Kurve mit Fahrstrahl Geschlossene Kurve mit Fahrstrahl Die Sektorformel von Leibniz , benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz , berechnet den orientierten Flächeninhalt, den ein Fahrstrahl eines Kurvenabschnitts überstreicht, insbesondere kann man mit ihr Flächeninhalte von Gebieten, die durch eine geschlossene Kurve beschrieben werden, berechnen.
Sei
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
t
↦
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
{\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}
glatte Kurve , dann überstreicht ihr mit dem Ursprung gebildeter Fahrstrahl den orientierten Flächeninhalt
F
{\displaystyle F}
F
(
γ
)
=
1
2
∫
a
b
(
x
(
t
)
y
′
(
t
)
−
y
(
t
)
x
′
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle F(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}(x(t)y^{\prime }(t)-y(t)x^{\prime }(t))dt}
Ist
γ
{\displaystyle \gamma }
stückweise glatte Kurve auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
{
t
0
,
…
,
t
n
}
{\displaystyle \{t_{0},\ldots ,t_{n}\}}
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
γ
{\displaystyle \gamma }
[
t
k
−
1
,
t
k
]
{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}
k
=
1
,
…
n
{\displaystyle k=1,\ldots n}
F
(
γ
)
=
F
(
γ
1
)
+
…
+
F
(
γ
n
)
{\displaystyle F(\gamma )=F(\gamma _{1})+\ldots +F(\gamma _{n})}
Hierbei bezeichnet
γ
k
{\displaystyle \gamma _{k}}
[
t
k
−
1
,
t
k
]
{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}
Dreieck als stückweise glatte Kurve Man kann die Sektorformel als eine Verallgemeinerung der Determinantenformel zur Berechnung des Flächeninhaltes von Dreiecken auffassen. Sind
A
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle A=(x_{1},y_{1})}
B
=
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle B=(x_{2},y_{2})}
C
=
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle C=(x_{3},y_{3})}
stückweise glatte Kurve
[
0
,
3
]
→
R
2
{\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
γ
(
t
)
:=
{
γ
a
(
t
)
=
(
x
1
+
(
x
2
−
x
1
)
t
,
y
1
+
(
y
2
−
y
1
)
t
)
falls
0
≤
t
≤
1
γ
b
(
t
)
=
(
x
2
+
(
x
3
−
x
2
)
(
t
−
1
)
,
y
2
+
(
y
3
−
y
2
)
(
t
−
1
)
)
falls
1
≤
t
≤
2
γ
c
(
t
)
=
(
x
3
+
(
x
1
−
x
3
)
(
t
−
2
)
,
y
3
+
(
y
1
−
y
3
)
(
t
−
2
)
)
falls
2
≤
t
≤
3
{\displaystyle \gamma (t):={\begin{cases}\gamma _{a}(t)=(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t,\,y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)&{\text{falls }}0\leq t\leq 1\\\gamma _{b}(t)=(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1),\,y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))&{\text{falls }}1\leq t\leq 2\\\gamma _{c}(t)=(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2),\,y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))&{\text{falls }}2\leq t\leq 3\end{cases}}}
Dann gilt nun für die Flächenberechnung des Dreiecks:
F
(
△
)
=
1
2
|
1
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
|
=
1
2
[
(
x
1
y
2
−
y
1
x
2
)
+
(
x
2
y
3
−
y
2
x
3
)
+
(
x
3
y
1
−
y
3
x
1
)
]
=
1
2
∫
0
1
[
(
x
1
+
(
x
2
−
x
1
)
t
)
(
y
2
−
y
1
)
−
(
y
1
+
(
y
2
−
y
1
)
t
)
(
x
2
−
x
1
)
]
d
t
+
1
2
∫
1
2
[
(
x
2
+
(
x
3
−
x
2
)
(
t
−
1
)
)
(
y
3
−
y
2
)
−
(
y
2
+
(
y
3
−
y
2
)
(
t
−
1
)
)
(
x
3
−
x
2
)
]
d
t
+
1
2
∫
2
3
[
(
x
3
+
(
x
1
−
x
3
)
(
t
−
2
)
)
(
y
1
−
y
3
)
−
(
y
3
+
(
y
1
−
y
3
)
(
t
−
2
)
)
(
x
1
−
x
3
)
]
d
t
=
F
(
γ
a
)
+
F
(
γ
b
)
+
F
(
γ
c
)
=
F
(
γ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}
Für den Fall einer geschlossenen Kurve ergibt sich die Sektorformel von Leibniz auch als Spezialfall des Integralsatzes von Green . Der Integralsatz liefert für die von einer Kurve
γ
:
[
a
,
b
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
γ
(
a
)
=
γ
(
b
)
{\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}
B
{\displaystyle B}
f
,
g
:
R
2
→
R
{\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
∫
B
[
g
x
(
x
,
y
)
−
f
y
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
⋅
x
′
(
t
)
+
g
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
⋅
y
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}
Wählt man für die dortigen Funktionen
f
(
x
,
y
)
=
−
y
{\displaystyle f(x,y)=-y}
g
(
x
,
y
)
=
x
{\displaystyle g(x,y)=x}
f
y
(
x
,
y
)
=
−
1
{\displaystyle f_{y}(x,y)=-1}
g
x
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle g_{x}(x,y)=1}
∫
B
(
1
−
(
−
1
)
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
+
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
]
d
t
⇔
∫
B
1
d
x
d
y
=
1
2
∫
a
b
[
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}
Da die Integration über eine Fläche mit 1 den Flächeninhalt selbst liefert, gilt:
F
(
γ
)
=
∫
B
1
d
x
d
y
=
1
2
∫
a
b
[
x
(
t
)
⋅
y
′
(
t
)
−
y
(
t
)
⋅
x
′
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}
Alternative Formel In der Literatur wird gelegentlich auch eine weitere Formel als Sektorformel von Leibniz bezeichnet. Diese ist wesentlich spezieller und verwendet statt Koordinatenfunktionen
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
γ
(
t
)
{\displaystyle \gamma (t)}
r
(
t
)
{\displaystyle r(t)}
sternförmigen Menge
B
{\displaystyle B}
F
(
B
)
=
1
2
∫
a
b
r
(
t
)
2
d
t
{\displaystyle F(B)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(t)^{2}\ dt}
Da diese Formel im Gegensatz zur vorherigen keinen orientierten Flächeninhalt verwendet, ist sie nur für sternförmige Mengen gültig. Ist
(
x
z
,
y
z
)
{\displaystyle (x_{z},y_{z})}
r
(
t
)
=
(
x
(
t
)
−
x
z
)
2
+
(
y
(
t
)
−
y
z
)
2
{\displaystyle r(t)={\sqrt {(x(t)-x_{z})^{2}+(y(t)-y_{z})^{2}}}}
Eine Herzkurve
γ
:
[
0
,
2
π
]
→
R
2
{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}
x
=
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
y
=
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
{\displaystyle x=a\cos(t)(1+\cos(t))\qquad y=a\sin(t)(1+\cos(t))}
Mit der Sektorformel ergibt sich dann der folgende Flächeninhalt:
F
(
γ
)
=
1
2
∫
0
2
π
[
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
a
(
cos
(
t
)
+
2
cos
(
t
)
2
−
1
)
+
a
sin
(
t
)
(
1
+
2
cos
(
t
)
)
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
]
d
t
=
3
2
a
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}
Herzkurve Bei der Verwendung der alternativen Formel kann man
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
F
(
γ
)
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
a
cos
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
)
2
+
(
a
sin
(
t
)
(
1
+
cos
(
t
)
)
)
2
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
(
cos
(
t
)
2
+
sin
(
t
)
2
)
]
d
t
=
1
2
∫
0
2
π
[
(
1
+
cos
(
t
)
)
2
a
2
]
d
t
=
3
2
a
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab36f66326a2b397f9661b314c5be85338c3b8de)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle [t_{k-1},t_{k}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/652753d0b32b6fc7d9a74019977c241593ca0aed)
![{\displaystyle [0,3]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26ba09cbe7c8b7226f358450a6f7a8635ec53dc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\triangle )&={\frac {1}{2}}\left|{\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|={\frac {1}{2}}[(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})+(x_{2}y_{3}-y_{2}x_{3})+(x_{3}y_{1}-y_{3}x_{1})]\\&=\quad {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}[(x_{1}+(x_{2}-x_{1})t)(y_{2}-y_{1})-(y_{1}+(y_{2}-y_{1})t)(x_{2}-x_{1})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}[(x_{2}+(x_{3}-x_{2})(t-1))(y_{3}-y_{2})-(y_{2}+(y_{3}-y_{2})(t-1))(x_{3}-x_{2})]dt\\&\quad +{\frac {1}{2}}\int _{2}^{3}[(x_{3}+(x_{1}-x_{3})(t-2))(y_{1}-y_{3})-(y_{3}+(y_{1}-y_{3})(t-2))(x_{1}-x_{3})]dt\\&=F(\gamma _{a})+F(\gamma _{b})+F(\gamma _{c})\\&=F(\gamma )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f65852b83434d392b14140791eb271a87dbcaa7)
![{\displaystyle \int _{B}{\Bigl [}g_{x}(x,y)-f_{y}(x,y){\Bigr ]}dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}f{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot x^{\prime }(t)+g{\bigl (}x(t),y(t){\bigr )}\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586204711dde3e4a9b7ec2b83a3d03c0ea4ffc5d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{B}(1-(-1))dxdy=\int _{a}^{b}{\Bigl [}-y(t)\cdot x^{\prime }(t)+x(t)\cdot y^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\\\Leftrightarrow &\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4e5e673b0b38701f840adfa052fdaa5be8d388)
![{\displaystyle F(\gamma )=\int _{B}1dxdy={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}{\Bigl [}x(t)\cdot y^{\prime }(t)-y(t)\cdot x^{\prime }(t){\Bigr ]}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff1f9fcf672ad43383e20bb7e554e73cc1c141)
![{\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea32becc154f483bda6d73f47426b17ddd93952)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}a\cos(t)(1+\cos(t))a(\cos(t)+2\cos(t)^{2}-1)+a\sin(t)(1+2\cos(t))a\sin(t)(1+\cos(t)){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b729849007fa85e20ed07ed7c477b1cc52c7a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\gamma )&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}{\bigl (}a\cos(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}+{\bigl (}a\sin(t)(1+\cos(t)){\bigr )}^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}(\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}){\Bigr ]}dt\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\Bigl [}(1+\cos(t))^{2}a^{2}{\Bigr ]}dt\\&={\frac {3}{2}}a^{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6ecb751500d6c1fbac53731c0fa82e60f22ac5e)
