Diskussion:Partialbruchzerlegung

Viel zu technisch

Grundsätzlich ist es ja gut wenn Wikipedia Artikeln auch Tiefgang haben. Aber bevor es in die Tiefe geht, sollte das Thema doch erst mal für “Jederman” verständlich dargestellt werden. Ich wollte einfach mein Sohn bei Mathe helfen, und konnte nichts mit dieser Seite anfangen. Bitte erst mal ein einfaches, verständliches Einstiegsbeispiel bevor es in die Tiefe geht!!! --Marci68 (Diskussion) 16:30, 7. Jan. 2022 (CET)

Abkürzung

Mich würde mal interessieren wieso die Abkürzung PZB und nicht PBZ heißt, wenn's jemand weiß darf er es gern in den Artikel schreiben ;)

Ist das eine offizielle Abkürzung? Unser Mathe-Prof sagt PBZ... --92.204.51.141 00:56, 18. Jul. 2009 (CEST)

Ich kenne es nur unter PBZ. PZB habe ich noch nie gelesen oder gehört. (nicht signierter Beitrag von 93.218.97.181 (Diskussion) 14:57, 3. Jul 2013 (CEST))

Berechnung der Koeffizienten mittels Residuenkalkül

Die Koeffizenten der Partialbrüche lassen sich auch über Residuen berechnen. Für n Polstellen gilt allgemein:

$P_{k}={\frac {1}{(n-k)!}}\lim _{s\to s_{0}}{\frac {d^{(n-k)}}{ds^{(n-k)}}}[F(s)\cdot (s-s_{0})^{n}],\quad k=1...n$

Bei einfachen Polstellen lässt lässt sich vereinfacht schreiben:

$P_{0}=\lim _{s\to s_{0}}[F(s)\cdot (s-s_{0})]$

Diesen Teil habe ich aus dem Artikel ausgelagert, da er von der Notation her mit dem aktuellen Artikel gar nichts zu tun hat. Bitte verbessern, mit Literatur belegen und dann wieder einstellen. --P. Birken 08:48, 7. Mär. 2008 (CET)

Fehler!

(x − 1)(x + 1) ≠ x^2 + 1

(x − i)(x + i) = x^2 - 1

Den Fehler kann ich im Artikel nicht finden. Da Ostern vorbei ist, wo solls denn genau sein? --P. Birken 18:36, 26. Mär. 2008 (CET)

Im Abschnitt "Beispiele", Bsp. 2, ist $2-1=-1$. Bitte korrigieren. -- 130.149.210.174 09:01, 19. Nov. 2009 (CET)

Da steht -2+1=-1? --P. Birken 09:13, 19. Nov. 2009 (CET)

Beispiel 3 - Gebrochen rationale Funktion mit komplexer Nullstelle

Mir wird nicht klar, wie man zu dem Ansatz kommt. Vielleicht kann ja noch mehr erläutert werden wie insbesondere die 5 als Koeffizient vor x^2 zustande kommt. Meiner Meinung nach ist da ein Fehler, vielleicht irre ich mich aber auch einfach nur. Nach einiger Überlegung bin ich mir sogar ziemlich sicher, dass Beispiel 3 fehlerhaft ist, in sofern, dass nach "Ansatz:" auf einmal mit einem anderen Polynom weitergerechnet wird. Bitte prüfen. --Georg 23:13, 12. Juni 2008 (CET)

Ja da hat die 5 gefehlt, ansonsten könnte man auch noch den Ansatz ${\frac {5x^{2}+2x+1}{x^{3}+x}}={\frac {a_{1}}{x}}+{\frac {a_{2}}{x+i}}+{\frac {a_{3}}{x-i}}$ verwenden, was aber die Rechnung komplizierter machen würde, da man dann mit komplexen Zahlen rechnen müsste. Schönen Gruß "Wohingenau" 17:09, 22. Jun. 2008 (CEST)

komplexe Polynome

Mir ist nicht klar, wieso p(z) = p(konjugiert z) = 0 hier angesetzt werden darf, m.W. gilt das nur für reelle Polynome?

77.185.87.105 12:45, 23. Jul. 2008 (CEST)

Stimmt. $P(z)=0\rightarrow P({\overline {z}})=0$ gilt nur für reelle Polynome. Aber eben um die geht es hier. Dass diese komplexe Wurzeln haben können, ist eine andere Sache. -- Peter Steinberg 22:03, 5. Nov. 2008 (CET)

Ungenauigkeiten

In den ersten Abschnitten wird die Sache wohl etwas zu speziell behandelt:

"Jede rationale Funktion $r(x)$ lässt sich als Summe von einem Polynom und von Brüchen der Form ${\frac {a}{(x-b)^{j}}}$ darstellen [...] Die eindeutig bestimmte Darstellung

$r(x)=p(x)+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {a_{i,j}}{(x-x_{i})^{j}}}$

heißt Partialbruchzerlegung von $r(x)$ (Abk. PBZ)."

Und was ist mit den Summanden für etwaige komplexe Nullstellen? Vgl. aus en:WP:

"$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}$"

Werde das bei Gelegenheit mal anpassen. Falls mir jemand die Arbeit abnehmen will, dann bitte. --Berntie 23:42, 18. Sep. 2008 (CEST)

Tut mir leid, Berntie, dass ich jetzt erst wieder in dieses Lemma reinschau. Natürlich hätte ich dir schon viel früher widersprechen sollen:

Nein, in der Fassung vom 14. September ist die Sache nicht zu speziell behandelt, sondern sehr allgemein. Was du offenbar übersehen hast, ist in dem (inzwischen gelöschten) Abschnitt „Zielsetzung“ der Hinweis, dass „die Zahlen b die (…) möglicherweise komplexen Polstellen der Funktion sind“.

Damit ist die gegebene Definition völlig in Ordnung, die Formeln bleiben einigermaßen einfach, und der Leser hat eine Chance, das Prinzip ohne große Mühe zu durchschauen. Kompliziert wird es ja erst bei der praktischen Durchführung der PZB, weil da dann zwischen reellen und komplexen Polstellen unterschieden werden muss. Das lässt sich aber weiter unten, wie geschehen, schrittweise ganz gut vermitteln.

Mir scheint, wir sollten den Artikel (unter Berücksichtigung der später erfolgten Änderungen) wieder der Version von Mitte September annähern. Was meinst du?

-- Peter Steinberg 00:25, 4. Nov. 2008 (CET)

Werde mir die Sache mal durch den Kopf gehen lassen. Es ist mir leider auch in der jetzigen Version ein Fehler unterlaufen: "für jede rationale Funktion $R$ mit den $m$ verschiedenen Polstellen" stimmt nicht; das Restpolynom $R^{\ast }$ hat $m$ Pollstellen. Mir ist aber bisher auch keine ordentliche Formulierung dafür eingefallen. Auf meiner TODO-Liste stehen sowieso noch ein paar andere Punkte zur PBZ. Werde mir mal Gedanken über das alles machen, wenn ich mal ein bißchen Zeit habe. --Berntie^Disk. 11:49, 4. Nov. 2008 (CET)

Vielleicht kann man einen Teil der alten Darstellung als eine Art Einführung vorausstellen (und deutlicher darauf hinweisen, dass es nur durch die Verwendung komplexer Zahlen so einfach geht). Ich mach da nächstens mal einen Vorschlag.

Deine Bedenken wegen der Zahl der Polstellen versteh ich nicht. Da $P$ ein Polynom ist (und natürlich nicht, wie da irrtümlich stand, die Restfunktion $R^{\ast }$ – Ich hab das eben korrigiert.) hat $R$ natürlich die selben Polstellen wie $R^{\ast }$.

-- Peter Steinberg

Was die Polstellen betrifft: Hast natürlich recht, da hab ich mich vertan (ich hab an Nullstellen gedacht). Wenn man sich zu sehr den Kopf über sowas zerbricht, dann wird man offensichtlich weich in der Birne. :-)

Über den Rest bei Gelegenheit mehr. Was mir jedenfalls an der alten Version so nicht gefällt, sind die Konstanten $a_{i,j}$ im Zähler. Bei komplexen $x_{i}$ braucht's dort lineare Funktionen. --Berntie^Disk. 14:45, 4. Nov. 2008 (CET)

Nicht unbedingt, wenn man eine komplexe Nullstelle und die zugehörige konjugiert-komplexe als verschieden ansieht und für die $a_{ij}$ auch komplexe Zahlen zulässt. So ist z.B. ${\frac {1}{x^{2}+1}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {i}{x+i}}+{\frac {-i}{x-i}}\right)$. Klar, kein Mensch rechnet so, aber für das grundsätzliche Verständnis dessen, was ein Partialbruch ist, ist das schon nützlich. -- Peter Steinberg 21:26, 5. Nov. 2008 (CET)

Nun hab ich mal einen solchen „Vorspann“ geschrieben. Richtig ist er (im Großen und Ganzen) sicher. Ich hoffe, du findest ihn auch nützlich. Ein paar weitere Kleinigkeiten hab ich auch geändert. Es bleibt aber noch einiges zu tun. Zum Beispiel tauchen im Abschnitt „Ansatz“ ziemlich unmotiviert nochmal komplexe Zahlen auf.

-- Peter Steinberg 23:35, 5. Nov. 2008 (CET)

Überzeugt bin ich nicht, aber wie gesagt, ich muss mir mal etwas mehr Zeit dafür nehmen. To be continued... --Berntie^Disk. 18:50, 6. Nov. 2008 (CET)

Abschnitt Grundlage

So, habe mir das jetzt nochmal durchüberlegt: Ich halte besagten Abschnitt noch immer für

1. redundant und
2. in der Allgemeinheit seiner Aussage falsch.

Zuerst zum zweiten, mMn wichtigeren Punkt: Der Zähler $a$ eines Teilbruchs muss nicht konstant sein, wie in diesem Abschnitt behauptet wird. Das ist unabhängig davon, ob $a$ jetzt reell oder komplex ist. Wie soll man z.B. beim 3. Beispiel im Artikel auf einen Konstanten Zähler des 2. Teilbruchs kommen?

Falls mir jemand darlegt, dass das geht, würde ich meine Position nochmal überdenken.

Zum Punkt Redundanz: Wirklich jede Aussage (abgesehen von den Behauptungen über die Zähler) in diesem Abschnitt findet sich fast wortwörtlich im Abschnitt über den Hauptsatz. Ich kann keinen Mehrwert in diesem Abschnitt erkennen.

Aus den beiden genannten Gründen bin ich dafür, diesen Abschnitt zu löschen.

Sinnvolle Ergänzungen zum Artikel wären mMn

• der Beweis des Hauptsatzes (ich kenne leider keinen und Google findet auch nichts)
• die Erwähnung der Grenzwertmethode und des Einsetzens spezieller Werte bei der Koeffizientenbestimmung (mache ich bei Gelegenheit mal, wenn sich sonst niemand darum kümmert)
• Der Abschnitt über die Laurentreihen ist so kurz, dass ich das gerne in irgendeinen anderen Abschnitt einbauen würde. Passt aber leider nirgends so recht dazu. Der Anwendungsabschnitt ist auch sehr kurz, ich weiß aber nicht so recht, wo man das hinverschieben könnte. In die Einleitung kann man ihn jedenfalls nicht reintun, da auf Partialbrüche verwiesen wird, und die werden erst im Abschnitt über den Hauptsatz erklärt.

--Berntie^Disk. 13:28, 15. Nov. 2008 (CET)

Zum 3. Beispiel: Ganz einfach: ${\frac {5x^{2}+2x+1}{x^{3}+x}}={\frac {1}{x}}+{\frac {2-i}{x-i}}+{\frac {2+i}{x+i}}$; das ist doch gerade das Schöne an den komplexen Zahlen: Es fallen alle Sonderfälle weg, die sich daraus ergeben, dass nicht jede Zahl eine Wurzel hat (und nicht jede Gleichung vom Grade n genau n Wurzeln). Und deshalb finde ich immer noch, dass die Polynome über $\mathbb {C}$ für eine Grundlegung gut geeignet sind. -- Peter Steinberg 01:25, 27. Nov. 2008 (CET)

Ok, jetzt ist mir klar, was ich übersehen habe: Die konjugierte komplexe Nullstelle wird als separater Bruch angegeben. Da ändert sich natürlich dann auch der Nenner. Bleibt mein zweiter Einwand: die Redundanz. In der Form, wie der Absatz war, halte ich ihn trotzdem immer noch für zuviel.

Ich würde vorschlagen, wir ergänzen den Abschnitt über den Hauptsatz um ein paar Sätze über diese Darstellungsform. Wäre dir das recht?

Kannst gern selber mal was anfangen; mir fällt es eh leichter, die Arbeit anderer zu verpfuschen. :-) Wenn ich was anfangen soll, dann dauert's ein bißchen. --Berntie^Disk. 05:51, 27. Nov. 2008 (CET)

Nachtrag: Habe jetzt mal versucht, das ganze allgemein nachzurechnen, also auch für mehrfache komplexe Polstellen (zB $x^{4}+1=0$ im Nenner) bin aber auf keinen grünen Zweig gekommen. Wie funktioniert denn das? Wäre vielleicht sogar gut, diesen Rechenweg im Artikel einzubauen. --Berntie^Disk. 06:46, 27. Nov. 2008 (CET)

Das liegt vielleicht daran, dass $x^{4}+1=0$ keine mehrfache Nullstelle hat. Das Zeichen ${\sqrt[{4}]{-1}}$ stellt vier wohlunterschiedene komplexe Zahlen $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ dar. Mit dem Ansatz ${\frac {1}{x^{4}+1}}={\frac {a}{x-z_{1}}}+{\frac {b}{x-z_{2}}}+{\frac {c}{x-z_{3}}}+{\frac {d}{x-z_{4}}}$ kommt man durch. Wenn es dir nicht glückt, mach ich's nächstens mal selbst.
Doppelte komplexe Nullstellen hat z.B. $x^{4}+2x^{2}+1$ -- Peter Steinberg 01:22, 3. Dez. 2008 (CET)

Jaja, es war eine lange Nacht, nach der ich das geschrieben hab... ;-) Werde demnächst nochmal einen Versuch starten. --Berntie^Disk. 01:40, 3. Dez. 2008 (CET)

Also schön, die Sache geht so: Statt ${\frac {1}{x^{4}+1}}$ verwende ich ${\frac {16}{x^{4}+4}}$, das erspart mir ein paar Dutzend Brüche und Wurzelzeichen.

$x^{4}+4$ hat die vier Nullstellen $i\pm 1$ und $-i\pm 1$. Es ist also $x^{4}+4=(x+i+1)(x+i-1)(x-i+1)(x-i-1)$. Der Ansatz ${\frac {16}{x^{4}+4}}={\frac {a}{x+i+1}}+{\frac {b}{x+i-1}}+{\frac {c}{x-i+1}}+{\frac {d}{x-i-1}}$ gibt also durch Multiplizieren mit $x^{4}+4$:

$a(x+i-1)(x-i+1)(x-i-1)+b(x+i+1)(x-i+1)(x-i-1)+c(x+i+1)(x+i-1)(x-i-1)+d(x+i+1)(x+i-1)(x-i+1)=16$. Wenn man das ausmultipliziert und vernünftig wieder ausklammert, wird es

$(a+b+c+d)x^{3}-(i+1)(a+ib-ic-d)x^{2}+2i(a-b-c+d)x+2(i+1)(-ia-b+c+id)=16$.

Rechnet man noch ${\frac {8}{i+1}}=-4i+4$, so erhält man durch Koeffizientenvergleich für die Unbekannten $a,b,c,d$ das Gleichungssystem

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-i&-1\\1&-1&-1&1\\-i&-1&1&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-4i+4\end{pmatrix}}$ mit der Lösung $a=i+1,\ b=i-1,\ c=-i+1,\ d=-i-1$.

Es ist also

${\frac {16}{x^{4}+4}}={\frac {i+1}{x+i+1}}+{\frac {i-1}{x+i-1}}-{\frac {i-1}{x-i+1}}-{\frac {i+1}{x-i-1}}$.

Du siehst, es geht ohne x im Zähler, und es wird sehr übersichtlich. -- Peter Steinberg 19:46, 12. Dez. 2008 (CET)

Auch auf die Gefahr hin, dich zu erzürnen, aber das war eigentlich nicht notwendig… Ich wäre eigentlich an einem Beleg oder Beweis für die allgemeine Aussage für eine $k_{i}$-fache komplexe Nullstelle $z_{i}$ interessiert:

$\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {b_{ir}x+c_{ir}}{(x-z_{i})^{r}(x-{\overline {z}}_{i})^{r}}}{\stackrel {?}{=}}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {d_{ir}}{(x-z_{i})^{r}}}+{\frac {e_{ir}}{(x-{\overline {z}}_{i})^{r}}}$

Du brauchst das auch nicht hier vorrechnen; wenn du ein Buch o.ä. kennst, in dem das drinsteht, dann reicht mir das auch. --Berntie^Disk. 16:39, 14. Dez. 2008 (CET)

Als ich dabei war, das obige Beispiel durchzurechnen, kam mein Sohn vorbei. Er ist Mathematikstudent und hält Rechnen für die verachtenswerteste Tätigkeit auf der Welt. Er fragte mich, was ich da mache, und ich sagte es ihm. "So," sagte er mit bösem Lächeln, "und wenn du ihm das für x⁴+4 vorrechnest, glaubt er dir, dass das immer geht?" – "Aber natürlich," antwortete ich ihm selbstbewusst, "dann sieht er doch, wie das Verfahren geht!" – Da bin ich wohl reingefallen.

Aber natürlich habt ihr (mein Sohn und Berntie) Recht. Ein Beispiel ist kein Beweis. Was fehlt nun eigentlich? – Es fehlt der Beweis, dass das vorgeführte Verfahren immer zum Ziel führt, dass also die auftretende Matrix niemals singulär sein kann. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass für den Quotienten aus zwei Polynomen über $\mathbb {C}$ immer eine Partialbruchzerlegung mit Komponenten der Form ${\frac {a}{(x-z)^{k}}}$ existiert, wobei z die Nullstellen der Nennerfunktion sind und k eine natürliche Zahlen ≤ der Vielfachheit von z ist. Dies steht zum Beispiel im Bronstein, 6. Auflage (1966) auf S.110 in einer Fußnote. Zugegeben, der Beleg ist etwas alt, aber ich denke nicht, dass sich da was geändert hat.

Der von dir gewünschte Nachweis ergibt sich daraus sofort, wenn man die bekannte Tatsache verwendet, dass bei Polynomen über $\mathbb {R}$ mit $z$ stets auch ${\overline {z}}$ Nullstelle ist.

Falls du aber weiterhin von dem (komplizierteren) reellen Fall ausgehen willst: Ich nehme an, dass das, was du bewiesen haben willst, sogar für jeden einzelnen Summanden gilt, dass also, wenn b und c reell, z komplex und r eine natürliche Zahl sind, es komplexe Zahlen d und e gibt, sodass für alle reellen Zahlen x ${\frac {bx+c}{(x-z)^{r}(x-{\overline {z}})^{r}}}={\frac {d}{(x-z)^{r}}}+{\frac {e}{(x-{\overline {z}})^{r}}}$ gilt. Ich habe einen Anlauf gemacht, dies durchzurechnen. Es wurde aber doch recht unübersichtlich, und da hab ich mich auf die Weisheit meines Sohnes besonnen: Rechnen ist meistens (und jedenfalls hier) überflüssig.

Was ich mir nach wie vor wünsche, ist dein Einverständnis, bei der Darstellung der Partialbruchzerlegung von den einfachen Gegebenheiten in $\mathbb {C}$ auszugehen.

-- Peter Steinberg 01:19, 21. Dez. 2008 (CET)

P.S.: Ich fahre jetz in Urlaub und bin erst Mitte Januar wieder da. -- Peter Steinberg 01:22, 21. Dez. 2008 (CET)

Na dann schönen Urlaub! Und mein Einverständnis hast du grundsätzlich (hab ich ja weiter oben schon geschrieben) – solange im Text auch ordentlich beschrieben wird, welche Implikationen die Darstellungsweisen mit sich bringen (reelle oder komplexe Konstanten etc.). Aber ich denke, das machen wir nächstes Jahr. Grüße --Berntie^Disk. 13:08, 21. Dez. 2008 (CET)

Nun hab ich also den Abschnitt "Grundlagen" wieder eingefügt. Ich hoffe, er entspricht den Anforderungen. -- Peter Steinberg 23:28, 8. Jan. 2009 (CET)

Habe die beiden Abschnitte zusammengeführt und 2-3 Kleinigkeiten ergänzt. Geh bitte drüber, und prüfe, dass ich keine Fehler gemacht habe. --Berntie^Disk. 03:20, 9. Jan. 2009 (CET)

Nun jaaaaaaa… – Mit deiner Änderung hast du natürlich mein Grundanliegen durchkreuzt. Es besteht ja nicht darin, die Leser einer Enzyklopädie(!), die in ihrer Mehrzahl mit Σ-Zeichen nicht sehr vertraut sind, in diesem schwierigen Bereich auch noch mit komplexen Zahlen zu belästigen. Vielmehr wollte ich die formal viel einfacheren Verhältnisse im Komplexen benutzen, um erst mal "ohne Σ" (dieses Zeichen meine ich hier nur als Symbol für unübersichtliche mathematische Schreibweisen) verständlich zu machen, worum es eigentlich geht. Was hast du dagegen? Die Unterscheidung von reellen und komplexem Polstellen, wobei es bei den komplexen auch noch konjugiert-komplexe gibt, ist doch eigentlich ganz nebensächlich – es sei denn, man will zum Schluss konkret was rechnen. -- Peter Steinberg 23:48, 10. Jan. 2009 (CET)

Wie ganz oben schon geschrieben: Das ist mir inhaltlich und teilweise auch in der Wortwahl zu redundant. Der Unterschied zwischen dem Grundlagen- und dem Hauptsatz Abschnitt besteht praktisch nur darin, dass im ersten das Wort "Summe" ausgeschrieben ist und im zweiten das Summenzeichen verwendet wird.

Außerdem habe ich Bauchweh dabei, wenn man sich zuerst auf die "Brüche der Form ${\tfrac {a}{(x-x_{i})^{j}}}$" beschränkt. Ich denke dann immer: Jaaaaa, aber nur wenn man komplexe Zähler zulassen will! Ich bezweifle, dass der unbedarfte Leser, an den du dich richten willst, das so erkennt. Auch ich habe das am Anfang nicht erkannt, weil ich auf der Uni nur mit der reellen Variante in Berührung gekommen bin. Es wird nachher zwar der Hauptsatz in beiden Varianten exakt wiedergegeben, aber um den zu verstehen, muss der Leser sowieso wieder das Summenzeichen kennen. Und würde man die Darstellung mit reellen Zählern auch unter "Grundlage" einführen und/oder auf die Unterscheidung reelle/komplexe Zähler eingehen, so wäre das alles dann noch redundanter.

Ich kann nachvollziehen, dass du den Leser nicht gleich mit dem Summenzeichen erschlagen willst, allerdings sehe ich keine Möglichkeit das zu beheben, ohne dass man a)das Bauchweh und b)die Redundanz in Kauf nimmt. Ich möchte das eigentlich nicht, weil der Leser, wenn er den Artikel vollständig verstehen will, das Summenzeichen einfach kennen muss. Oder fällt dir dazu vielleicht eine elegante Lösung ein? --Berntie^Disk. 01:59, 11. Jan. 2009 (CET)

Bitte nimm mirs nicht übel, aber ich finde deinen Ansatz für Laien unnötig kompliziert, weil er mathematisch nicht genügend durchdacht ist. Polynome gibt es schließlich über jedem Körper, und Partialbruchzerlegungen folglich auch. Wenn du immer gleich an reelle Zahlen denkst, dann wahrscheinlich deshalb, weil du die Partialbruchzerlegung in einer Vorlesung über angewandte Mathematik kennengelernt hast. Dort gehört sie ja auch hin. (Ich meine immer noch, dass im ersten Satz besser von einem „Verfahren“ gesprochen werden sollte, statt von einer „Möglichkeit“.) Trotzdem: Als Mathematiker sollten wir uns klar machen, das das alles weder von reellen noch mit komplexen Zahlen abhängt.

Dem „unbedarften Leser“ (ich sagen lieber: dem interessierten Laien) sind all diese Körper-Probleme auch wurst. Wenn er hier reinschaut, hat er wahrscheinlich was davon gehört, dass man rationale Funktionen standardisieren kann, und ihn interessiert, wieso. Das erklärt man ihm am einfachsten mal anhand eines Körpers, der in Bezug auf die Nullstellen seiner Polynome abgeschlossen ist - also an C. Von C zu reden ist dabei nicht nötig. Das Wichtigste hat er dann ohnehin verstanden.

Wenn er (oder der zweite mögliche Leser, der praktische Mathematiker, der bei wikipedia nach Lösungsverfahren sucht) wissen will, wie das nun genau geht, muss man ihm sagen, dass bei reellen Zahlen, die er wahrscheinlich im Blick hat, wegen der Unabgeschlossenheit eine Menge Probleme auftauchen. Welcher Art diese Probleme sind, kann man sicher auch noch ohne Σ-Zeichen erklären. Wie der Hauptsatz jetzt hingeknallt wird, finde ich immer noch unmotiviert. Ich denke weiter darüber nach, wenn ich höre, dass die Marschrichtung dir einleuchtet.

--Peter Steinberg 00:15, 13. Jan. 2009 (CET)

P.S.: Wg. Redundanz: Diese finde ich, wenn man verständlich bleiben will, bis zu einem gewissen Grade unerlässlich. Ich spreche dann lieber von Paraphrase. --Peter Steinberg 00:15, 13. Jan. 2009 (CET)

"weil er mathematisch nicht genügend durchdacht ist Polynome gibt es schließlich über jedem Körper" Du sagst selber, dass dem interessierten Laien (oder wie auch immer man das Zielpublikum bezeichnen will) Körperprobleme egal sind. Ich bin der Meinung, dass der Leser doch am ehesten an reelle Zahlen denkt, und es auch gewohnt, dass mathematische Konzepte (insbesondere wenn man sich an interessierte Laien wendet) zuerst speziell eingeführt und erst dann verallgemeinert werden.

"Das erklärt man ihm am einfachsten mal anhand eines Körpers, der in Bezug auf die Nullstellen seiner Polynome abgeschlossen ist" Das sehe ich anders, denn derartige Körper sind dem interessierten Laien vorher möglicherweise noch nie begegnet. Ich habe nichts dagegen, wenn der Artikel die PBZ so allgemein – und damit abstrakt – wie möglich behandelt (habe aber keine Intentionen, den Artikel diesbezüglich auszubauen), aber bitte nicht am Anfang.

Was dem interessierten Laien sicher schon begegnet ist, sind reelle Zahlen. Und die sind leider nicht algebraisch abgeschlossen. Könntest du mit einem Grundlagenabschnitt leben, der mit reellwertigen Funktionen beginnt, aber auf die Vereinfachungen bei algebraischer Abgeschlossenheit hinweist? Wir könnten versuchen, sowas in etwas anderen Worten als den Hauptsatzabschnitt zu formulieren.

Gegen "Verfahren" statt "Möglichkeit" in der Einleitung habe ich grundsätzlich nichts; sprachlich wäre halt etwas Abwechslung schön, und von "Verfahren" ist im Artikel schon häufig die Rede. --Berntie^Disk. 22:25, 13. Jan. 2009 (CET)

„derartige [algebraisch abgeschlossene] Körper sind dem interessierten Laien vorher möglicherweise noch nie begegnet“ - Ganz sicher nicht, wenn ihm überhaupt schon Körper "begegnet" sind. Er kennt die rationalen Zahlen. Wenn er sich mit Körpergesetzen befassen würde, käm er vielleicht drauf, dass die für die rationalen Zahlen zutreffen. - „Was dem interessierten Laien sicher schon begegnet ist, sind reelle Zahlen.“ - Vermutlich π und √2. Die bilden noch keinen Körper. Übrigens: √-1 ist ihm mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auch schon begegnet.

Ich finde es verheerend, wenn mathematische Artikel am Anfang ihren Gegenstand „so allgemein – und damit abstrakt – wie möglich behandel“n. Wikipedia ist voll von abschreckenden Beispielen dafür.

Was ich möchte, ist doch was ganz anderes: Ich möchte klar machen, dass der Grundgedanke der PBZ darin besteht, die rationale Funktion anhand der Nullstellen des Nenners in Summanden zu zerlegen. Das soll der „interessierte Laie“ erst mal verstehen - und wahrscheinlich reicht ihm das schon. Von reellen oder komplexen Zahlen muss da gar keine Rede sein. Wer weiter liest muss natürlich erfahren, dass es bei den reellen Zahlen Schwierigkeiten gibt, weil diese Nullstellen nicht notwendig wieder reell sind. - Lies doch bitte unter diesem Gesichtspunkt meinen Vorschlag noch mal durch. Ich finde, er ist gut verständlich, und kein Wort daran ist mathematisch falsch.

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Natürlich frag ich mich auch, ob die Energie, mit der wir hier diskutieren, eigentlich gerechtfertigt ist. Ich finde den Artikel so, wie er jetzt ist, auch nicht schlimmer als zahlreiche andere, ziemlich unverständliche Artikel. Und ich bin mir nicht sicher, ob meine Versuche, ihn verständlicher zu machen, vom „interessierten Laien“ wirklich goutiert würden.

„Könntest du mit einem Grundlagenabschnitt leben, der mit reellwertigen Funktionen beginnt, aber auf die Vereinfachungen bei algebraischer Abgeschlossenheit hinweist? Wir könnten versuchen, sowas in etwas anderen Worten als den Hauptsatzabschnitt zu formulieren.“ – Leben könnte ich sogar ohne einen Artikel PBZ. Aber du hast da offenbar eine Lösung im Sinn. Lass doch mal sehen.

-- Peter Steinberg 01:58, 14. Jan. 2009 (CET)

• "Ich finde es verheerend, wenn mathematische Artikel am Anfang ihren Gegenstand ‚so allgemein – und damit abstrakt – wie möglich behandel‘n. Wikipedia ist voll von abschreckenden Beispielen dafür." Offensichtlich habe ich mich missverständlich ausgedrückt. Ich bin nämlich genau deiner Meinung. ;-)
• "kein Wort daran ist mathematisch falsch." Habe ich auch nicht behauptet. Aber dass er nicht falsch ist, erkauft er durch den Verzicht auf exakte Angaben zum Zahlbereich der Zähler. Und durch diesen Verzicht kann er – meiner Meinung nach – zu falschen Schlüssen verleiten.

--Berntie^Disk. 00:19, 17. Jan. 2009 (CET)

Versuch

Hier mal ein Formulierungsversuch:

Ihm liegt die Tatsache zugrunde, dass jede reellwertige rationale Funktion als Summe von einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

• ${\frac {a}{(x-x_{i})^{j}}}$ und
• ${\frac {bx+c}{(x-x_{i})^{j}(x-{\overline {x_{i}}})^{j}}}$

dargestellt werden kann. Die $x_{i}$ sind dabei die – im letzteren Fall komplexen – Polstellen der Funktion.

Eine Darstellung ist auch nur mit Brüchen der ersten Form möglich. Dann sind die Zähler möglicherweise nichtmehr aus dem Wertebereich der zerlegten Funktion, sondern beispielsweise wie die Polstellen komplexe Zahlen.

Weitere Erläuterungen (zu den Exponenten, Konstanten im Zähler etc.) würde ich mir an dieser Stelle dann aber sparen. Und auf einen eigenen Abschnitt dafür würde ich auch verzichten; ein Absatz nach dem Einleitungssatz reicht mMn.

Anmerkungen? Korrekturen? Verbesserungsvorschläge? --Berntie^Disk. 00:19, 17. Jan. 2009 (CET)

Sehr viel besser. Mit ein paar Änderungen könnte ich damit „leben“. Trotzdem noch ein letzter Versuch: Warum in alles in der Welt müssen wir schon im ersten Satz von „reelwertigen“ Funktionen reden? Nicht aus mathematischen Gründe: PBZ gibt es für Polynome über jedem Schiefkörper (Mein Sohn meint, sogar für noch weitere Ringe.) Und auch nicht aus Gründen der Verständlichkeit: Den interessierten Laien geht es zunächst mal um das Verfahren, und nicht um die Frage nach seinem Gültigkeitsbereich. Es reicht doch, wenn wir im zweiten Satz darauf hinweisen, dass bei reellen Zahlen (und anderen algebraisch nicht abgeschlossenen Körpern) besondere Schwierigkeiten auftauchen.

„Weitere Erläuterungen (zu den Exponenten, Konstanten im Zähler etc.) würde ich mir an dieser Stelle dann aber sparen.“: Eigentlich finde ich es schön nötig, dort, wo man ein j hinschreibt, auch zu sagen, was es darstellt. Wo sollte das denn deiner Ansicht nach nachgeholt werden?

Naja, 2 Gegenfragen:

• Warum hast du in dieser Version von "komplexen Nullstellen" gesprochen?

Da sehe ich keinen inhaltlichen Unterschied zu meiner neuen Formulierung. Da steht doch auch: „…dass man jede komplexe Nullstelle…“ -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

Inwiefern das meine (bzw. eigentlich deine) Frage beantwortet, kann ich nicht erkennen. --Berntie^Disk. 18:50, 24. Jan. 2009 (CET)

• Warum macht es dir im Gegensatz zu den Exponenten nichts aus, den Wertebereich der Zähler der Partialbrüche wegzulassen?

Wenn man über Polynome spricht, liegt es auf der Hand, dass in erster Linie Variablen für Elemente des zu Grunde liegenden Ringes vorkommen. Der Leser wird also, wenn er den reellen Fall im Auge hat, a, b und c als Variablen für reelle Zahlen, wenn er sich dem Thema ausnahmsweise vom Komplexen her nähert, für komplexe Zahlen ansehen. i betrachtet er nach weithin geltenden Konventionen als natürliche Zahl. Es wird ja auch gleich gesagt, dass x_i die (n) Nullstellen sind. Dass j etwas mit der Vielfachheit der Nullstellen zu tun hat, kann aber keiner ahnen. -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

MMn reicht es, wenn man den Zusammenhang zwischen dem Exponenten und der Vielfachheit erst später herausstreicht. Wenn wir den Abschnitt "Grundlage" einbauen, dann mMn dazu, um die grundlegende Form der Partialbrüche zu erklären. Dazu braucht man nicht unbedingt genauer auf den Exponenten eingehen. --Berntie^Disk. 18:50, 24. Jan. 2009 (CET)

Du sagst doch selber, dass es am Artikelanfang nicht unbedingt sinnvoll ist, sich zu allgemein zu halten. Deine Vorschläge waren bisher immer allgemeiner gehalten. Und das konntest du nur, weil du auf die Angabe des Wertebereichs der Zähler verzichtet hast.…

Ich halte mich ja auch nicht allgemein, sondern eher unbestimmt, indem ich bestimmte Probleme (nämlich das der algebraischen Abgeschlossenheit) nicht gleich anspreche. -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

…Dadurch, bin ich der Meinung, kann der Leser dazu verleitet werden, bei den von mir immer noch als Standardfall angesehenen reellwertigen Funktionen auch reellwertige Zähler anzunehmen. Und das ist natürlich nicht richtig. (Sprich: Ich denke schon, dass der Gültigkeitsbereich des Verfahrens für den Leser von Belang ist.)

…und das wird ihm ja auch gleich im folgenden Satz mitgeteilt! -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

Ja, mit dem Vorschlag unten kommen wir hoffentlich auf einen grünen Zweig. :-) --Berntie^Disk. 18:50, 24. Jan. 2009 (CET)

Folglich würde ich mich am Anfang auf diesen Spezialfall beschränken, und erst dann verallgemeinern. Du sagst doch selber auch, dass es am Artikelanfang nicht unbedingt sinnvoll ist, sich so allgemein zu halten??…

Ok., wenn wir mit einem Spezialfall beginnen wollen, dann müsste das aber in diesem Fall eigentlich der Spezialfall der komplexen Zahlen sein, denn nur bei algebraisch abgeschlossenen Körpern ist das Verfahren so übersichtlich, dass auch der interessierte Laie erkennen kann, worum es geht; und die reellen Zahlen sind nun mal der einzige algebraisch abgeschlossene Körper, der noch irgendeinem Laien bekannt ist. -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

Von mir aus kann der Artikel auch auf rationale Funktionen über irgendwelchen Ringen eingehen, aber doch nicht am Anfang.

Unbedingt richtig. Ich rede aber auch nirgends von Ringen oder Körpern. -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

Ich editiere mal deinen Gegenvorschlag. Sonst wird das alles zu lang. --Berntie^Disk. 19:40, 19. Jan. 2009 (CET)

…und ich schreib mal zwischen deinen Text. Aber dass deutlich bleibt, wer was wann geschrieben hat, finde ich schon nötig. -- Peter Steinberg 23:26, 20. Jan. 2009 (CET)

Gegenvorschlag

Ihm liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe von einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

${\frac {a}{(x-x_{i})^{j}}}$

dargestellt werden kann. Dabei sind die $x_{i}$ die Polstellen der Funktion und der Exponent $j$ eine natürliche Zahl.

Hier stand vorher: „…und $j$ sind natürliche Zahlen, die kleiner oder gleich der Vielfachheit der Polstelle $x_{i}$ sind.“ - j an dieser Stelle als Exponent zu bezeichnen, finde ich eine gute Idee. Dass j aber von 1 bis zur Viefachheit der Nullstelle läuft, ist doch eine der Grundlagen des Verfahrens. Warum soll es hier verschwiegen werden?

Von oben: MMn reicht es, wenn man den Zusammenhang zwischen dem Exponenten und der Vielfachheit erst später herausstreicht. Wenn wir den Abschnitt "Grundlage" einbauen, dann mMn dazu, um die grundlegende Form der Partialbrüche zu erklären. Dazu braucht man nicht unbedingt genauer auf den Exponenten eingehen. Ich möchte diesen Abschnitt möglichst kurz halten. --Berntie^Disk. 19:21, 24. Jan. 2009 (CET)

Weiter stand hier: „Sind die Polstellen (also die Nullstellen der Nennerfunktion) bekannt, so ist das Bestimmen der Zahlen $a$ die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.“ - Du schlägst vor, diesen Satz weiter hinten anzubringen. Warum eigentlich? - Hier klärt er doch abschließend und übersichtlich, worum es bei der Partialbruchzerlegung eigentlich geht.

Nun, ich meine, hinten ist er wegen der Gliederung besser aufgehoben: Zuerst wird die "Grundlage des Verfahrens" (inklusive spezifischer Eigenheiten mit reellen Zahlen) erläutert, erst dann kommt die "Aufgabe" beim Verfahren (besagter Satz). --Berntie^Disk. 19:21, 24. Jan. 2009 (CET)

Auf die zusätzlichen Schwierigkeiten bei reellen Zahlen kommen wir nun:

Bei reellwertigen Funktionen tritt allerdings die Schwierigkeit auf, dass ihre Polstellen und die Zähler obiger Brüche nichtmehr im Reellen liegen müssen, denn die rellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Häufig versucht man aber, möglichst ohne komplexe Zahlen auskommen.

Da stand vorher „Bei reellwertigen Funktionen tritt allerdings die Schwierigkeit auf, dass die Polstellen nicht im Reellen liegen müssen, denn die rellen Zahlen sind algebraisch nicht abgeschlossen. In der Regel will man das Rechnen mit komplexen Zahlen vermeiden…“ - Die Änderung finde ich positiv. -- Peter Steinberg 12:46, 21. Jan. 2009 (CET)

Dann ersetzt man bei jeder komplexen Nullstelle $z_{i}$ obigen Bruch durch ${\frac {bx+c}{(x-z_{i})^{j}(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}$

Vorher stand hier: „Dies ist dadurch möglich, dass man für jede komplexe Nullstelle $z_{i}$ und ihre konjugiert komplexe ${\overline {z_{i}}}$…“. - Du willst die konjugiert-komplexen an dieser Stelle rauslassen. Das hat aber zur Folge, dass sie nun wieder eigenständige Nullstellen sind, die einen eigenen Term ${\frac {bx+c}{(x-{\overline {z_{i}}})^{j}(x-{\overline {\overline {z_{i}}}})^{j}}}$ verursachen, der die Rechnung unnötig erschwert. -- Peter Steinberg 12:46, 21. Jan. 2009 (CET)

Ja, das ist nicht optimal. Um genau zu sein, müsste man aber darauf hinweisen, dass a)für jede komplexe Nullstelle ihre konjugiert komplexe notwendigerweise wieder eine Polstelle ist und b)letztere nicht von ersterer nicht unterschieden wird. Das bläht natürlich alles wieder ordentlich auf und macht es nicht unbedingt verständlicher. --Berntie^Disk. 19:21, 24. Jan. 2009 (CET)

Der Zähler dieser Brüche ist dann wieder reellwertig.

Vorher:„Im Nenner dieser Brüche steht eine reellwertige quadratische Form. Zu bestimmen sind nun die reellen Zahlen $a$, $b$ und $c$“ - Was der Leser vielleicht nicht gleich sieht, ist doch, dass der Nenner reellwertig ist und dass hier quadratische Formen auftreten im Gegensatz zu den linearen bei den Brüchen 1. Art. -- Peter Steinberg 12:46, 21. Jan. 2009 (CET)

Ja, aber auch wenn die quadratische Form reell ist, bleiben die Polstellen komplex. In der Regel wird man aber die Polstellen ausrechnen müssen. Und wenn die komplex sind, dann sind sie komplex. Das kann man nicht vermeiden. Im Zähler kann man aber komplexe Zahlen vermeiden.

Ich habe mit dem Gedanken gespielt, die quadratische Form explizit anzugeben $\left(x^{2}+px+q:=(x-z_{i})(x-{\overline {z_{i}}})\right)$, aber auch das bläht wieder auf – und ist dem Verständnis vielleicht sogar eher abträglich. --Berntie^Disk. 19:21, 24. Jan. 2009 (CET)

[Von mir aus dann noch hier den Satz:] Wenn man die Polstellen als bekannt voraussetzt... [Dann sollte man ihn aber aus dem Abschnitt über den Hauptsatz raustun]

Klar, dort muss er dann raus. -- Peter Steinberg 12:46, 21. Jan. 2009 (CET)

Optimal finde ich das zwar nicht. (Was $a$, $b$, $c$ und $x$ genau sind, wird verschwiegen, und außerdem finde ich es komisch, bei der einführenden Erklärung vom Allgemeineren zum Spezielleren zu gehen, beim Satz aber zuerst mit dem Spezielleren anzufangen. Sinnvoller würde es mir umgekehrt erscheinen.) Aber wenn es deine Zustimmung findet, kann man es meinetwegen einbauen. Ist es dir eigentlich jetzt recht, das in einen Absatz in der Einleitung zu schreiben? --Berntie^Disk. 20:08, 19. Jan. 2009 (CET)

Finde ich ok. -- Peter Steinberg 12:46, 21. Jan. 2009 (CET)

Versuch

Um den „gordischen Knoten mit dem Schwerte zu durchschlagen“ habe ich mal einfach eine Version eingesetzt, von der ich meine, dass sie unsere Diskussion ganz gut verarbeitet. (Sonst blickt ja auch niemand mehr durch, was eigentlich mal dort stehen soll.)

Dass das jetzt im Artikelraum steht, muss ja nichts heißen. Anmerkungen? Korrekturen? Verbesserungsvorschläge?

-- Peter Steinberg 00:12, 29. Jan. 2009 (CET)

404 Link

Der Link zur PDF Datei am Ende des Artikels funktioniert nicht. (nicht signierter Beitrag von 79.221.212.189 (Diskussion) 21:08, 9. Okt. 2010 (CEST))

Danke für den Hinweis, ich habe ihn entfernt. --P. Birken 13:05, 10. Okt. 2010 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 21:44, 30. Mär. 2014 (CEST)

Das ist wirklich ein...

... grottenhaft schlechter Artikel. Den Einleitungsabsatz kann man nur zur Kenntnis nehmen (einem Mathematiker sagt das schon was, aber der braucht den Artikel nicht), der Artikel enthält zwar Beispiele, aber der Abschnitt zum Verfahren verzichtet auf die Darstellung am Beispiel usw. usf.

--Shahrzad 21:08, 4. Feb. 2011 (CET)

Ist es möglich, das im Artikel mehrfach Nullstellen und Polstellen verwechselt wurden. Anfangs ist von den x_i Polstellen die reden. Dann wieder von den x_i Nullstellen, abwohl sie unten stehen und daher Polstellen sind. Nullstellen stehen oben. (nicht signierter Beitrag von 93.218.97.181 (Diskussion) 14:57, 3. Jul 2013 (CEST))

Guter Artikel, der die Lücken und Unklarheiten in dem Mathebuch 12. Klasse aufhellt. Scheinbar müssen die Schüler heute nur noch Zahlen in den Taschenrechner eingeben, der macht dann den Rest und spuckt die fertigen Integrale aus (leider nicht als Formel, sondern nur als Flächeninhalt), sodass sich die Autoren auch gleich die Mühe gespart haben, die Partialbruchzerlegung an Beispielen zu erklären. Danke für die drei Rechenbeispiele. Wenn man sie genau nachvollzieht und nicht gleich klagt, dass der Text zu komplex sei, bekommt man die Schablone, um Aufgaben mit anderen Zahlen zu lösen. Einziger Einwand: Ich glaube, der Ansatz für das zweite Beispiel lautet: (2x-1)/(x-1)^2 = A /(x-1) + B /1. Nur dann lassen sich die beiden Brüche auf die Form in der nächsten Zeile erweitern. (nicht signierter Beitrag von 91.57.103.133 (Diskussion) 11:47, 1. Okt. 2015 (CEST))

Polstellen: Nullstellen des Zählers berücksichtigen?

Ich frage mich, warum in den Beispielen die Nullstellen des Zählers an keiner Stelle gegengeprüft werden. Wenn die $x_{i}$ die Polstellen von $R(x)$ sind, dann genügt es doch eigentlich nicht die Nullstellen des Nenners zu berechnen, sondern es muss auch geprüft werden ob diese eventuell mit den Nullstellen des Zählers zusammenfallen. Denn in diesem Fall würde es sich nicht um eine Polstelle handeln und man könnte die entsprechende Nenner-Nullstelle nicht einfach für den Ansatz verwenden. Liege ich damit prinzipiell richtig? --Robert (Diskussion) 19:27, 4. Dez. 2012 (CET)

Okay, also von der Logik her entsprechen zusammenfallende Nullstellen ja nichts anderem als gleichen Termen in Zähler und Nenner. Beispielsweise hat s(s+3)/s(s+5) sowohl im Zähler als auch Nenner die Nullstelle 0. Das s kann man natürlich einfach rauskürzen und dadurch erübrigt sich meine Frage. Fazit: Mein Einwand war berechtigt, aber in der Praxis stellt sich dieses Problem nicht, solange man darauf achtet, den Bruch soweit wie möglich zu vereinfachen. --Robert (Diskussion) 23:57, 18. Dez. 2012 (CET)

Anwendungen der PBZ

Leider wird hier, wie in vielen Büchern, immer nur die Integration erwähnt. Die PBZ ist auch besonders hilfreich bei der Bestimmung der n-ten Ableitung einer rationalen Funktion, etwa bei einer Taylor-Entwicklung. --109.91.158.41 06:56, 3. Jul. 2015 (CEST)

Ein sehr berechtigter Einwand! Oft werden die Dinge nur klischeehaft dargestellt. Die PBZ ist in erster Linie eine besondere Art der Termumformung, deren Vorteile sich unmittelbar bei Integration und Differentiation zeigen. Eine weitere Anwendung liegt in der Summation von Teleskopsummen. Weiter wird sie bei der Laplace-Transformation und z-Transformation verwendet. Ganz wichtig sind auch spezielle Anwendungen: z.B. die Gewinnung der Formel von Moivre-Binet aus der Erzeugenden Funktion der Fibonacci-Zahlen und die Partialbruchzerlegung des Kotangens, welche sich mit dem Herglotz-Trick (Gustav Herglotz) auf besonders schöne Art gewinnen lässt. Ich erinnere noch 2 bis 3 Anwendungen, wo ich aber leider im Moment nicht konkretisieren kann. --Skraemer (Diskussion) 13:50, 23. Jul. 2015 (CEST)

Fehler in Einleitung?

Am Ende der Einleitung steht:

"Statt ${\tfrac {a_{1}}{(x-z_{i})^{j}}}$ und ${\tfrac {a_{2}}{(x-{\overline {z_{i}}})^{j}}}$ verwendet man dann einen Term ${\tfrac {b+cx}{(x^{2}+px+q)^{j}}}$, wobei ${x^{2}+px+q}=(x-z_{i})\cdot (x-{\overline {z_{i}}})$ eine reelle quadratische Form ist und auch $b$ und $c$ reell sind."

Meines Wissens und der Definition in dem verlinkten Artikel nach ist jedoch ${x^{2}+px+q}$ keine quadratische Form. --Landulf Mombert (Diskussion) 23:14, 1. Apr. 2019 (CEST)

Ich hab das mal auf „quadratische Polynom“ geändert. Grüße -- HilberTraum (d, m) 19:45, 2. Apr. 2019 (CEST)