Σύνθεση σχέσεων
Στα μαθηματικά, η σύνθεση σχέσεων είναι ένας τρόπος με τον οποίο σχηματίζουμε μια νέα σχέση από δύο δεδομένες σχέσεις και και την οποία συμβολίζουμε με .[1]:17[2] Ειδική κατηγορία σύνθεσης σχέσεων είναι η σύνθεση συναρτήσεων.
Ορισμός
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Αν και είναι δύο διμελείς σχέσεις, τότε η σύνθεση τους είναι η σχέση:
- .
Με άλλα λόγια η σχέση είναι η σχέση στην οποία ανήκουν όλα τα διατεταγμένα ζεύγη για τα οποία ισχύει το εξής: υπάρχει στο τέτοιο ώστε το να ανήκει στη και το να ανήκει στη .
Ιδιότητες
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]Η σύνθεση σχέσεων ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:[2]
- Είναι προσεταιριστική, δηλαδή .
Απόδειξη |
Έστω ότι έχουμε τρεις σχέσεις , και . Τότε για κάθε και ισχύει ότι: Επομένως, οι δύο σχέσεις είναι ίσες. |
- Η αντίστροφη σχέση της είναι η σχέση .
Απόδειξη |
Για μία σχέση και την αντίστροφή της ισχύει ότι:
όπου είναι η ταυτοτική σχέση (και για την οποία ισχύει ). Επομένως, αρκεί να επιβεβαιώσουμε τις δύο ισότητες. Χρησιμοποιώντας ότι η σύνθεση σχέσεων είναι προσεταιριστική, έχουμε ότι
Παρομοίως,
|
- Η σύνθεση μερικών συναρτήσεων είναι μερική συνάρτηση.
- Η σύνθεση επί σχέσεων, είναι επί σχέση.
- Η σύνθεση ένα προς ένα σχέσεων, είναι ένα προς ένα.
Παραπομπές
[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]- ↑ Βούρος, Γεώργιος. «Διακριτά Μαθηματικά» (PDF). Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 19 Φεβρουαρίου 2023.
- ↑ 2,0 2,1 Ραχωνης, Γιώργος. «Σύνθεση σχέσεων». Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Ανακτήθηκε στις 19 Φεβρουαρίου 2023.
![]() |
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |