Τόρος

Στη γεωμετρία, o τόρος είναι ένα στερεό εκ περιστροφής που παράγεται από την περιστροφή ενός κύκλου στον τρισδιάστατο χώρο γύρω από έναν άξονα συνεπίπεδο με τον κύκλο. Συνήθως ο άξονας δεν τέμνει ούτε εφάπτεται με τον κύκλο, οπότε σε αυτή την περίπτωση η επιφάνεια έχει σχήμα δακτυλιοειδές και καλείται δακτυλιοειδής τόρος, ή απλά τόρος και υπονοείται σιωπηρά ότι έχει δακτυλιοειδές σχήμα. Ορισμένες φορές καλείται (λανθασμένα) δακτύλιος, ωστόσο ο δακτύλιος είναι ένα δισδιάστατο επίπεδο σχήμα διαφορετικό από τον τρισδιάστατο τόρο.

Ένας τόρος

Καθώς η απόσταση από τον άξονα περιστροφής μειώνεται, ο δακτυλιοειδής τόρος γίνεται κερατοειδής τόρος, στη συνέχεια ατρακτοειδής τόρος και τελικά εκφυλίζεται σε μια σφαίρα.

Όταν ο άξονας εφάπτεται με τον κύκλο, η επιφάνεια που προκύπτει ονομάζεται κερατοειδής τόρος, όταν ο άξονας συμπίπτει με μια χορδή του κύκλου, τότε ονομάζεται ατρακτοειδής τόρος (ή αξονικός τόρος). Μια εκφυλισμένη περίπτωση τόρου έχουμε όταν ο άξονας συμπίπτει με τη διάμετρο του κύκλου, οπότε παράγεται απλώς η επιφάνεια μιας 2-σφαίρας. Ο δακτυλιοειδής τόρος οριοθετεί ένα γεωμετρικό στερεό που λέγεται τοροειδές, ή δακτυλιοειδή τοροειδές. Διάφορα αντικείμενα που έχουν σχήμα που μοιάζει με το τοροειδές είναι για παράδειγμα τα τοροειδή πηνία, οι μετασχηματιστές, κάποια σωσίβια (κενά στο εσωτερικό τους), κ.λπ.

Ο τόρος δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον στερεό τόρο, ο οποίος σχηματίζεται από την περιστροφή ενός δίσκου, αντί ενός κύκλου, γύρω από έναν άξονα. Συνεπώς, είναι ο τόρος μαζί με τον όγκο στο εσωτερικό του. Διάφορα αντικείμενα που προσεγγίζουν τον στερεό τόρο είναι το κουλούρι, το ντόνατ, κάποια σωσίβια (χωρίς κενό το εσωτερικό τους), κ.λπ.

Στην τοπολογία, ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ομοιομορφικός προς το καρτεσιανό γινόμενο δύο κύκλων (S¹ × S¹), που τελευταία θεωρείται ως ο ορισμός του τόρου στον τομέα αυτό. Ο τόρος από τοπολογική άποψη είναι μια συνεκτική 2-πολλαπλότητα γένους 1.

Ο δακτυλιοειδής τόρος είναι ένας τρόπος για να ενσωματωθεί αυτός ο χώρος στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, αλλά ένας άλλος τρόπος για να γίνει αυτό είναι το καρτεσιανό γινόμενο της ενσωμάτωσης του S¹ στο επίπεδο. Αυτό παράγει ένα γεωμετρικό αντικείμενο που ονομάζεται Κλίφορντ τόρος, μια επιφάνεια χώρου τεσσάρων διαστάσεων.

Η λέξη τόρος προέρχεται από την λατινική λέξη torus, που σημαίνει μαξιλάρι.

Γεωμετρία

Ένας τόρος είναι το γινόμενο δύο κύκλων, μόνο ένας εκ των οποίων φαίνεται σε αυτό το διάγραμμα. Ο κόκκινος κύκλος κάνει σάρωση γύρω από έναν άξονα, ο οποίος δεν απεικονίζεται, και έχει ακτίνα r, ενώ ο ματζέντα έχει R.

R > r :
Δακτυλιοειδής

R = r :
Κερατοειδής

R < r :
Ατρακτοειδής

Μισά του κάτω μέρους και οι εγκάρσιες διατομές των τριών κατηγοριών του τόρου

Ένα διάγραμμα που απεικονίζει την πολοειδή (θ) κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το κόκκινο βέλος, και την δακτυλιοειδή (ζ ή φ) κατεύθυνση, που αντιπροσωπεύεται από το μπλε βέλος.

Στο παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων ένας τόρος ορίζεται ως:

${\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \end{aligned}}$

όπου

θ, φ είναι οι γωνίες που κάνουν έναν πλήρη κύκλο, έτσι ώστε οι τιμές τους να ξεκινούν και να καταλήγουν στο ίδιο σημείο,

R είναι η απόσταση από το κέντρο του σωλήνα μέχρι το κέντρο του τόρου,

r είναι η ακτίνα του σωλήνα.

Η R είναι γνωστή ως «μείζονα ακτίνα» και η r ως «ελάσσονα ακτίνα». Ο λόγος της R προς την r είναι γνωστός ως αναλογία διαστάσεων (aspect ratio). Ένα ντόνατ έχει αναλογία διαστάσεων περίπου 2 προς 3.

Μια υπονοούμενη εξίσωση σε Καρτεσιανές συντεταγμένες για έναν ακτινικά συμμετρικό τόρο γύρω από τον άξονα z είναι

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}$

είτε είναι η λύση του $f(x,y,z)=0,$ όπου

$f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}$

Εξαλείφοντας αλγεβρικά την τετραγωνική ρίζα δίνει μια εξίσωση τέταρτου βαθμού:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2})$

Οι τρεις κατηγορίες διαφορετικών τόρων αντιστοιχούν στις τρεις πιθανές αναλογίες διαστάσεων μεταξύ των R και r:

• Αν R > r, τότε η επιφάνεια θα είναι ο γνωστός δακτυλιοειδής τόρος.
• Αν R = r, τότε αντιστοιχεί σε κερατοειδή τόρο, ο οποίος στην πραγματικότητα είναι τόρος χωρίς "οπή".
• Αν R < r, τότε διαγράφεται ένας αυτο-τεμνόμενος ατρακτοειδής τόρος.
• Αν R = 0, τότε ο τόρος εκφυλίζεται σε σφαίρα.

Στις περιπτώσεις που ισχύει R ≥ r, το εσωτερικό

$\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}<r^{2}$

αυτού του τόρου είναι διαφορομορφικό (και ως εκ τούτου, ομοιομορφικό) στο γινόμενο ενός Ευκλείδειου ανοικτού δίσκου και ενός κύκλου. Το εμβαδόν της επιφανείας και ο όγκος του εσωτερικού τού παρόντος τόρου υπολογίζονται εύκολα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πάππου, που δίνει:

${\begin{aligned}A&=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr\\V&=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)=2\pi ^{2}Rr^{2}\end{aligned}}$

Αυτές οι φόρμουλες είναι ίδιες με αυτές ενός κυλίνδρου μήκους 2πR και ακτίνα r, που δημιουργήθηκε με κοπή του σωλήνα του και εκτύλιξή του με ίσιωση πάνω στη γραμμή που βρίσκεται γύρω από το κέντρο του σωλήνα. Οι απώλειες της εσωτερικής πλευράς του σωλήνα στο εμβαδόν της επιφανείας, όσο και στον όγκο, ακυρώνουν τα ισόποσα κέρδη στην εξωτερική πλευρά του σωλήνα.

Όπως το γινόμενο δύο κύκλων είναι ένας τόρος, μερικές φορές χρησιμοποιείται ομοίως και σε μία τροποποιημένη έκδοση του συστήματος σφαιρικών συντεταγμένων. Στην παραδοσιακές σφαιρικές συντεταγμένες υπάρχουν τρία μέτρα, η απόσταση R από το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων, και οι θ, φ γωνίες οι οποίες μετρούνται από το κεντρικό σημείο. Όπως ένας τόρος έχει ουσιαστικά δύο κεντρικά σημεία, έτσι μετακινούνται και τα κεντρικά σημεία των γωνιών. Η φ μετρά την ίδια γωνία που μετρά και στο σφαιρικό σύστημα, αλλά είναι γνωστή ως η "τοροειδής" κατεύθυνση. Το κεντρικό σημείο της θ κινείται προς το κέντρο της r και είναι γνωστή ως η "πολοειδής" κατεύθυνση. Οι όροι αυτοί χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά σε μια συζήτηση για το μαγνητικό πεδίο της Γης, όπου η "πολοειδής» χρησιμοποιήθηκε για να δηλώσει «την κατεύθυνση προς τους πόλους».

Στη σύγχρονη χρήση τους οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται συχνότερα για αναφορά σε συσκευές που κάνουν σύντηξη με μαγνητική συγκράτηση.

Τοπολογία

Στην τοπολογία, ένας τόρος είναι μια κλειστή επιφάνεια που ορίζεται ως το γινόμενο δύο κύκλων (S¹ × S¹). Έτσι μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε έναν πολύπλοκο χώρο συντεταγμένων C² και είναι υποσύνολο της 3-σφαίρας S³ με ακτίνα √2. Αυτός ο τοπολογικός τόρος συχνά ονομάζεται και Κλίφορντ τόρος. Στην πραγματικότητα, με αυτόν τον τρόπο, η S³ έχει συμπληρωθεί από κάποιο είδος ένθετων τόρων (με δύο εκφυλισμένους κύκλους), γεγονός το οποίο είναι σημαντικό για τη μελέτη των S³ ως δέσμη ινών πάνω σε S².

Η επιφάνεια που περιγράφεται παραπάνω, δεδομένης της σχετικής τοπολογίας του πραγματικού χώρου συντεταγμένων R³, είναι ομοιομορφική προς έναν τοπολογικό τόρο εφ' όσον δεν τέμνει τον άξονά του. Ένας ιδιαίτερος πμοιομορφισμός δίνεται από την στερεογραφική προβολή του τοπολογικού τόρου στον R³ από τον βόρειο πόλο της S³.

Ο τόρος μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ένα πηλίκο του Καρτεσιανού επιπέδου σύμφωνα με τις ταυτοποιήσεις:

(x, y) ~ (x+1, y) ~ (x, y+1)

Είτε, ισοδύναμα, ως το πηλίκο ενός μοναδιαίου τετράγωνου με επικόλληση των αντιθέτων του πλευρών, που περιγράφεται ως ένα βασικό πολύγωνο ABA⁻¹B⁻¹.

Η βασική ομάδα του τόρου είναι απλώς ένα άμεσο γινόμενο της βασικής ομάδας του κύκλου με τον εαυτό της:

$\pi _{1}(\mathbf {T} ^{2})=\pi _{1}(S^{1})\times \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbf {Z} \times \mathbf {Z} .$

Γυρίζοντας έναν διατρημένο τόρο μέσα-έξω

Διαισθητικά μιλώντας, αυτό σημαίνει ότι η κλειστή διαδρομή που περιβάλλει την "οπή" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος) και στη συνέχεια περιβάλλει το "σώμα" του τόρου (ας πούμε, ένας κύκλος που διαγράφει ένα συγκεκριμένο γεωγραφικό μήκος) μπορεί να παραμορφωθεί σε μια διαδρομή που περιβάλλει το σώμα και στη συνέχεια την οπή. Έτσι ανταλάσσονται τα αυστηρώς «γεωγραφικά» και τα αυστηρώς «διαμήκη» μονοπάτια. Αυτό μπορούμε να το φανταστούμε ως δύο κορδόνια που διέρχονται το ένα στο άλλα, μετά ξετυλίγονται και πάλι τυλίγονται.

Εάν ένας τόρος είναι διάτρητος και γύρισε από μέσα έξω, στη συνέχεια, γίνεται ένας άλλος τόρος, καθώς εναλλάσσονται οι γραμμές του γεωγραφικού μήκους και του γεωγραφικού πλάτους.

Η πρώτη ομόλογη ομάδα του τόρου είναι ισομορφική προς τη βασική ομάδα του. Αυτό προκύπτει από το θεώρημα Hurewicz, δεδομένου ότι η βασική ομάδα είναι αβελιανή.

Δύο φύλλα κάλυψης

Ο 2-τόρος διπλοκαλύπτει τη 2-σφαίρα, με τέσσερα σημεία διακλάδωσης. Κάθε σύμμορφη δομή πάνω στον 2-τόρο μπορεί να παρασταθεί ως δύο φύλλα κάλυψης της 2-σφαίρας. Τα σημεία του τόρο που αντιστοιχούν στα σημεία διακλάδωσης λέγονται σημεία Weierstrass. Ο τύπος σύμμορφων του τόρου καθορίζεται, στην πραγματικότητα, από την εγκάρσια αναλογία των τεσσάρων σημείων διακλάδωσης.

Πολυδιάστατος τόρος

Η στερεογραφική προβολή ενός Κλίφορντ τόρου σε τέσσερις διαστάσεις πραγματοποιεί μια απλή περιστροφή στο επίπεδο xz

Ο τόρος έχει μια γενίκευση σε υψηλότερες διαστάσεις, ως n-διάστατος τόρος, που συχνά αποκαλείται n-τόρος ή υπερτόρος για συντομία (αυτή είναι η μία από τις δύο διαφορετικές σημασίες του όρου «n-τόρος»). Υπενθυμίζοντας ότι ο τόρος είναι ο χώρος του γινομένου δύο κύκλων, συνεπώς ο n-διάστατος τόρος είναι ο χώρος του γινομένου n κύκλων. Αυτό εκφράζεται ως:

$\mathbf {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}.$

Ο 1-τόρος είναι για την ακρίβεια ο κύκλος, δηλαδή T¹ = S¹. Ο τόρος που αναφέρθηκε παραπάνω είναι ο 2-τόρος, T². Παρομοίως με τον 2-τόρο, ο n-τόρος, Tⁿ, μπορεί να περιγραφεί ως το πηλίκο του Rⁿ κάτω από αναπόσπαστες μετατοπίσεις σε κάθε συντεταγμένη. Δηλαδή, ο n-τόρος είναι το Rⁿ υπόλοιπο της δράσης του ακεραίου πλέγματος Zⁿ (η δράση εκλαμβάνεται ως προσθήκη διανύσματος). Ισοδύναμα, ο n-τόρος αποκτάται από τον n-διαστάσεων υπερκύβο "κολλώντας" τις αντίθετετες μεταξύ τους έδρες.

Οι αυτομορφισμοί του T κατασκευάζονται εύκολα από αυτομορφισμούς του πλέγματος Zⁿ, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από αντιστρέψιμους ενσωματωμένους πίνακες μεγέθους n με ενσωματωμένο αντίστροφο. Αυτοί είναι μόνο οι ενσωματωμένοι πίνακες με ορίζουσα ±1. Κάνοντας τους να δράσουν στο Rⁿ με τον συνήθη τρόπο, κάποιος έχει στο πηλίκο τον τυπικό τοροειδή αυτομορφισμό.

Η βασική ομάδα του n-τόρου είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης n. Η k-οστή ομάδα ομολογίας του n-τόρου είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα τάξης n ανά k. Επομένως, η χαρακτηριστική Όιλερ του n-τόρου είναι 0 για κάθε n. Ο συνομόλογος δακτύλιος H^•(Tⁿ, Z) μπορεί να αναγνωριστεί με εξωτερική άλγεβρα κατά τη διάρκεια της Z-ενότητας, Zⁿ γεννήτριες των οποίων είναι διπλά των n μη τετριμμένων κύκλων.

Πολλαπλός τόρος

Στη θεωρία των επιφανειών υπάρχει το αντικείμενο πολλαπλός τόρος, που συχνά αποκαλείται n-πλάσιος τόρος ή n-οπών τόρος. Ένας n-πλάσιος τόρος, αντί να είναι το γινόμενο n κύκλων, είναι το άθροισμα n συνδεδεμένων 2-τόρος. Για να σχηματιστεί ένα συνδεδεμένο άθροισμα δύο επιφανειών, αφαιρούμε από την κάθε μια το εσωτερικό του δίσκου της και «κολλάμε» τις επιφάνειες μεταξύ τους κατά μήκος των κυκλικών ορίων των δίσκων τους. Για να σχηματιστεί το συνδεδεμένο άθροισμα περισσότερων των δύο επιφανειών, αθροίζουμε δύο από αυτές τη φορά έως ότου συνδεθούν όλες. Υπό την έννοια αυτή, ένας n-τόρος μοιάζει με την επιφάνεια n κουλουριών που κολλάνε όλα μαζί το ένα πλάι στο άλλο.

Ένας συνηθισμένος τόρος είναι ένας 1-πλάσιος τόρος, ο 2-πλάσιος τόρος ονομάζεται διπλός τόρος, ο 3-πλάσιος τόρος τριπλός τόρος, και ούτω καθεξής. Ο n-πλάσιος τόρος λέμε ότι είναι μια "προσανατολίσιμη επιφάνεια" γένους n, όπου το γένος είναι ο αριθμός των οπών (ή "λαβών"). Ο 0-πλάσιος τόρος είναι η 2-σφαίρα.

Το θεώρημα ταξινόμησης για επιφάνειες δηλώνει ότι κάθε συμπαγής συνδεδεμένη επιφάνεια είναι τοπολογικά ισοδύναμη είτε με σφαίρα, είτε με n-πλάσιο τόρο όπου n > 0, είτε με συνδεδεμένο άθροισμα n προβολικών επιπέδων όπου n > 0 (δηλαδή, προβολικά επίπεδα πάνω σε πραγματικούς αριθμούς).

Διπλός τόρος

Τριπλός τόρος

Τοροειδή πολύεδρα

Ένα τοροειδές πολύεδρο με 6 × 4 = 24 τετράπλευρες έδρες.

Τα πολύεδρα με τοπολογικό τύπο τόρου καλούνται τοροειδή πολύεδρα και έχουν χαρακτηριστική Όιλερ V − E + F = 0. Για τυχόν αριθμό οπών, ο τύπος γενικεύεται ως V − E + F = 2 − 2N, όπου N είναι ο αριθμός των οπών.

Ο όρος «τοροειδές πολύεδρο» χρησιμοποιείται επίσης σε υψηλότερου γένους πολύεδρα, καθώς και σε βυθίσεις τορειδών πολυέδρων.

Κοπή ενός τόρου

Ένα τυπικός τόρος (συγκεκριμένα ένας δακτυλιοειδής τόρος) μπορεί να κοπεί με n επίπεδα το πολύ σε m μέρη, σύμφωνα με τον τύπο:

$m={\tfrac {1}{6}}(n^{3}+3n^{2}+8n)\qquad \forall \ n\in \mathbb {N} ^{*}$

Οι αρχικοί όροι αυτής της ακολουθίας είναι: 2, 6, 13, 24, 40, … (ακολουθία A003600 στην OEIS).

Χρωματισμός ενός τόρου

Εάν χωρίσουμε έναν τόρο σε περιοχές, τότε είναι δυνατό να χρωματιστούν οι περιοχές αυτές, έτσι ώστε η κάθε γειτονική περιοχή να έχει διαφορετικό χρώμα, έτσι θα χρειαστούν τουλάχιστον επτά χρώματα. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων που ισχύει στο επίπεδο, λόγω του ότι ο τόρος είναι τρισδιάστατο αντικείμενο.

Αυτή η κατασκευή δείχνει τον τόρο χωρισμένο και χρωματισμένο σε επτά περιοχές, κάθε μία εκ των οποίων εφάπτεται όλων των άλλων.