 350 π.Χ., ο Δεινόστρατος τη χρησιμοποίησε σε μια προσπάθεια να λύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου (εξ ου και quadratrix).

Ορισμός

H τετραγωνίζουσα ως επίπεδη καμπύλη για μήκος πλευράς $a=1$

H τετραγωνίζουσα ως συνάρτηση για $a=1$

Ας θεωρήσουμε ένα τετράγωνο $ABCD$, και ένα εγγεγραμμένο τόξο τετάρτου κύκλου με κέντρο το $A$ και ακτίνα ίση με την πλευρά του τετραγώνου. Έστω $E$ ένα σημείο που μετακινείται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κατά μήκος του τόξου από το $D$ στο $B$, και έστω $F$ ένα σημείο που μετακινείται ταυτόχρονα με σταθερή ταχύτητα από το $D$ στο $A$ κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ${\overline {AD}}$, έτσι ώστε οι $E$ και $F$ να ξεκινούν ταυτόχρονα από το $D$ και να φτάνουν ταυτόχρονα στα $B$ και $A$. Τότε το τετράγωνο ορίζεται ως ο τόπος τομής του ευθύγραμμου τμήματος ${\overline {AE}}$ με την παράλληλη ευθεία προς την ${\overline {AB}}$ μέσω της $F$ .

Αν τοποθετήσουμε ένα τέτοιο τετράγωνο $ABCD$ με μήκος πλευράς $a$ σε ένα (καρτεσιανό) σύστημα συντεταγμένων με την πλευρά ${\overline {AB}}$ στον άξονα $x$ και με κορυφή $A$ στην αρχή, τότε το τετράγωνο περιγράφεται από μια επίπεδη καμπύλη $\gamma :(0,{\tfrac {\pi }{2}}]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ με

$\gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2a}{\pi }}t\cot(t)\\{\frac {2a}{\pi }}t\end{pmatrix}}$

Αυτή η περιγραφή μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δοθεί ένας αναλυτικός και όχι γεωμετρικός ορισμός της τετραγωνίζουσας και να επεκταθεί πέρα από το διάστημα $(0,{\tfrac {\pi }{2}}]$. Παραμένει ωστόσο απροσδιόριστη στις ιδιομορφίες του $\cot(t)$ εκτός από την περίπτωση του $t=0$ όπου η ιδιομορφία είναι αφαιρετή λόγω του $\lim _{t\to 0}t\cot(t)=1$ και συνεπώς δίνει μια συνεχή επίπεδη καμπύλη στο διάστημα $(-\pi ,\pi )$.

Για να περιγράψουμε την τετραγωνίζουσα ως απλή συνάρτηση και όχι ως επίπεδη καμπύλη, είναι πλεονεκτικό να ανταλλάξουμε τον άξονα $y$ και τον άξονα $x$, δηλαδή να τοποθετήσουμε την πλευρά ${\overline {AB}}$ στον άξονα $y$ και όχι στον άξονα $x$. Τότε η τετραγωνίζουσα σχηματίζει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=x\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot x\right)$

Τριχοτόμηση γωνίας

Τετράγωνη πυξίδα

Τριχοτόμηση γωνίας

Η τριχοτόμηση μιας αυθαίρετης γωνίας με τη χρήση μόνο χάρακα και διαβήτη είναι αδύνατη. Ωστόσο, αν επιτραπεί η τετραγωνίζουσα ως πρόσθετο εργαλείο, είναι δυνατό να διαιρεθεί μια αυθαίρετη γωνία σε $n$ ίσα τμήματα και επομένως γίνεται δυνατή η τριχοτόμηση ($n=3$). Πρακτικά, η τετραγωνίζουσα μπορεί να σχεδιαστεί με τη βοήθεια ενός προτύπου τετράγωνης πυξίδας (βλ. σχέδιο).

Δεδομένου ότι, σύμφωνα με τον ορισμό του τετραγώνου, η διανυόμενη γωνία είναι ανάλογη του διανυόμενου τμήματος της πλευράς του σχετικού τετραγώνου, διαιρώντας το τμήμα αυτό της πλευράς σε $n$ ίσα μέρη, προκύπτει επίσης ένας διαμερισμός της σχετικής γωνίας. Η διαίρεση του ευθύγραμμου τμήματος σε $n$ ίσα μέρη με χάρακα και πυξίδα είναι δυνατή λόγω του θεωρήματος της τομής.

Για μια δεδομένη γωνία $\angle BAE$ (το πολύ 90°) σχεδιάστε ένα τετράγωνο $ABCD$ πάνω στο σκέλος της ${\overline {AB}}$. Το άλλο σκέλος της γωνίας τέμνει την τετραγωνίζουσα του τετραγώνου σε ένα σημείο $G$ και η παράλληλη ευθεία προς το σκέλος ${\overline {AB}}$ που διέρχεται από το $G$ τέμνει την πλευρά ${\overline {AD}}$ του τετραγώνου στο $F$. Τώρα το τμήμα ${\overline {AF}}$ αντιστοιχεί στη γωνία $\angle BAE$ και λόγω του ορισμού της τετραγωνίζουσας κάθε διαίρεση του τμήματος ${\overline {AF}}$ σε $n$ ίσα τμήματα δίνει μια αντίστοιχη διαίρεση της γωνίας $\angle BAE$ σε $n$ ίσες γωνίες. Για να διαιρέσετε το τμήμα ${\overline {AF}}$ σε $n$ ίσα τμήματα, σχεδιάστε οποιαδήποτε ακτίνα που ξεκινά από το $A$ με $n$ ίσα τμήματα (αυθαίρετου μήκους) πάνω της. Συνδέστε το τελικό σημείο $O$ του τελευταίου τμήματος με το $F$ και σχεδιάστε ευθείες παράλληλες προς την ${\overline {OF}}$ μέσω όλων των τελικών σημείων των υπόλοιπων $n-1$ τμημάτων στην ${\overline {AO}}$. Αυτές οι παράλληλες γραμμές διαιρούν το τμήμα ${\overline {AF}}$ σε $n$ ίσα τμήματα. Τώρα σχεδιάστε παράλληλες ευθείες στην ${\overline {AB}}$ μέσω των τελικών σημείων αυτών των τμημάτων στην ${\overline {AF}}$, που τέμνουν την τριγωνική μήτρα. Συνδέοντας τα σημεία τομής τους με την $A$ προκύπτει ένας διαμερισμός της γωνίας $\angle BAE$ σε $n$ ίσες γωνίες.

Δεδομένου ότι δεν μπορούν να κατασκευαστούν όλα τα σημεία της τριχοτομούσας μόνο με κύκλο και διαβήτη, απαιτείται πραγματικά ως ένα πρόσθετο εργαλείο δίπλα στο διαβήτη και τον κύκλο. Ωστόσο, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένα πυκνό υποσύνολο της τριχοτομούσας με κύκλο και διαβήτη, οπότε ενώ δεν μπορεί κανείς να εξασφαλίσει την ακριβή διαίρεση μιας γωνίας σε $n$ μέρη χωρίς μια δεδομένη τριχοτομούσα, μπορεί να κατασκευάσει μια αυθαίρετα κοντινή προσέγγιση μόνο με κύκλο και διαβήτη.

Τετραγωνισμός του κύκλου

Τετραγωνισμός τέταρτου κύκλου με ακτίνα 1

Ο τετραγωνισμός του κύκλου μόνο με χάρακα και διαβήτη είναι αδύνατος. Ωστόσο, αν επιτρέψουμε την Τετραγωνίζουσα του Ιππία ως πρόσθετο κατασκευαστικό εργαλείο, ο τετραγωνισμός του κύκλου καθίσταται δυνατός χάρη στο θεώρημα του Δεινοστράτου. Επιτρέπει τη μετατροπή ενός τέταρτου κύκλου σε τετράγωνο με το ίδιο εμβαδόν, επομένως ένα τετράγωνο με διπλάσιο μήκος πλευράς έχει το ίδιο εμβαδόν με τον πλήρη κύκλο

Σύμφωνα με το θεώρημα του Δεινοστράτου η Τετραγωνίζουσα διαιρεί μία από τις πλευρές του σχετικού τετραγώνου σε αναλογία ${\tfrac {2}{\pi }}$. Για ένα δεδομένο τεταρτοκύκλιο με ακτίνα r κατασκευάζεται το σχετικό τετράγωνο ABCD με μήκος πλευράς r. Το τετράγωνο τέμνει την πλευρά AB στο J με $\left|{\overline {AJ}}\right|={\tfrac {2}{\pi }}r$. Τώρα κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα JK μήκους r που είναι κάθετο στην AB. Τότε η ευθεία που διέρχεται από τα Α και Κ τέμνει την προέκταση της πλευράς BC στο L και από το θεώρημα της τομής προκύπτει $\left|{\overline {BL}}\right|={\tfrac {\pi }{2}}r$. Επεκτείνοντας την AB προς τα δεξιά με ένα νέο ευθύγραμμο τμήμα $\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}$ προκύπτει το ορθογώνιο BLNO με πλευρές BL και BO το εμβαδόν του οποίου ταυτίζεται με το εμβαδόν του τεταρτοκύκλου. Αυτό το ορθογώνιο μπορεί να μετατραπεί σε τετράγωνο του ίδιου εμβαδού με τη βοήθεια του θεωρήματος του γεωμετρικού μέσου του Ευκλείδη. Επεκτείνουμε την πλευρά ON με ένα ευθύγραμμο τμήμα $\left|{\overline {OQ}}\right|=\left|{\overline {BO}}\right|={\tfrac {r}{2}}$ και σχεδιάζουμε έναν ημικύκλιο στα δεξιά της NQ, ο οποίος έχει διάμετρο NQ. Η προέκταση της BO συναντά τον ημικύκλιο στο R και λόγω του Θεώρημα του Θαλή το ευθύγραμμο τμήμα OR είναι το υψόμετρο του ορθογώνιο τρίγωνο QNR. Επομένως, μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα του γεωμετρικού μέσου, το οποίο σημαίνει ότι το OR σχηματίζει την πλευρά ενός τετραγώνου OUSR με το ίδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο BLNO και συνεπώς με το τεταρτοκύκλιο.

Ας σημειωθεί ότι το σημείο J, όπου η τετραγωνίζουσα συναντά την πλευρά AB του σχετικού τετραγώνου, είναι ένα από τα σημεία της τετραγωνίζουσας που δεν μπορεί να κατασκευαστεί μόνο με χάρακα και διαβήτη και ούτε καν με τη βοήθεια της τετράγωνης πυξίδας με βάση τον αρχικό γεωμετρικό ορισμό (βλ. σχέδιο). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι δύο ομοιόμορφα κινούμενες ευθείες συμπίπτουν και συνεπώς δεν υπάρχει μοναδικό σημείο τομής. Ωστόσο, βασιζόμενοι στον γενικευμένο ορισμό του τετραπλεύρου ως συνάρτηση ή επίπεδη καμπύλη επιτρέπει το J να είναι ένα σημείο της τετραγωνίζουσας.

Ιστορικές πηγές

Η Τετραγωνίζουσα αναφέρεται στα έργα του Πρόκλου (412-485), του Πάππου της Αλεξάνδρειας (3ος και 4ος αιώνας) και του Ιάμβλιχου (περ. 240 - περ. 325). Ο Πρόκλος κατονομάζει τον Ιππία ως εφευρέτη μιας καμπύλης που ονομάζεται Τετραγωνίζουσα και περιγράφει κάπου αλλού πώς ο Ιππίας εφάρμοσε την καμπύλη στο πρόβλημα της τριχοτόμησης. Ο Πάππος αναφέρει μόνο πώς μια καμπύλη με το όνομα Τετραγωνίζουσα χρησιμοποιήθηκε από τον Δεινόστρατο, τον Νικομήδη και άλλους για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Δεν αναφέρει ούτε τον Ιππία ούτε αποδίδει την εφεύρεση της Τετραγωνίζουσας σε κάποιο συγκεκριμένο πρόσωπο. Ο Ιάμβλιχος γράφει απλώς σε μία μόνο γραμμή, ότι μια καμπύλη που ονομάζεται Τετραγωνίζουσα χρησιμοποιήθηκε από τον Νικομήδη για να τετραγωνίσει τον κύκλο.

Από την ονομασία του Πρόκλου για την καμπύλη, είναι πιθανό ότι ο ίδιος ο Ιππίας τη χρησιμοποίησε για τον τετραγωνισμό του κύκλου ή κάποιου άλλου καμπυλόγραμμου σχήματος. Ωστόσο, οι περισσότεροι ιστορικοί των μαθηματικών υποθέτουν ότι ο Ιππίας επινόησε την καμπύλη, αλλά τη χρησιμοποίησε μόνο για την τριχοτόμηση γωνιών. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία, η χρήση της για τον τετραγωνισμό του κύκλου εμφανίστηκε μόνο δεκαετίες αργότερα και οφείλεται σε μαθηματικούς όπως ο Δεινόστρατος και ο Νικομήδης. Αυτή η ερμηνεία των ιστορικών πηγών ανάγεται στον Γερμανό μαθηματικό και ιστορικό Μόριτζ Κάντορ.

Δημοσιεύσεις

• Bell, John L. (1999). The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development. Kluwer. ISBN 0-7923-5972-0. 
• Euclid (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements, Translated from the Text of Heiberg, with Introduction and Commentary. 1 (Books I and II). Μτφρ. Heath, Thomas L. (Reprint of 2nd (1925) έκδοση). Dover.  On-line text at archive.org
• Bourke, Paul (Ιουλίου 1997). «Calculating the area and centroid of a polygon». 
• Simon Plouffe (1998). «The Computation of Certain Numbers Using a Ruler and Compass». Journal of Integer Sequences 1: 13. ISSN 1530-7638. Bibcode: 1998JIntS...1...13P. http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/compass.html. 
• Avron, Arnon (1990). «On strict strong constructibility with a compass alone». Journal of Geometry 38 (1–2): 12–15. doi:10.1007/BF01222890. 
• Ell, Todd A.; Sangwine, Stephen J. (2007). «Quaternion involutions and anti-involutions». Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137–143. doi:10.1016/j.camwa.2006.10.029. 
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions, Colloquium Publications, 44, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0904-0,  
• Hartshorne, Robin (1967), Foundations of Projective Geometry, New York: W.A. Benjamin, Inc 
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries Over Finite Fields, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850295-1 
• Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-43832-0, https://books.google.com/books?id=2T4i5fXZbOYC 
• Oakley, C. O., Ph.D. (1944), An Outline of the Calculus, New York: Barnes & Noble 
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley 

Δείτε επίσης

• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Στοιχεία του Ευκλείδη
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• τοπολογικος ισομορφισμός
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πάππος ο Αλεξανδρεύς
• Κέντρο μάζας
• Τετραγωνισμός παραβολής
• Διαβήτης (όργανο)
• Περί σφαίρας και κυλίνδρου
• Προβολική γεωμετρία
• Υπερβολή (γεωμετρία)
• Εγγεγραμμένος και Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
• Κωνική τομή
• Παραλληλόγραμμο
• Οινοπίδης ο Χίος

Παραπομπές

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, (ISBN 9780883853481), pp. 146–147 (excerpt, σ. 146, στα Google Books)
• Felix Klein: Famous Problems of Elementary Geometry. Cosimo 2007 (Nachdruck), (ISBN 9781602064171), pp. 57–58 (excerpt, σ. 57, στα Google Books) (complete online copy at archive.org)
• H. G. Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• Τα οπτικά του Ευκλείδη Διδακτορική Διατριβή - ΕΑΔΔ
• “Αρχιμήδους Βιβλίο Λημμάτων” – Πραγματεία του Νικολάου Λ. Κεχρή Ανοιχτή βιβλιοθήκη
• Virtual book about Archimedes Chris Rorres - Drexel University
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Advanced Euclidean Geometry
• Methods for Euclidean Geometry.
• The History of Mathematics: A Brief Course...Quadratrix of Hippias page 280
• Essentials of Mathematica: With Applications to Mathematics and Physics...Quadratrix of Hippias page 469 ...
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1, Quadratrix of Hippias page 226
• Hermathena: A Trinity College Dublin Review, Τόμοι 7-9 ..Quadratrix of Hippias. page 220"
• Famous Plane Curves Using Mathematica..Quadratrix of Hippias, page 138...
• Geometry: Our Cultural Heritage ...Quadratrix of Hippias..page 100
• History of Analytic Geometry.....Quadratrix of Hippias, page 11....
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Πηγές

• Heath, T. L. (21 Νοεμβρίου 2013). A History of Greek Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-06306-7. 
• Smorynski, Craig (7 Απριλίου 2017). MVT: A Most Valuable Theorem. Springer. ISBN 978-3-319-52956-1. 
• Faulkner, Nicholas· Gregersen, Erik (15 Δεκεμβρίου 2017). The History of Mathematics. The Rosen Publishing Group, Inc. ISBN 978-1-68048-777-0.