Die KK-Theorie ist eine mathematische Theorie aus dem Bereich der Funktionalanalysis. Der Name rührt daher, dass sie eine K-Theorie mit zwei Variablen darstellt, die die klassische K-Theorie für C*-Algebren und die Theorie der Erweiterungen von C*-Algebren verallgemeinert. Die KK-Theorie geht auf G. G. Kasparow zurück.[1]
Die unten zu definierenden Gruppen
der KK-Theorie werden von Äquivalenzklassen von Hilbert-C*-Moduln mit einer Zusatzstruktur gebildet und hängen von zwei C*-Algebren
und
ab. Die C*-Algebren tragen eine
-Graduierung und für einige zum Teil sehr technische Konstruktionen sollten alle C*-Algebren, die als erste Variable auftreten, separabel sein und alle C*-Algebren, die als zweite Variable auftreten, σ-unital, was der Einfachheit wegen im Folgenden stets vorausgesetzt sei. Für C*-Algebren ohne Graduierung kann man die triviale Graduierung, die durch die Identität als Graduierungsautomorphismus erzeugt wird, unterstellen; dann erhält man Aussagen für nicht-graduierte C*-Algebren.
Ein Kasparow-A-B-Modul ist ein Tripel
bestehend aus
- einem abzählbar erzeugten, graduierten Hilbert-
-Rechtsmodul
,
- einem graduierten *-Homomorphismus
, wobei
die C*-Algebra der
-linearen Operatoren auf
mit der von
herrührenden Graduierung ist (siehe Hilbert-C*-Modul),
- einem Operator
mit folgenden Eigenschaften
, das heißt
ist homogen vom Grad 1,
für alle
,
für alle
,
für alle
.
Dabei bezeichnet
den graduierten Kommutator und
das zweiseitige Ideal der „kompakten“ Operatoren in
. Der Buchstabe
für den Operator soll an Fredholm-Operator erinnern. Beachte, dass
durch
zu einem A-B-Bimodul wird.[2][3]
Betrachtet man die Elemente aus
als „klein“ gegenüber den allgemeineren aus
, so wie man manchmal einen echten kompakten Operator als „kleine“ Störung eines Hilbertraum-Operators auffasst, so sagen die Bedingungen an
, dass die Größen
„klein“ sein sollen. Sind diese Größen sogar 0, so nennt man den Kasparow-Modul degeneriert. Der triviale Modul
ist ein degenerierter Kasparow-A-B-Modul; beachte, dass hierbei höchst unterschiedliche Objekte mit 0 bezeichnet sind.
Im Folgenden sei
die Klasse der Kasparow-A-B-Moduln. Wir werden eine Addition und eine geeignete Äquivalenzrelation auf
definieren, die die Menge der Äquivalenzklassen zu einer Gruppe macht. Das werden die KK-Gruppen sein.
Die Addition in den KK-Gruppen wird mittels der direkten Summe definiert werden, daher beschreiben wir kurz die direkte Summe endlich vieler Kasparow-Moduln. Seien
Kasparow-A-B-Moduln. Wir definieren die direkte Summe
![{\displaystyle (E,\varphi ,F)={\mathcal {E}}_{1}\oplus \ldots \oplus {\mathcal {E}}_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87a34676e41957f4211fb80289b34f418e64329)
durch
mit Graduierung
, wobei
die Graduierungen auf den
seien.
Man überprüft, dass das Tripel
wieder ein Kasparow-A-B-Modul ist, den man die direkte Summe der
nennt.
Zur angekündigten Definition der Äquivalenzrelation auf
benötigen wir die folgende als Pushout bezeichnete Konstruktion.
Es sei
ein Kasparow-A-B-Modul und
ein surjektiver *-Homomorphismus. Dann kann man zeigen, dass es zu jedem Operator
genau einen Operator
gibt mit
, wobei
das Pushout des Hilbert-B-Moduls
bezüglich
ist und
die Quotientenabbildung. Dann definiert
einen *-Homomorphismus
und
![{\displaystyle {\mathcal {E}}_{f}:=(E_{f},\varphi _{f},F_{f})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cb69aa1e6683931b7bb870bf030a171f29ddcf)
ist ein Kasparow-A-C-Modul, den man das Pushout von
bezüglich
nennt.[4]
Ähnlich wie in der K-Theorie, in der die direkte Summe eine Verknüpfung auf geeigneten Äquivalenzklassen definiert, werden wir hier vorgehen. Es ist üblich, mehrere Äquivalenzrelationen zu definieren, von denen dann gezeigt wird, dass sie unter geeigneten Abzählbarkeitsvoraussetzungen an die C*-Algebren, die wir wie oben erwähnt generell voraussetzen, zusammenfallen. Wir werden uns hier nur einer dieser Äquivalenzrelationen, der sogenannten Homotopie-Relation, zuwenden und erwähnen an dieser Stelle nur, dass man Teile der Theorie parallel für mehrere Äquivalenzrelationen entwickelt, um dann später Gleichheit zeigen zu können. Da wir nur Ergebnisse darstellen wollen, werden wir diesen Weg hier nicht nachzeichnen.
Zur Definition der Homotopie-Relation benötigen wir zunächst die feinere unitäre Äquivalenz.
Zwei Kasparow-A-B-Moduln
und
heißen unitär äquivalent, in Zeichen
, wenn es einen Operator
gibt, der eine unitäre Äquivalenz der graduierten Hilbert-C*-Moduln vermittelt, so dass
für alle ![{\displaystyle a\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5)
![{\displaystyle F_{0}=U^{*}F_{1}U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edfb2e6baedcff67256eb49e67c817a0d6e8adc)
Für eine graduierte C*-Algebra
sei
die C*-Algebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall
mit Werten in
. Diese ist mit der von
induzierten Graduierung wieder eine graduierte C*-Algebra. Die Auswertungen
sind surjektive *-Homomorphismen, mit denen daher Pushouts gebildet werden können.
Man schreibt nun
, falls es einen Kasparow-A-C([0,1],B)-Modul
mit
und
.
Schließlich nennt man
und
homotop, in Zeichen
, falls es endlich viel Kasparow-A-B-Moduln
gibt mit
.
Man zeigt, dass
eine Äquivalenzrelation auf der Klasse
der Kasparow-A-B-Moduln ist. Die Äquivalenzklasse eines Kasparow-Moduls
wird mit
bezeichnet.[5]
Es seien
und
C*-Algebren. Dann sei
![{\displaystyle KK(A,B):=\mathrm {E} (A,B)/\!\sim _{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa0d7259dd7de37ba100bf44d28ac2e9223c039a)
die Menge der Äquivalenzklassen der Kasparow-A-B-Moduln. Da die abzählbar erzeugten Hilbert-B-Moduln nach dem Stabilisierungssatz von Kasparow bis auf unitäre Äquivalenz als Untermoduln von
aufgefasst werden können, liegt hier tatsächlich eine Menge vor.
Man kann zeigen, dass die direkte Summe eine Addition
![{\displaystyle [{\mathcal {E}}_{1}]+[{\mathcal {E}}_{2}]:=[{\mathcal {E}}_{1}\oplus {\mathcal {E}}_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944b4524e65a61d82ca59bf5995bf95cb45da276)
definiert, die
zu einer abelschen Gruppe macht.[6]
Das Nullelement ist die Klasse der degenerierten Kasparow-Moduln. Wir beschreiben kurz die Inversenbildung in dieser Gruppe. Es ist
.
Dabei ist
der Hilbert-
-Modul
mit der entgegengesetzten Graduierung, das heißt die Moduln haben dieselben homogenen Elemente, lediglich die Grade dieser homogenen Elemente des einen sind gegenüber den Graden der homogenen Elemente des anderen um 1 modulo
verschoben. Weiter ist
, wobei die
homogene Elemente vom Grad
aus
seien.
Schließlich sei
.
Dabei ist
das graduierte Tensorprodukt aus
und
, wobei diese zweidimensionale C*-Algebra die durch
definierte Graduierung trage. Zum besseren Verständnis dieses Tensorproduktes sei
der Graduierungsautomorphismus auf
und
sei derjenige Homomorphismus, der 0 auf die Identität und 1 auf
abbildet. Dann ist
ein C*-dynamisches System und das graduierte Tensorprodukt
ist isomorph zum Kreuzprodukt
dieses C*-dynamischen Systems.
Es seien
ein Kasparaow-A-B-Modul
eine weitere, separable, graduierte C*-Algebra. Dann ist
ein graduierter Hilbert-D-Modul und man kann den Hilbert-B⊗D-Modul
, das äußere, graduierte Tensorprodukt der beiden Hilbert-C*-Moduln, bilden.
ist dann ein *-Homomorphismus
und
ein Operator, der
zu einem Kasparow-A⊗D-B⊗D-Modul macht. Auf diese Weise erhalten wir einen Homomorphismus
.
Man schreibt die Gruppe
auch als
. Indem man die Bildung des graduierten Tensorproduktes mit
iteriert, könnte man auch höhere KK-Gruppen definieren:
![{\displaystyle KK^{n+1}(A,B):=KK^{n}(A,B{\hat {\otimes }}\mathbb {C} _{1}),\quad n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b44b31713e4081b0f8bdc79f9d51e8d7b3464f)
aber das erweist sich als unnötig, denn man kann zeigen, dass
.[7]
Dies nennt man die formale Bott-Periodizität, weil es sich ähnlich wie die Bott-Periodizität der K-Theorie verhält. Die formale Bott-Periodizität lässt sich im Wesentlichen auf die Beziehung
zurückführen und ist damit wesentlich einfacher als die echte Bott-Periodizität, die Einhängungen verwendet. Aber auch diese echte Bott-Periodizität lässt sich in der KK-Theorie beweisen.
Ist
eine C*-Algebra, so bezeichne
die Einhängung von
, das heißt die C*-Algebra aller stetigen Funktionen
, die im Unendlichen verschwinden. Dann gilt[8]
,
![{\displaystyle KK^{0}(A,B)\cong KK^{1}(A,SB)\cong KK^{1}(SA,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/836798ce4c0e405f9dc5a8b9a5cb797e886343b2)
.
Wir definieren hier sogenannte KK1-Zykel und zeigen, wie mittels einer geeigneten Äquivalenzrelation solche Zykel zu einer alternativen Beschreibung von
für trivial graduierte C*-Algebren herangezogen werden können.
Ein KK1-Zykel ist ein Paar
bestehend aus einem Element
und einem *-Homomorphismus
, so dass
für alle ![{\displaystyle a\in A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97387981adb5d65f74518e20b6785a284d7abd5)
Es sei
die Menge solcher KK1-Zykel. Zwei KK1-Zykel
und
heißen homomtop, falls es
gibt mit
,
wobei
die Auswertungsabbildung im Punkt
sei und
deren eindeutige strikt-stetige Fortsetzung auf die Multiplikatorenalgebren. Diese mit
bezeichnete Relation ist eine Äquivalenzrelation, deren Äquivalenzklassen wir mit eckigen Klammern schreiben.
Auf
hat man die durch
![{\displaystyle [(v_{1},\lambda _{1})]+[(v_{2},\lambda _{2})]:=[(\theta _{B}{\begin{pmatrix}v&0\\0&v\end{pmatrix}},\theta _{B}\circ {\begin{pmatrix}\lambda (\cdot )&0\\0&\lambda (\cdot )\end{pmatrix}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb760dac0ce68e863608bdb6fdd8830508d8011)
definierte Addition, wobei
eine unitäre Isomorphie
bezeichne.
Wir beschreiben nun einen Isomorphismus von
nach
. Dazu sei
und
der durch
definierte Isomorphismus.
Für einen KK1-Zykel
setze
.
Dann ist
und
![{\displaystyle E^{1}(A,B)/\!\sim _{h}\rightarrow KK^{1}(A,B),\quad (v,\lambda )\mapsto {\mathcal {E}}_{v,\lambda }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b97c0a5dadedb24d08816c9a6acb288a13374ae)
ist ein Isomorphismus.[9] Damit ist
unabhängig von der formalen Bott-Periodizität beschrieben.
Ist
ein graduierter *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren, so ist
ein Kasparow-A-B-Modul. Beachte dazu die oben vereinbarte Voraussetzung, dass
-unital ist; damit ist
als Hilbert-
-Modul (mit trivialer Graduierung) tatsächlich abzählbar erzeugt. Die Äquivalenzklasse
wird oft nur mit
bezeichnet. Die Elemente
werden beim weiter unten zu besprechenden Kasparow-Produkt die Rolle von Identitäten einnehmen.
Es seien
mit Graduierung
und
der *-Homomorphismus mit
. Weiter sei
die Quotientenabbildung in die Calkin-Algebra. Sei
ein Operator, so dass
unitär ist. Dann ist
.
Da
unitär ist, ist
ein Fredholm-Operator, und man kann zeigen, dass
![{\displaystyle KK(\mathbb {C} ,\mathbb {C} )\rightarrow \mathbb {Z} ,\quad [(E,\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T^{*}\\T&0\end{pmatrix}})]\mapsto \mathrm {index} (T)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f2397a4ce2f2eb7ab03a33893f3c2ea8cd4aa2)
ein Gruppenisomorphismus ist, wobei index den Fredholm-Index bezeichnet.
Wir zeigen hier, wie die K-Gruppen einer C*-Algebra
(mit trivialer Graduierung) in der KK-Theorie wieder auftauchen.[10]
Es sei
ein unitäres Element der äußeren Multiplikatorenalgebra der C*-Algebra
, das heißt aus dem Quotienten der Multiplikatorenalgebra des Tensorproduktes aus
und der C*-Algebra
der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum nach diesem Tensorprodukt.
Sei
eine Liftung von
, das heißt
. Dann ist
.
Beachte dabei, dass
und daher die dritte Komponente des angegebenen Elementes tatsächlich aus
ist und offenbar den Grad 1 hat.
ist der *-Homomorphismus mit
.
Dann kann man zeigen, dass die Zuordnung
![{\displaystyle K_{1}(Q^{s}(B))\rightarrow KK(\mathbb {C} ,B),\quad [u]\mapsto [({\hat {H}}_{B},\varphi ,{\begin{pmatrix}0&T_{u}^{*}\\T_{u}&0\end{pmatrix}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96b88e6c8d88d291602da492aa11876d0ef246c)
ein Gruppenisomorphismus ist. Wie im Artikel über Multiplikatorenalgebren ausgeführt, hat man auch einen natürlichen Isomorphismus
, so dass man insgesamt einen Isomorphismus
erhält.
Entweder durch ähnliche Überlegungen oder unter Verwendung der oben vorgestellten Bott-Periodizität kommt man auch zu einem Isomorphismus
, so dass man insgesamt zu folgender leicht einprägsamer Formel gelangt:
.
Unter Verwendung der oben vorgestellten alternativen Beschreibung von
mittels KK1-Zykeln lässt sich ein Isomorphismus
konstruieren, wobei ersteres die Gruppe der invertierbaren Elemente in Ext(A,B) bezeichne. Wie im Artikel über Erweiterungen von C*-Algebren ausgeführt, gehören zur Busby-Invariante
eines invertierbaren Elementes ein Homomorphismus
und eine Projektion
mit
. Dann ist
ein KK1-Zykel und wir erhalten einen Gruppenisomorphismus
.[11]
Die Zuordnung zweier C*-Algebren zu ihrer KK-Gruppe kann zu einem Funktor ausgebaut werden, wenn man jeweils eine C*-Algebra fixiert. Diese Funktoren erweisen sich sogar als homotopieinvariant.[12]
Sind
ein Kasparow-A-B-Modul und
ein graduierter *-Homomorphismus, so ist
ein Kasparow-C-B-Modul und man erhält einen Gruppenhomomorphismus
.
Dadurch wird
bei festem
zu einem kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der separablen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind
*-Homomorphismen für
, so dass die Abbildungen
für alle
stetig sind, so ist
.
Sind
ein Kasparow-A-B-Modul und
ein graduierter *-Homomorphismus, so bilde das innere Tensorprodukt
. Dieses ist ein Hilbert-
-Modul und
ist ein *-Homomorphismus
. Durch diese Definition erhält man einen Gruppenhomomorphismus
.
Dadurch wird
bei festem
zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie der
-unitalen, graduierten C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen. Betrachtet man auf jeder C*-Algebra die triviale Graduierung, so erhalten wir einen kovarianten Funktor von der Kategorie der
-unitalen C*-Algebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.
Dieser Funktor ist homotopieinvariant, das heißt sind
*-Homomorphismen für
, so dass die Abbildungen
für alle
stetig sind, so ist
.
Das Kasparow-Produkt ist eine Abbildung
![{\displaystyle KK(A,D)\times KK(D,B)\mapsto KK(A,B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67766e4c33bec4c46600b0b6099a67d4948a6106)
das in den Anwendungen ein mächtiges Werkzeug darstellt. Sowohl die Konstruktion, die unten nur angedeutet werden kann, als auch der Nachweis der unten aufgelisteten Eigenschaften erfordern einen hohen technischen Aufwand.[13]
Zur Konstruktion seien
und
. Dann ist das graduierte, innere Tensorprodukt
ein Hilbert-
-Modul und
ist ein *-Homomorphismus
. Mit hohem technischen Aufwand kann man einen geeigneten Operator
konstruieren und so ein Element
definieren, das man das Kasparaow-Produkt der beiden Elemente aus
und
nennt, und das folgende Eigenschaften hat:[14]
![{\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27c3b680bd94bc409f7704de0cb7519d1d7bf30)
|
für
|
![{\displaystyle f^{*}(x\cdot y)=f^{*}(x)\cdot y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082627d27735824d8179e9b0a594b2b4bfb14d7d)
|
für *-Homomorphismus
|
![{\displaystyle f^{*}(x)\cdot y=x\cdot f^{*}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65da9f29f9eba0dae7c494a0ccd4dada109611c)
|
für *-Homomorphismus
|
![{\displaystyle f_{*}(x\cdot y)=x\cdot f_{*}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4327f3be2b690bd622b2bc444fdfbaa1e5890ac1)
|
für *-Homomorphismus
|
![{\displaystyle [\mathrm {id} _{A}]\cdot x=x\cdot [\mathrm {id} _{B}]=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426fc55eac45400680706e83a766715af6e60cca)
|
für
|
|
für
|
![{\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5edb71a956a66fcc38e4b7048f1ee7d6c255a52)
|
für
|
![{\displaystyle [f]\cdot x=f^{*}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9da19816ce40947610ef061e4ef6c4074b0876d)
|
für *-Homomorphismus
|
![{\displaystyle x\cdot [f]=f_{*}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9243b8895734275023a967ec4cc66da06c7549)
|
für *-Homomorphismus.
|
Insbesondere ist
für jede separable C*-Algebra ein Ring mit Einselement
. Der oben vorgestellte Gruppenisomorphismus
erweist sich als Ringisomorphismus.
Ist
eine AF-C*-Algebra, so ist
isomorph zum Endomorphismenring der Gruppe
.
Das Kasparow-Produkt kann wie folgt zu einem Produkt
![{\displaystyle KK(A_{1},B_{1}\otimes D)\times KK(D\otimes A_{2},B_{2})\rightarrow KK(A_{1}\otimes A_{2},B_{1}\otimes B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138cd615eec155559dd92eb52de391bec008f08c)
verallgemeinert werden, wobei die auftretenden C*-Algebren die oben vereinbarten Abzählbarkeitsbedingungen erfüllen sollen und das Tensorprodukt stets das graduierte Tensorprodukt sei. Für
und
sind
und
,
so dass man das Kasparow-Produkt
, ein Element in
, bilden kann. Dieses Produkt bezeichnet man wieder mit
und bestätigt, dass es nicht in Konflikt zum bereits definierten Kasparow-Produkt steht, was im Wesentlichen daran liegt, dass
die Identität ist. Insgesamt erhalten wir so die angekündigte, bilineare Abbildung
.[15]
Für
erhält man das bereits bekannte Kasparow-Produkt zurück, denn das Tensorieren mit
führt zu isomorphen C*-Algebren und
ist die Identität. In diesem Sinne stellt obiges Produkt eine Verallgemeinerung des zuvor eingeführten Kasparow-Produkts dar.
Als wichtigen Spezialfall wollen wir das Tensorieren mit
behandeln, denn das führt nach obiger Definition zu KK1-Gruppen. Ist speziell
und
, so kann man beim Auftreten des Tensorproduktes mit
zur KK1-Gruppe übergehen und das Tensorieren mit
fortlassen. Aus obigem erhält man daher eine bilineare Abbildung
.
Man kann also Elemente aus
von links mit Elementen aus
multiplizieren und erhält ein Element aus
.
Indem man analog
und
beziehungsweise
setzt, erhält man bilineare Abbildungen
![{\displaystyle KK(A_{1},D)\times KK^{1}(D,B_{2})\rightarrow KK^{1}(A_{1},B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa995a3bfdabf8aad5b2bad610aeed1d78b52c07)
und
,
wobei für die letzte Abbildung noch die formale Bott-Periodizität verwendet wurde.
Die aus der K-Theorie bekannten zyklischen, 6-gliedrigen, exakten Sequenzen können auch in der KK-Theorie bewiesen werden. Wir gehen von einer kurzen, exakten Sequenz
![{\displaystyle 0\rightarrow J{\xrightarrow {\iota }}A{\xrightarrow {\sigma }}A/J\rightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c455e05ce74ea9132fb5c61508c02aa97728026)
aus, die aus einem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal
in einer C*-Algebra mit Einselement entsteht und von der wir voraussetzen wollen, dass sie semi-spaltend ist. Dann ist diese Sequenz eine invertierbare Erweiterung und bestimmt daher nach obigem ein Element
. Die durch das Kasparow-Produkt definierte Multiplikation mit
definiert für eine weitere C*-Algebra
Homomorphismen
,
,
,
,
die sämtlich mit
bezeichnet seien. Dann bestehen die folgenden zyklischen, exakten Sequenzen:[16]
und
Derartige Sequenzen sind bei der Berechnung von KK-Gruppen oft hilfreich, insbesondere wenn ein oder zwei Glieder einer solchen Sequenz 0 sind, denn dann können einige Abbildungen mittels Exaktheit als injektiv, surjektiv oder sogar als bijektiv nachgewiesen werden.
- ↑ G. G. Kasparow: The operator K-functor and extensions of C*-algebras, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat. (1980), Band 44, Seiten 571–636
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 17.1.1
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.1.
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Abschnitt 2.1.5.: Pushout
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Definition 2.1.9 + Lemma 2.1.12
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.3.3
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 17.8.9
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Korollar 19.2.2
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Satz 3.3.6
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 17.5.5
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Korollar 3.3.11
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, 17.8: Functoriality, 17.9: Homotopy Invariance
- ↑ K. K. Jensen, K. Thomsen: Elements of KK-Theory, Birkhäuser-Verlag (1991), ISBN 0-8176-3496-7, Kapitel 2.2: The Kasparov-Product
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Sätze 18.4.4, 18.6.1, 18.7.1, 18.7.2
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 18.9.1
- ↑ Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 19.5.7