Fricke-Raum

Der Fricke-Raum, benannt nach dem Mathematiker Robert Fricke (1861–1930), bezeichnet in der Mathematik einen Modulraum, dessen Objekte markierte hyperbolische Metriken auf einer geschlossenen Fläche sind. Bei diesen Objekten handelt es sich um Riemannsche Metriken der Krümmung konstant $-1$. Äquivalent ist er ein Modulraum der diskreten, treuen Darstellungen von der Fundamentalgruppe der Fläche in die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene.

Der vergleichbare Teichmüller-Raum behandelt eigentlich den Modulraum Riemannscher Flächen, der Fricke-Raum steht für den Modulraum hyperbolischer Metriken. Der große Riemannsche Abbildungssatz (Uniformisierungssatz) zeigt, dass es in jeder Äquivalenzklasse Riemannscher Flächen vom Geschlecht $\geq 2$ eine eindeutige hyperbolische Metrik gibt. Der Teichmüller-Raum entspricht also 1:1 dem Fricke-Raum.

Fläche vom Geschlecht 2

Koordinaten

Der Fricke-Raum ${\mathcal {F}}(S_{g})$ einer Fläche $S_{g}$ vom Geschlecht $g\geq 2$ ist $(6g-6)$-dimensional und homöomorph zur offenen Einheitskugel im $\mathbb {R} ^{6g-6}$.

Eine mögliche Parametrisierung durch $6g-6$ reelle Parameter liefern die Fenchel-Nielsen-Koordinaten. Andere Koordinatisierungen ergeben sich aus der Identifizierung mit dem Teichmüller-Raum.

In moderneren Zugängen identifiziert man den Fricke-Raum häufig mit einer Komponente der Charaktervarietät $X(\pi _{1}S_{g},PSL(2,\mathbb {R} ))$, nämlich der Komponente, die die Charaktere aller diskreten, treuen Darstellungen enthält. (Jeder hyperbolischen Metrik entspricht jeweils ihre Monodromie-Darstellung.) Als Fricke-Koordinaten bezeichnet man dann die folgenden bereits auf Fricke zurückgehenden Koordinaten.

Fricke-Koordinaten. Sei $\pi _{1}S_{g}=\langle \alpha _{1},\beta _{1},\ldots ,\alpha _{g},\beta _{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[\alpha _{i},\beta _{i}\right]\rangle$ die kanonische Präsentierung der Flächengruppe und $\rho \colon \pi _{1}S_{g}\to PSL(2,\mathbb {R} )$ eine diskrete, treue Darstellung. Dann sind für $i=1,\ldots ,g$

$\rho (\alpha _{i})=\left({\begin{array}{cc}a_{i}&b_{i}\\c_{i}&d_{i}\end{array}}\right),\rho (\beta _{i})=\left({\begin{array}{cc}a_{i}^{\prime }&b_{i}^{\prime }\\c_{i}^{\prime }&d_{i}^{\prime }\end{array}}\right)$

Äquivalenzklassen von Matrizen, wobei wir o. B. d. A. $c_{i}>0,c_{i}^{\prime }>0$ annehmen können. Die $6g-6$ Parameter des Fricke-Raumes sind dann

$(a_{1},c_{1},d_{1},a_{1}^{\prime },c_{1}^{\prime },d_{1}^{\prime },\ldots ,a_{g-1},c_{g-1},d_{g-1},a_{g-1}^{\prime },c_{g-1}^{\prime },d_{g-1}^{\prime })$.

Der Uniformisierungssatz identifiziert den Teichmüller-Raum mit dem Fricke-Raum und insbesondere liefern die Fricke-Koordinaten auch Koordinaten auf dem Teichmüller-Raum. Allerdings erhält man auf diese Weise nicht die komplexe Struktur auf dem Teichmüller-Raum, die erst von Teichmüller explizit koordinatisiert wurde.

Flächen mit Rand

Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

Für Flächen mit Rand definiert man den Fricke-Raum als Modulraum der markierten hyperbolischen Metriken mit geodätischem Rand modulo randerhaltender Isotopien.

Beispiele

Hose

Der Fricke-Raum der Hose $H=S_{0,3}$ wird parametrisiert durch die Spuren $x=Tr(\rho (A)),y=Tr(\rho (B)),z=Tr(\rho (C))$ der drei Randkurven $A,B,C$ für die nach $SL(2,\mathbb {R} )$ gehobene Monodromiedarstellung $\rho \colon \pi _{1}H\to PSL(2,\mathbb {R} )$. (Diese seien so orientiert, dass $ABC=1\in \pi _{1}H$.) Mit diesen Koordinaten ist ${\mathcal {F}}(S_{0,3})$ der Quotient von

$(-\infty ,-2)^{3}\bigcup (-\infty ,-2)\times (2,\infty )^{2}\bigcup (2,\infty )\times (-\infty ,-2)\times (2,\infty )\bigcup (2,\infty )^{2}\times (-\infty ,-2)\subset \mathbb {R} ^{3}$

(wobei die 4 Zusammenhangskomponenten durch die unterschiedlichen Hebungen der Monodromiedarstellung von $PSL(2,\mathbb {R} )$ nach $SL(2,\mathbb {R} )$ zustande kommen) unter der Wirkung von $Hom(\pi _{1}H,\pm 1)$, er kann also mit $(-\infty ,-2)^{3}$ identifiziert werden.

Punktierter Torus

Der Fricke-Raum des punktierten Torus $T=S_{1,1}$ wird parametrisiert durch die Spuren $x=Tr(\rho (L)),y=Tr(\rho (M)),z=Tr(\rho (LM))$, wobei $L$ die Longitude und $M$ den Meridian des Torus bezeichnet. Mit diesen Koordinaten ist ${\mathcal {F}}(S_{1,1})$ der Quotient von

$\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz\leq 0\right\}\subset \mathbb {R} ^{3}$

unter der Wirkung von $Hom(\pi _{1}T,\pm 1)$, er kann also mit $\left\{(x,y,z)\in (2,\infty )^{3}\colon x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz\leq 0\right\}$ identifiziert werden.

Literatur

• Fricke-Klein: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen. Band I: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner, Leipzig 1897; Band II: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1912.
• Imayoshi-Taniguchi: An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese by the authors. Springer-Verlag, Tokyo 1992, ISBN 4-431-70088-9, Kapitel 2.5
• Goldman: Trace coordinates on Fricke spaces of some simple hyperbolic surfaces. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, S. 611–684. In: IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 13, Eur. Math. Soc., Zürich 2009, arxiv:0901.1404v1.