Diskussion:Exponentielles Wachstum

Gesellschaftliche Relevanz

Da das Robert-Koch-Institut in den Tagesthemen von exponentiellem Wachstum spricht, hat das Thema gesellschaftliche Relevanz. Es hat auch ganz konkrete Relevanz, da die Akzeptanz der mathematischen Modelle über die Einhaltung der Maßnahmen durch die Bürger und damit über Anzahl der Corona-Toten entscheidet. Es sollten die wesentlichen Merkmale des exponentiellen Wachstums für Leser ohne Verständnis für Formeln hinreichend für das allgemeine Verständnis beschrieben werden. Ich freue mich, dass Mathematik derart relevant wird, aber dies sollte sich im Artikel widerspiegeln. Davon sind wir weit entfernt. Auch politische Journalisten sollte am Ende verstehen können, warum exponentielles Wachstum bei einer Pandemie Gift ist. --2003:C5:3713:F320:3CA6:C9B8:2C8A:E8D4 22:58, 8. Apr. 2020 (CEST)

Rezeption

Da in Zeiten von Corona dieses Wachstum in aller Munde ist, sollte der Artikel zu Beginn unterschiedlich gebildete Leser erreichen. Eine gewisse klare Verdeutlichung in der Einleitung kann nicht schaden, die zentralen Aspekte hervorzuheben.

Ich finde, der Artikel steigt zu schnell in die Formeln ein. Die Graphik zum Vergleich der verschiedenen Wachstumskurven könnte als Einleitung und verständlichen Abgrenzung zu anderem Wachstum taugen.--Dr Joerg Weule (Diskussion) 20:05, 8. Apr. 2020 (CEST) (Mathematiker)

Die Maßnahmen zu Corona sind nicht ohne die mathematischen Grundlagen verständlich. Die Reproduktionsrate muss unter 1 gesenkt werden. Die Herausforderung des Artikels ist, so allgemeinverständlich zu beginnen, dass man schrittweise in den Formel-Apparat der Mathematik als Beschreibungssprache eingesogen wird. Die Leser sind unterschiedlich gebildet und gegebenenfalls Schüler niedriger Jahrgangsstufen. Wir wollen unser Fach würdig vertreten und Lust auf die Lektüre machen. --Dr Joerg Weule (Diskussion) 20:37, 8. Apr. 2020 (CEST)

Es wird nun hoffentlich direkt klar, was das Robert-Koch-Institut meint, wenn es sagt, das Wachstum der Fallzahlen sei weiterhin exponentiell.--Dr Joerg Weule (Diskussion) 12:27, 9. Apr. 2020 (CEST)

fehler bei umformung

Hallo,

im Artikel ist ein kleiner Fehler: Und zwar bei der Umstellung der Formel nach der Verdopplungszeit.

Da fehlt entweder die Basis e oder es kann gleich "ln" angewandt werden!

Also richtig muss es lauten: T=log "Basis" e 2/L oder: T = ln2/L (nicht signierter Beitrag von 213.211.211.72 (Diskussion) 23:19, 9. Aug 2006)

Stimmt genau. Beim nächsten Mal vielleicht gleich ändern? (nicht signierter Beitrag von 149.217.49.144 (Diskussion) 18:00, 13. Apr 2007)

nur ganzzahlige vielfache

Im Artikel steht:

Für ganze Vielfache der Schrittweite lässt sich ein äquivalenter kontinuierlicher exponentieller Vorgang angeben. Für diesen gilt

$\lambda =\log(1+p).\,$

5 % jährliche Zinsen entsprechen damit beispielsweise einer kontinuierlichen Wachstumsrate von etwa 4,88 Prozent pro Jahr (siehe dazu auch Zinssatz).

Das gilt allgemein, nicht nur fürs ganzzahlige Vielfache einer Schrittweite. --MrBurns 09:38, 14. Mär. 2008 (CET)

vermutlich steht da deswegen "ganze vielfache". ;-) -- seth 09:48, 14. Mär. 2008 (CET)

Definition

Durch die unvollständige Definition enstanden seitens Nichtphysikern oft weit reichende Missverständnisse (z.B. in der traditionellen Glottochronologie). Es wird nicht genügend klar ausgedrückt, dass sich die Wachstums-/Zerfalls-prozente beim

- exponentiellen Wachstum auf den jeweiligen Rest des veränderbaren Materials (z.B. der spaltbaren Isotope) beziehen, beim

- linearen Wachstum jedoch auf den originalen Ausgangswert N(0). Beispiel: Beim Zerfall des Urans (Einzelheiten s. dort) zerfallen in 5730 Jahren die Hälfte der Ausgangsmenge, danach die Hälfte des Restes, also ein Viertel der Ausgangsmenge, u.s.w. Noch klarer wäre, hier nicht mehr mit dem missverständlichen N(0)zu arbeiten, sondern etwa mit N(ti) und N(tj).HJJHolm 09:18, 22. Jul. 2008 (CEST)

Deine Version war sachlich besser, aber imho zu wenig omafähig formuliert. Ich hoffe, die jetzige genügt allen Wünschen. -- Übrigens: neue Diskussionsbeiträge bitte üblicherweise *unten* anfügen. --UvM 11:18, 22. Jul. 2008 (CEST)

Bildunterschrift

"Das Diagramm zeigt, wie exponentielles Wachstum (grün) sowohl lineares (rot) als auch kubisches (blau) Wachstum übertrifft." Man sieht aber auch, dass lineares und kubisches Wachstum ANFANGS schneller ablaufen kann als exponentielles. --109.90.116.217 23:19, 10. Mär. 2010 (CET)

Genau, also ist der TExt falsch und muss verbessert werden. 11:19, 3. Jan. 2011 (CET)

Einleitung

Die Einleitung war bereits wesentlich besser als in en.wiki. Doch nicht zuletzt für mich selber habe ich die Einleitung enzyklopädieangemessener formuliert, also angefangen mit einer allgemeinverständlichen, logischen Definition (was ist das?), erst dann den Verweis zu den mathematischen links, am Schluss die Unterscheidung von anderen Formen (Verwechslungsmöglichkeiten). HJJHolm 11:22, 3. Jan. 2011 (CET)

Zusammenführung

Der Artikel Zerfallsgesetz mit seiner guten Herleitung (die hier fehlt), sollte unbedingt hier eingearbeitet werden. Dann braucht man die Herleitung nur einmal, die Einbettung der Kernphysik ist dann völlig problemlos. Anders sieht es mit dem verwandten Thema "Radioaktiver Zerfall" aus wegen dessen Umfangs und Extension in den Umwelt- un d Medizinbereich.HJJHolm 11:45, 3. Jan. 2011 (CET)

Vielleicht einen externen Link wert?

http://www.albartlett.org/presentations/arithmetic_population_energy_video1.html Das ist ein Vortrag von Prof. Al Bartlett über "Arithmetic, Population and Energy". Sehr anschaulich, wie ich finde! --87.159.46.189 16:44, 9. Mär. 2011 (CET)

algorithmische Beispiele für exponentielles Wachstum

Hi,

ich vermisse hier ein paar algorithmische Beispiele für exponentielles Wachstum. Welche Algorithmen / Probleme haben ein exponentielles Wachstum? Oder ist das hier zu weit vom Thema weg? Siehe auch EXPTIME. --MartinThoma 16:07, 23. Mär. 2011 (CET)

Überarbeitung des Artikels

Hallo, zur Zeit überarbeite und erweitere ich die Mathe-Lemma rund um Wachstum. Diesbezüglich fände ich für Leser eine relativ einheitliche Struktur und Notation innerhalb dieser thematischen Gruppe sehr sinnvoll. Unter Benutzerin:MarianneBirkholz/Werkstatt/Wachstum exp befindet sich derzeit die überarbeitete Fassung. Alle Inhalte des jetzigen Lemmas sind im Wesentlichen erhalten geblieben und wurden nur etwas ergänzt und umsortiert. Falls keine Einwände sind, würde ich dann den aktuellen Artikel durch die Überarbeitung überschreiben. Grüße, --MarianneBirkholz (Diskussion) 09:23, 17. Apr. 2013 (CEST)

Schulbuchdarstellung (in Baden-Württemberg)

Warum wurde meine Anmerkung über die Notation in manchen (Baden-Württembergischen) Schulbüchern gelöscht? Ich gebe zu, das "Umdenken" ist für mathematisch Geschulte trivial, aber für Schüler, die den Sachverhalt des exponentiellen Wachstums "schnell" verstehen wollen, kann dies wichtig sein. Die Notation lautete

$y=b\cdot a^{t}=B(t)=B(0)\cdot a^{t}$

anstatt wie im Artikel

$B(t)=B(0)\cdot b^{t}$

Ich stimme natürlich auch zu, dass man exponentielles Wachstum am besten über die e-Funktion modelliert, also über

$B(t)=B(0)\cdot e^{\lambda t}$

Nur leider wird in Schulbüchern häufig nicht e als Basis verwendet, sondern eine Zahl a,b > 1 ≠ e (vermutlich weil man e noch nicht eingeführt hat) (nicht signierter Beitrag von 46.223.50.74 (Diskussion) 17:35, 30. Mär. 2014 (CEST))

Man sollte hier nicht alle Varianten aufführen, vor allem wenn der Unterschied trivial ist, weil sonst wirds zu unübersichtlich und wirklich verstanden hat man ein Konzept ohnehin erst, wenn mans unabhängig von der konkreten Notation versteht. Die Unterschiede zwischen deiner Notation und der im Artikel ist ja nur, dass du b^t statt a^t schreibst und dass du für B(0) auch b schreibst. --MrBurns (Diskussion) 22:10, 30. Mär. 2014 (CEST)

Hallo, ich melde mich kurz, weil ich deine Edits gesehen habe. Zumächst einmal kann ich verstehen, warum du die Anmerkung platziert hast und finde gut, dass du auf dieser Diskussionsseite nachgefragt hast. Kollege Benutzer: Kmhkmh als Mathespezialist hat dies zurückgesetzt, daher könntest du auch direkt bei ihm auf seiner Disk unter Benutzer Diskussion:Kmhkmh nachfragen. Bezüglich deinem Beitrag ist mir aufgefallen, dass du erstens keine Quelle angegeben hast, zweitens einem Leser zuzumuten ist, sich mit Hilfe in dem Artikel aufgeführter Notation den Sachverhalt selbst zu erschließen - wohl wissend, dass dies SuS schwer fallen dürfte - und drittens ist eine solche Anmerkung wirklich bei Wikipediaartikeln eher unüblich. In der Mathematik ist die uneinheitliche Schreibweise immer ein Problem, aber dies könnte man auch in einem Mathe-Unterricht thematisieren. Vielleicht wäre ein Abschnitt "Alternative Schreibweise" sinnvoll - quasi als Kompromiss. Wenn dir das Problem insgesamt am Herzen liegt, kannst du auch unter Portal Diskussion:Mathematik anfragen. Auf jeden Fall kannst du davon ausgehen, dass die Rücksetzung nicht böswillig erfolgte, manchmal gibt es einfach Standards, die Neuen noch nicht so vertraut sind. Grüße, --Marianne 22:23, 30. Mär. 2014 (CEST)

Ich habe das zurückgesetzt, weil ich das aufzählen diverser redundanter Notationen nicht wirklich für sinnvoll/hilfreich halte. Welchen Sinn sollte es machen, wenn man hier am Ende die Notationsvarianten aller Bundesländer sowie der Schweiz und Österreichs stehen hat? Gerade gegenüber Schülern erweckt man doch sehr einen falschen Eindruck von der Bedeutung der Notation. Wie dem auch sei, wenn die Mehrheit der Autoren hier, insbesondere der Hauptautoren , eine Aufzählung der Notation wünscht bzw. für sinnvoll hält, will ich dem nicht im Wege stehen, auch wenn ich es persönlich nicht für sinnvoll halte. Allerdings sollte eine Wiedereinfügen möglichst nicht nur auf den Präferenzen eines einzelnen Autors beruhen und sie müsste auch, wie oben schon angesprochen, ein Beleg angeben.

Noch etwas zur Basis, bei Wachstumsprozessen nicht alles bezogen auf die natürliche Basis anzugeben ist durchaus sinnvoll, da sich anderen Basen oft "natürlich" aus der Aufgabenstellung heraus ergeben (Verdopplung, Halbierung, prozentuelles Wachstum, etc.) und eine Umstellung auf die Basis oft nicht notwendig ist bzw. wenn nur aus innermathematischen Gründen vorgenommen wird.--Kmhkmh (Diskussion) 06:02, 31. Mär. 2014 (CEST)

Ok, Kmhkmh, deine Argumentation ist mir schlüssig. Von mir aus muss die Baden-Würrtembergische Notation nicht extra drinstehen, so viel Umdenken muss verlangt werden können. Und du hast Recht: Potenziell könnte dann der Artikel unnötig groß werden. (nicht signierter Beitrag von 46.223.50.74 (Diskussion) 22:35, 3. Apr. 2014 (CEST))

Verwaister Link

Der Link zum Einzelnachweis 20 "Thomas Kämpe: Weltbevölkerung. Abgerufen am 16. April 2013 (PDF; 2,4 MB)." funktioniert nicht mehr. Ich habe auch keine neu URL googlen können. (nicht signierter Beitrag von Wikinanda (Diskussion | Beiträge) 16:22, 19. Feb. 2015 (CET))

Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion)

Mit der Erklärung "$t$ bezeichnet die Zeit" sind Terme wie "$t+1$" oder oder "$p^{t}$" bedeutungslos, da $t$ nicht als Zahl, sondern als physikalische Größe definiert ist. Das sollte richtig gestellt werden. --Modalanalytiker (Diskussion) 13:45, 13. Feb. 2019 (CET)

Nachdem hier weder Widerspruch noch Edit folgt, kann der Artikel in dem bemängelten Punkt nach Ansicht seiner Urheber ja auch richtig sein. Dann bitte ich nur noch um eine kleine Nachhilfe. Wieviel ist zwei hoch fünfundneunzig Stunden? Die im Artikel präsentierte "Wachstumsfunktion" $B(t)=B(0)\cdot b^{t}$ verlangt die Lösung so ungewöhnlicher Rechenaufgaben. Für mich ist die Aufgabe nur Text, kein mathematischer Term. Aber vielleicht können die hier tätigen Autoren doch einen Zahlenwert ausrechnen? Ich bitte darum. 21:34, 15. Feb. 2019 (CET)

Schade, dass das keiner hier ausrechnen kann. Ich lerne gern dazu. Ist jetzt nicht mehr nötig. Siehe gestrige Artikelüberarbeitung. --Modalanalytiker (Diskussion) 11:38, 20. Feb. 2019 (CET)

Abgrenzung des Exponentiellem Wachtum gegenüber polynomialem Wachtum

Das Robert-Koch-Institut berichtet, das die Corona-Fallzahlen exponentiell steigen. Um das zu verstehen, benötigt der Artikel eine Abgrenzung zu anderen Wachstumsarten. Mir fehlt heute ein Abschnitt zur Asymptotischen Entwicklung.

Exponentiell ist immer stärker als polynomial als linar, unabhängig von den Parametern der Funktionen. Womöglich reicht ein Link auf einen entsprechenden Artikel.

Statt Halbwertszeit wird die Zeit zur Verdoppelung der Fallzahlen in der Presse verglichen. Diese Zahl wollen wir nun senken. Der Mathematische Hintergrund ist interessant. --Dr Joerg Weule (Diskussion) 22:33, 29. Mär. 2020 (CEST)

Allgemeinverständlichkeit

Zur Zeit wird viel über das Wachstum der Infizierten der Coronapandemie geschrieben, etwa dass die Verdopplungszeit verringert werden sollte. In Wikipedia:Tutorial/Enzyklopädie/Verständlichkeit heißt es:

"Die Artikel sind an alle Menschen adressiert, daher sollte neben der korrekten Darstellung auf Verständlichkeit geachtet werden".

Das ist hier nicht der Fall.

Der Atikel wurde verbessert also:

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Joachim Mohr (Diskussion) 17:14, 6. Apr. 2020 (CEST)

.

Halbwertszeit

Warum findet man nicht schnell die Umformung der exponentiellen Funktion in eine Form mit Halbwertszeit oder Zeit für die Verdoppelung? Das ist doch das spannende und macht die Sache anschaulich.--Dr Joerg Weule (Diskussion) 19:56, 8. Apr. 2020 (CEST)

Corona

Das Rober-Koch-Institut hat immer berichtet, noch ist es ein exponentielles Wachstum und daher können Maßnahmen nicht gelockert werden. Wer dann hier exponentielles Wachstum nachschlägt hat nicht notwendig die mathematische Vorbildung für die Formeln. Dennoch sollte die Brisanz der Corona-Formulierung das Wachstum ist weiterhin exponentiell dem Leser (z.B. ein Journalist) nahe gebracht werden. Dies könnte dann der Einstieg zu weiterem Interesse an der Mathematik sein.--Dr Joerg Weule (Diskussion) 19:56, 8. Apr. 2020 (CEST)

Ich finde in Beispiel 2 von Exponentielles_Wachstum#Funktion_des_exponentiellen_Wachstums wird doch ganz anschaulich erklärt,wie schnell aus anfänlich 1000 Infizierten bei unbegrenztem Wachstum 1/2 Million Infizierte werden. --Joachim Mohr (Diskussion) 19:48, 10. Apr. 2020 (CEST)

Sollte es doch nicht irgendwo darauf hingewiesen werden, dass die Zahlen der Corona-Pandemie NICHT exponentiell wachsen? Das zu zeigen, könnte eine Abitur (bzw. Matura) Aufgabe sein. Es sollte klar sein, dass die Anzahl der Toten das Ausschlaggebende für die Art der Funktion ist (einer(m) MathematikerIn sollte das klar sein, da die Mortalitätsrate der Krankheit -ich meine hier, welcher Prozentsatz der Angesteckten stirbt- logischerweise nicht von der Anzahl der Angesteckten abhängt). Nimmt man die Todesfälle in Italien bis am 21. März (also als die Maßnahmen sicherlich immer noch überhaupt keine Wirkung auf die Todesfälle hatten), bekommen wir bei Regression folgende Bestimmheitsmaßen (R²): Exponential: 0,1 (!) ; Linear 0,7 (!) ; logistische Funktion fast 1 (!). Dass ich keinen Artikel finde, um das mit Quelle hier in Wikipedia einzubeziehen, finde ich wirklich deprimierend. Sogar Abitur-Kenntnisse reichen dafür aus...

Die Rate der Angesteckten, die stirbt, ist die Lethalitätsrate. Die Mortalitätsrate ist dagegen der Anteil der Toten an der Gesamtbevölkerung.--77.11.225.121 07:32, 30. Apr. 2020 (CEST)

Und dazu eine Bemerkung im Artikel, was ich schon korrigiert habe: Das Wachstum von Bakterien in der Natur ist ja kein "exponentielles Wachstum", das zu einem "logistischen Wachstum" überläuft. Wir haben schon von Anfang an annähernd eine logistische Funktion, die halt am Anfang einer exponentiellen stark ähnelt. Zu sagen, dass wir am Anfang eine Exponentialfunktion hätten ist meines Wissens schlicht und einfach falsch, da die "begrenzenden Faktoren" schon von Anfang an vorhanden sind (Ausnahme in den letzten hunderten Jahren scheint das Bevölkerungswachstum zu sein).

Und noch eine Bemerkung. Allein den richtigen Namen für die Corona-Zahlen zu benutzen (logistische statt exponentielle) hilft allerdings bei der Prognose der Pandemie nicht. Da sind auch andere Daten notwendig. Die logistische Funktion wird nicht zufällig in Chaostheorie benutzt... LG Georg Yomomo (Diskussion) 12:00, 16. Apr. 2020 (CEST)

Ich halte das nicht für falsch bzw. es einfach eine Frage der Modellierung bzw. der Problemvoraussetzung. Für bestimmte Zeitabschnitte wird das Wachstum halt relativ gut exponentiell modelliert bzw. aus vereinfachenden Annahmen ergibt sich ein exponentielles Wachstum natürlich. Diese vereinfachenden Annahmen werden aber unhaltbar wenn man längere Zeitabschnitte betrachtet, wo dann die logistische Funktion besser zur Modellierung geeignet ist. Das heißt aber eben, dass auf dem kürzeren Zeitabschnitt das logistische Wachstum automatisch die bessere Modellierung oder die echte Wachstumsfunktion ist. Denn a) für einen zu untersuchenden bzw. den interessierenden Zeitabschnitt wählt man meist die einfachste Modellierung, die die Beobachtung hinreichend gut beschreibt (in diesem Sinne ist hier expoentielles Wachstum "besser" als logistisches) b) keines der beiden Modelle beschreibt reales biologisches Wachstum notwenigerweise korrekt über längere Zeoträume, auch nicht das logistische. Denn reale biologische Population sich selten (nie?) stetig einer oberen Grenze an sondern unterliegen Schwankungen, oft gibt es Populationshöhepunkte. Bei Bakterien z.B. kann es ab einem gewissen Zeitpunkt zu einem Massensterben kommen. Und in Bezug of auf Corona bzw. Infektionen hat man immer einen Höhenpunkt und dann oft Wellen, das heißt über einen längeren Zeitraum ist auch hier die realitätsnahe Modellierung weder exponential noch logistisch.--Kmhkmh (Diskussion) 14:41, 16. Apr. 2020 (CEST)

Da hast du ja Recht :-), die logistische Funktion ist ja auch eine Annäherung. Wenn wir allerdings über den kumulierten Effekt sprechen, ist sie doch unglaublich gut für die Beschreibung. Reale biologische Populationen unterliegen Schwankungen, der kumulierte Effekt einer Epidemie innerhalb eines bestimmten Zeitraums und einer bestimmten Bevölkerung allerdings kaum. Ich hab die Daten über Corona wieder geprüft, bis zum 10. Tag könnten wir ja fast jede Gleichung annehmen (vom R² her), da wäre mir lineares Wachstum eher lieber, auch nach deiner Argumentation (das "einfachere" Modell). Bei der Modellierung aber sollte man auf mehrere Faktoren aufpassen, wie du sicher weißt. Wenn die lineare Funktion z.B. vom Gewicht in Bezug auf Größe einer Person ein Gewicht von 20 kg bei 0 Größe voraussagt, dann passt es nicht so ganz genau. Von einem exponentiellen Wachstum bei einer Pandemie zu sprechen, kann zu gewissen irreführenden Folgerung münden, was, im Fall der Corona, zu bestimmten Konsequenzen auf unseres Leben haben kann. Man kann nicht von Exponentialfunktion sprechen (ich würde sogar sagen, es ist verantwortungslos von Exponentialfunktion zu sprechen), wenn man schon weiß, dass es begrenzende Faktoren gibt, und es gibt sie in der Corona. Weiters, schon seit dem 21. März (eigentlich schon ab den 16.) könnte man die Daten aus Italien auswerten und feststellen, dass die Exponentialfunktion als Modell gar nicht stimmt. Dazu: Man hat ja die Daten von vorherigen Pandemien (vor allem die Grippe, obwohl sie sich langsamer entwickelt) und kann man da feststellen, in wie weit in solchen Fällen die logistische Funktion passt (und sie passt ziemlich gut, im Gegenteil zur exponentiellen...). Daher ist die Wahl der Exponentialfunktion als Modell ab einem gewissen Zeitpunkt völlig daneben (wie du ja auch eben notierst). Und noch dazu: die Medien betonen jeden einzelnen Fall, der zum Panik beitragen könnte, beispielsweise Jungen ohne Vorerkrankungen, die sterben. Die Tatsache, dass allein in USA in der Grippewelle 2017-2018 186 Kinder gestorben sind (im 2009 sogar mehr als 300) wird dabei verschwiegen. Das ist aber ja wie die Medien funktionieren und das ist eine andere Diskussion. Eine objektive Auswertung der Situation braucht ja Daten und nicht Einzelfälle. Manche Daten, die auch für die objektive Auswertung dazu notwendig sind, kommen nicht mal in die Öffentlichkeit, beispielsweise die gesamte Anzahl der Todesfälle nach Grund usw (und nicht nur die Toten der Corona...). Es wäre z.B. skandalös, wenn es herauskommt, dass die (gesamte) Toten pro Tag in Italien durchschnittlich weniger während der Pandemie waren. Das wird offenbar nicht der Fall sein, so schlimm aber, wie es präsentiert wurde, wird es sicherlich auch nicht sein. Und die Daten für eine objektive Auswertung fehlen in der öffentlichen Diskussion doch immer noch (obwohl eigentlich schon vorhanden). LG Georg Yomomo (Diskussion) 15:40, 16. Apr. 2020 (CEST)

In unserem Beispiel von anfänglich 1000 Infizierten mit eine Verdopplungsrate von 3 Tagen (wie es Mitte März berichtet wurde) kann man bei einer Einwohnerzahl von 80 000 000 sehr wohl im ersten Monat von einem exponentiellen Wachstum reden. Der Vergleich nach 27 Tagen ergibt:

• exponentielles Wachstum 512 000 Infizierte
• logistisches Wachstum ca. 510 000 Infizierte

Man kann also wohl sagen, dass anfangs und ungebremst das Wachstum exponentiell verläuft. --Joachim Mohr (Diskussion) 17:37, 16. Apr. 2020 (CEST)

Bei der Messung der Anzahl der infizierten gibt es immer wieder Probleme. Da braucht man eine randomisierte Messung (nämlich der Antikörper) und das war eindeutig bisher nicht der Fall. Daher kann man nur die Entwicklung der Todesfälle beobachten und zwar nur bevor die Maßnahmen eine Wirkung haben können. Dadurch bekommt man allerdings mit Sicherheit objektive Ergebnisse. Der einzige mir bekannte Fall in dieser Richtung sind die Daten der Todesfälle in Italien bis am 21. März. Da ist eindeutig zu sehen, dass ab dem 25. Tag auf keinen Fall ein exponentielles Wachstum zu belegen ist. Dazu, wenn man ein Phänomen in der Natur untersucht, das schon vorher stattgefunden hat, benutzt man halt das Modell, das für dieses Phänomen bisher besser passt. COVID 19 ist zwar eine neue Form von COVID, das bleibt allerdings immer noch eine Pandemie. Und in Pandemien passt ein exponentielles Wachstum, wenn überhaupt, nur ganz bedingt und nur ganz am Anfang (bei Corona schon längst vorbei). Den Experten allerdings ist diese Sache sicherlich bekannt, es kann nicht sein, dass sie nicht bemerkt haben, dass für die Periode ohne Maßnahmen in allen Fällen der Wachstumsfaktor stetig fiel, was eindeutig zeigt, dass wir kein exponentielles Wachstum haben. Es kann auch nicht sein, dass sie nicht wissen, dass eine objektive Messung der Entwicklung Randomisierung braucht (in der letzten Zeit, wird dieser "Detail" allerdings immer öfters erwähnt). Warum sie (immer noch) auf dieses Wort (Exp) beharren, obwohl sie von einer "Glättung der Kurve" sprechen (was bei Exp selbstverständlich nie vorkommt) verstehe ich gar nicht... Immerhin... Wie schon erwähnt, es gibt bisher noch keine mir bekannte Veröffentlichung in dieser Richtung, daher kann ich solang wie ich will darauf aufmerksam machen, das wird hier nicht erscheinen. Macht nichts :-). Es wird allerdings bald doch sicherlich der Fall sein, dass so eine Forschung veröffentlicht wird. Warten wir noch ab... Liebevolle Grüße :-) Yomomo (Diskussion) 19:29, 16. Apr. 2020 (CEST)

Unter der Rubrik Exponentielles Wachstum wird streng nur ein solches behandelt. Eine Epidemie oder Pandemie verläuft nur zeitweise oder bedingt nach einem solchen Wachstum, da von Seiten der Gesellschaft versucht wird gegenzusteuern. In den Medien wurde im zweiten Halbjahr 2020 zum Corona Wachstum auf Modellrechnungen verwiesen, die über eine solches Wachstum hinausgehen, jedoch ohne genauere bibliographische Angaben zur Einsicht und Erläuterung der vorgenommenen Maßnahmen. Ich habe auch derartiges nicht gefunden und mir zu meinem eigenen Verständnis versucht, Klarheit zu verschaffen und mit den erzwungenen Schwingungen einen sinnvollen und erfolgreichen Ansatz gefunden: Auf der einen Seite der Differentialgleichung der Anteil der freien, natürlichen Schwingung (das exponentielle Wachstum!), auf der anderen Seite nicht Null sondern der Zwang (Infektionskettenabruch!). Dieser Ansatz wird dahingehend noch unterstützt, dass in der Differentialgleichung des reinen exponentiellen Wachstums der Term 0. Grades fehlt, seine Existenz kann als der Zwang interpretiert werden. Alles weiter siehe unter SI-Modell (Eintrag in Wikipedia am 13. August 2020), insbesondere dem dortigen Abschnitt „Näherungslösung für I(t)<<N und Lockdown-Varianten (Eintrag am 15. Dezember 2020). Wie dort dargelegt, bestätigt dieser Ansatz das stufenweise Ansteigen der Infektionsrate dI(t)/dt sowie der verschiedenen Lockdown-Varianten insbesondere auf qualitative Weise weniger auf quantitative Weise. Für Lezteres ist die Einfügung dieses Ansatzes in höhere Modelle erforderlich. Die Näherungslösung leitete sich bereits im ersten Eintrag ab, in letzter Konsequenz offenbarte diese sich jedoch im November, Dezember für Deutschland. Daher der spätere Eintrag. - Offen ist nach wie vor die problematische Behandlung einer Epidemie oder Pandemie als Regelstrecke eines Regelkreises infolge der Totzeiten (allem voran der Inkubationszeit). Hat daran noch keiner gedacht? Das konnte nur grob angeschnitten werden. - Diese Erweiterung des exponentiellen Verhaltens habe ich im Artikel SI-Modell eingetragen, weil dort das Anliegen primär war, es hätte genauso gut hier eingetragen werden können.--Dgarte (Diskussion) 14:56, 21. Dez. 2020 (CET), --Dgarte (Diskussion) 20:07, 21. Dez. 2020 (CET)

Bearbeitungen in letzter Zeit

Grundsätzlich ist es natürlich sehr positiv, dass an dem Artikel immer weiter gearbeitet wird, aber meiner Beobachtung nach werden in letzter Zeit vor allem Aussagen und Formeln nochmal hinzugefügt, die sowieso schon (teilweise mehrfach) im Artikel stehen. Allein die Formel, mit der man Wachstumsfaktor und Verdopplungszeit ineinander umrechnet steht inzwischen schon drei oder viermal im Artikel. Ich fände es daher toll, wenn man bei weiteren Ergänzungen auch den Gesamtaufbau des Artikels nicht aus den Augen verliert. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:58, 13. Apr. 2020 (CEST)

Guter Punkt. Ich denke, die Abschnitte Funktion des exponentiellen Wachstums, Eigenschaften und Beispiele sollten mittlerweile ein wenig umstrukturiert werden. Vorschlag:

• Die Beispiele aus Funktion des exponentiellen Wachstums als Beispielrechnungen in Beispiele einarbeiten.
• Funktion des exponentiellen Wachstums und Eigenschaften zusammenführen.
• Wesentliche Begriffe und Notation erschlägt mit seinem Tafelwerk-Stil und sollte komplett wegfallen. Jeder notwendiger Begriff sollte stattdessen (wie in den meisten Fällen bereits geschehen) in einem eigenen Unterabschnitt eingeführt werden, begonnen bei den grundlegenden oder einfacheren Begriffen und darauf aufbauend dann die komplizierteren Begriffen .
• Grenzen des Modells gehört eher in Eigenschaften hinein.

Meinungen dazu? -- jmkeil (Diskussion) 22:50, 13. Apr. 2020 (CEST)

Als zu Beginn der Coronakrise immer wieder in der Presse auf das exponentielle Wachstum hingewiesen wurde, schaute ich nach, wie es bei WP erklärt wird und stellte fest, dass es für Laien nicht verständlich war. Deshalb habe ich dazu die Beispiele eingefügt und zwar gleich am Anfang und nicht erst nach einem Wust von Formeln, bei dessen Lektüre ein Laie aufgibt. Deswegen halte ich es auch für gut, wenn der ganze Artikel überarbeitet wird. (Mal ohne meine Mitwirkung) --Joachim Mohr (Diskussion) 12:03, 14. Apr. 2020 (CEST)

@jmkeil: Das halte ich für eine sehr guten Vorschlag. @Joachim: Danke, Beispiele sind immer hilfreich, aber wenn am Anfang ein Abschnitt mit Beispielen kommt und dann am Ende nochmal (im Wesentlichen die gleichen) Beispiele, ist das auch kein idealer Aufbau. Man sollte daher schon die Beispiele zusammenfassen, aber vielleicht dann insgesamt früher bringen. Grüße -- HilberTraum (d, m) 21:00, 14. Apr. 2020 (CEST)

Einleitung

Die Aussage: "Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes bzw. freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert." ist schlichtweg falsch! Wie man z.b. auch bei https://mathworld.wolfram.com/ExponentialGrowth.html findet, verändert sich die Bestandsgröße immer um den denselben Faktor multipliziert mit der Bestandsgröße selber. Dies ist gerade die definierende Eigenschaft für exponentielles Wachstum. In en.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth: "Exponential growth is a specific way that a quantity may increase over time. It occurs when the instantaneous rate of change (that is, the derivative) of a quantity with respect to time is proportional to the quantity itself." (nicht signierter Beitrag von Nayano2 (Diskussion | Beiträge) 17:22, 14. Apr. 2020 (CEST))

Ja, die Ableitung ist proportional zur Bestandsgröße, aber die Bestandsgröße selbst verdoppelt sich zum Beispiel alle drei Tage oder in Worten des Einleitunssatzes: "Bei diesem Wachstumsprozess verändert sich die Bestandsgröße alle drei Tage um den Faktor zwei." --Joachim Mohr (Diskussion) 18:34, 14. Apr. 2020 (CEST)

Bitteschön, der von mir kritisierte Satz ist der erste Satz in der Einleitung. Da steht nichts von Verdoppelung. Lest doch mal die englischsprachige Version. Da arbeiten sicher mehr Leute mit Sachverstand dran.--Nayano2 (Diskussion) 19:44, 14. Apr. 2020 (CEST)

Die Aussage, dass exponentielles Wachstum dadurch definiert ist, dass die Änderung der Bestandsgröße proportional zur Bestandsgröße ist, findet sich neben der englisch-sprachigen ebenso auf den französisch-, spanisch-, italienisch- und japanisch-sprachigen Wikipedia-Seiten.--Nayano2 (Diskussion) 20:32, 14. Apr. 2020 (CEST)

Die Diskussion wurde unter Benutzer_Diskussion:HilberTraum#Exponentielles_Wachstum fortgeführt. --jmkeil (Diskussion) 07:39, 15. Apr. 2020 (CEST)

Lieber HilberTraum, langsam sehe ich, dass wir hier ein semantisches Problem haben:

"bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert." Versus:

"die Änderung der Bestandsgröße proportional zum Bestand ist".

Du behauptest: "mMn war die Formulierung ok und leichter verständlich". Für mich (theoretischer Physiker) ist das leider nicht der Fall. Wie ich oben geschrieben habe, steht auf einigen fremdsprachigen ::::Wikipedia-Seiten die Formulierung, die ich in Übersetzung wiedergegeben habe. Diese Proportionalität der Änderung einer Größe zur Größe selbst definiert nun mal die Differentialgleichung für exponentielles Wachstum und deshalb ist diese Formulierung klar und eindeutig. Habe ich so in den letzten 47 Jahren schon oft gehört.--Nayano2 (Diskussion) 21:22, 14. Apr. 2020 (CEST)

Leider hat mein Nachbar, ein Musikwissenschaftler, von DGL'en keine Ahnung. Und der sollte die Einleitung doch auch verstehen (Prinzip der Allgemeinverständlichkeit). Für ihn ist die Formulierung "...bei dem bei dem die Änderung der Bestandsgröße proportional zum Bestand ist." unverständlich. Deshalb halte ich die alte Formulierung für besser: "Bei diesem Wachstumsprozess verändert sich die Bestandsgröße im gleichen Zeitraum um denselben Faktor." Konkret zum Beispiel - wie ich oben erwähnte - "Verdoppelung alle 3 Tage". Warum soll das, lieber theoretischer Physiker, falsch sein? --Joachim Mohr (Diskussion) 09:27, 15. Apr. 2020 (CEST)

Ich habe nicht geschrieben, dass das falsch ist. Ich habe geschrieben, dass man das beim Lesen des ersten Satzes noch nicht weiß. Wie versteht denn Dein Nachbar den Satz "Bei diesem Wachstumsprozess verändert sich die Bestandsgröße im gleichen Zeitraum um denselben Faktor." Ich verstehe ihn so, dass die Veränderung der Bestandsgröße konstant ist, da da ja nicht steht, dass die Veränderung proportional zur Bestandsgröße selber ist. Ansonsten erscheint mir der Hinweis auf die fremdsprachlichen Wikipedien bzgl. der Verständlichkeit als ziemlich aussagekräftig. Der "theoretische Physiker" bezieht sich auf den Administrator (?) HilbertTraum, der laut seiner Wikipedia-Seite Mathematiker ist.--Nayano2 (Diskussion) 11:14, 15. Apr. 2020 (CEST) Letztendlich möge doch bitte HilberTraum erklären, wieso der Satz wie er da steht richtig formuliert ist. Mich erinnert diese Diskussion ein wenig an die aktuelle Diskussion zum "Beweis" der abc-Vermutung durch Shinichi Mochizuki, der sagt seine Kritiker seien zu dumm, seinen Beweis zu verstehen.--Nayano2 (Diskussion) 11:22, 15. Apr. 2020 (CEST) Übrigens: Die dem Artikel zugeordneten Kategorien sind:

   Analysis / Folgen und Reihen / Theorie der Differentialgleichungen--Nayano2 (Diskussion) 11:57, 15. Apr. 2020 (CEST)

Gut, du meinst "Die Bestandsgröße verändert sich im gleichen Zeitraum um denselben Faktor" ist nicht präzise genug. Vielleicht ist dann nicht klar, dass "Faktor" was mit Multiplikation zu tun hat. Dann schreiben wir doch einfach "Die Bestandsgröße vervielfacht sich im gleichen Zeitraum um denselben Faktor. In die Formel übersetzt heißt das: Sei v ein gewisser Zeitraum und k der dazu passende Faktor, dann folgt: Wenn B(v)=k*B(0), dann ist B(v+v)=k*k*B(0), B(v+v+v)=k*k*k*B(0) usw. und das bedeutet exponentielles Wachstum. (Die additive Struktur des Aguments geht über in eine multiplikative Struktur der Bestandsgröße) --Joachim Mohr (Diskussion) 18:20, 15. Apr. 2020 (CEST)

Weil ich hier nochmal konkret angesprochen wurde: Ich sehe das eigentlich so wie Joachim. Es ist auch schwer zu „erklären“, warum ich den Satz genauso verstanden habe (Ich habe ihn halt gelesen und wusste, was damit gemeint ist). -- HilberTraum (d, m) 19:49, 15. Apr. 2020 (CEST)

Also ich finde den Satz so eigentlich auch in Ordnung und sehe das ähnlich wie Joachim Mohr, dass eine Einleitung bzw. eine erste Beschreibung ohne Rückgriff auf die Ableitung wegen der besseren Allgemeinverständlichkeit vorzuziehen ist.--Kmhkmh (Diskussion) 20:02, 15. Apr. 2020 (CEST)

Und ich habe den Satz gelesen und nicht so verstanden. Deshalb ist der Satz für mich offensichtlich nicht allgemeinverständlich. Ich bin auf den Artikel übrigens über die Tagesschau.de Begriffserklärung zur Corona-Krise gekommen, die den alten Wikipedia-Text eins zu eins übernommen hatten. Die jetzige Version dort mit ausführlicher Erklärung ist verständlich und vielleicht könnte man sowas bzw. wie Joachim Mohr oben geschrieben hat dazu ergänzen. In der Sprache der Epidemiologie stellt man damit die Reproduktionszahl in den Vordergrund. Die ist nun i.A. gerade nicht zeitlich konstant! Trotzdem spricht man von exponentiellem Wachstum, weil das nach international anerkanntem Sprachgebrauch (siehe oben) durch die Proportionalität zur Bestandsgröße definiert ist.

Ich gebe hiermit meine Verbesserungsbemühungen auf. Ich persönlich komme vollständig mit der englischsprachigen Wikipedia aus.--Nayano2 (Diskussion) 20:38, 15. Apr. 2020 (CEST) Offensichtlich haben sich ja hier drei Mathematiker versammelt. Glaubt Ihr wirklich Ihr wisst was allgemeinverständlich ist?--Nayano2 (Diskussion) 20:46, 15. Apr. 2020 (CEST)

Die Änderung auf "vervielfacht" anstatt "verändert" ist gut. Das Problem sind Mehrdeutigkeit und implizite Annahmen. Die einen lesen "Faktor" und denken an Multiplikation anstatt an "zu bestimmende Einflussgröße" Die anderen lesen "verändern" und denken an d/dx anstatt an ${\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}$. Explizit ist besser als implizit. Mit superschnellem Beispiel fest machen ist sehr gut.

Approximation an gegebene Daten

Es gibt noch keinen Abschnitt der beschreibt, wie zu gegebenen Daten eine passende Kurve angenähert werden kann. Als aktuelles Kroblem kann die Corona-Kurve bieten, wenn nach lägerer Zeit mit einer Reproduktionsrate von 1 es aufgrund der Lockerungen wieder exponentielles Wachtum gibt. Wie schätzt man die aktuelle Reproduktionsrate aus gegebenen Daten? --Dr Joerg Weule (Diskussion) 17:01, 29. Apr. 2020 (CEST)

Ein solcher Abschnitt wäre auch nicht sinnvoll im Artikel. Wie man das prinzipiell macht, steht z.B. in Ausgleichungsrechnung. Wenn die Frage ist, wie eins das jetzt sofort machen würde, dann z.B. hier: http://gnuplot.sourceforge.net/docs_4.2/node82.html --2A02:8388:6281:F080:418E:35:5786:67D7 23:30, 1. Mai 2020 (CEST)

Diagramme "Exponentielles Wachstum" und "Exponentieller Zerfall"

Hallo zusammen,

die Diagramme "Exponentielles Wachstum" und "Exponentieller Zerfall" unter Funktion des exponentiellen Wachstums haben keinen Bezug zum Text. Was bedeuten die dargestellten Näherungen? Gruß--Flexi-quote (Diskussion) 22:04, 30. Mär. 2021 (CEST)

Es sind die typischen Kurven des exponentiellen Wachstums bzw. Verfalls. Was aber die Näherungswerte dabei sollen, kann ich nur erahnen. Besser wären die en ohne Näherungswerte. --Joachim Mohr (Diskussion) 10:54, 31. Mär. 2021 (CEST)

Es fehlen doch vor allem auch die funktionellen Zusammenhänge mit numerischen Parametern. Diese bitte nachliefern, sonst müssen die Diagramme wieder entfernt werden. Gruß --Flexi-quote (Diskussion) 17:56, 31. Mär. 2021 (CEST)

Meinst Du Angaben wie f(x)=2^x? --Joachim Mohr (Diskussion) 19:57, 31. Mär. 2021 (CEST)

Also ich wäre auch dafür die beiden Grafiken gegebenfalls zur ersetzen (svg statt png ist ohnehin wünschendwert) oder zumindest mit mehr Kontext zu versehen. Worauf beziehen sich hier exakt und Näherung? Zudem sieht man beiden Fällen den exponentillen Charakter mit den gegebenen Ausschnitten kaum an, zwar kann man sich anhand der ablesbaren Koordinaten eventuell davon überzeugen, das es sich um eine exponentielle Kurve handelt, aber dann sollte diese Überlegung bzw. Rechnung auch Teil der Illustration sein oder zumindest die explizite Angabe der Funktion vorhanden sein.--Kmhkmh (Diskussion) 12:42, 1. Apr. 2021 (CEST)

P.S. Ich habe sie jetzt einmal dementsprechend ersetzt.--Kmhkmh (Diskussion) 15:22, 1. Apr. 2021 (CEST)

Gut gemacht! --Joachim Mohr (Diskussion) 16:55, 1. Apr. 2021 (CEST)

Dem schließe ich mich an! :) --Flexi-quote (Diskussion) 21:00, 1. Apr. 2021 (CEST)

Taktrate

Ich finde die Änderungen in Exponentielles_Wachstum#Funktion_des_exponentiellen_Wachstums zwar nicht falsch aber unnötig.

Bisher:

$B(t)=A\cdot b^{t}$ $A>0$ und $b>0$

oder gleichwertig $B(t)=A\cdot e^{\lambda t}$ mit $\lambda =\ln(b)$. Hier muss die Einheit der Zeit t außerhalb der Formel im Kontext angegeben werden.

Die Änderung:

$B(t)=A\cdot b^{t/T}$ $A>0$ und $b>0$ mit der in Bezug genommenen Taktrate T z.B. 1 Sekunde,

oder gleichwertig $B(t)=A\cdot e^{\lambda t}$ mit $\lambda =\ln(b)/T$. Hier wird die Einheit der Zeit in der Formel mitgeführt und macht sie umständlicher. Außerdem Taktrate kenne ich nur im Zusammenhang mit Computern und da bedeutet es was ganz anderes.

Was jetzt nicht passt

In den Beispiele müssten die Formeln angepaßt werden.

• Zinseszins: Jahr
• Epidemie: Tage
• Radioaktiver Zerfall: Jahr

Die Formeln werden einfacher, wenn sich die Taktrate im Kontext und nicht in der Formel erscheint, so wie jetzt in den Beispielen und Bilder.

Meine Meinung: Diese "Verbesserung" Rückgängig machen. --Joachim Mohr (Diskussion) 16:29, 15. Mai 2021 (CEST)

Das Problem ist zum ersten die Dimensionalität. λ hat die Einheit 1/s, woher soll die Einheit ohne entsprechenden Faktor kommen? Gleiches gilt für den Logarithmus aus Sekunden. Setze ich die Zeit in Jahren ein, ist das Ergebnis naturgemäß um den entsprechenden Faktor anders als mit der Zeit in der Dimension von Sekunden. Formeln sind grundsätzlich dimensionsneutral. Die stillschweigende "Verabredung", Strecken in Lichtjahren oder hier die Zeit in Sekunden einzusetzen, nennt man "zugeschnittene" Formeln, wenn dies in der Formel kenntlich gemacht wird (zB t/s). Einfacher ist es dann doch, das mittels einer Konstanten zu erledigen oder hier noch einfacher mit einer Variablen. Wenn es nicht kenntlich gemacht wird, ist es eine "Zahlenwertgleichung", die seit vielen Jahrzehnten nach SI "verboten" ist. Das Rechnen in "natürlichen Einheiten" fällt grundsätzlich auch unter dieses Thema, wird aber leider allgemein toleriert. Für den Laien ist es nicht nachvollziehbar sondern Zauberei. Ich sehe mir die Folgerungen an, die ich wohl übersehen hatte. Ra-raisch (Diskussion) 19:20, 15. Mai 2021 (CEST)

zwei Zeilen weiter unten taucht sowieso die gleichwertige Formel auf: $T_{2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}$ . Die Beispiele können so bleiben, wenngleich die Variable t plötzlich die "Zeit in Jahren" also eine dimensionslose Zahl sein soll, was in der Physik nicht gerade üblich ist und innerhalb des Artikels auch nicht dasselbe Formelzeichen für verschiedene Größen verwendet werden sollte. Aber das halte ich für geringere Schönheitsfehler. Besser wäre es wohl, τ=t/T einzuführen.

Das Wort "Taktrate" hatte ich aus dem Ärmel geschüttelt, weiter unten wird das Wort Vervielfältigungszeit einbal als Tb und einmal als Tv eingeführt. Ich habe meine Korrektur angepasst. Ra-raisch (Diskussion) 20:14, 15. Mai 2021 (CEST)

Betrachten wir die Definition der Geschwindigkeit:

$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$.

Nach Deinem Verständnis müsste man schreiben:

$v={\frac {\Delta s/L_{v}}{\Delta t/T_{v}}}$.

Richtig? --Joachim Mohr (Diskussion) 09:58, 16. Mai 2021 (CEST)

Der 1.April ist lange vorbei, wovon sprichst Du? Wenn Du allerdings erzwingen willst, dass man in km/h rechnet, dann muss das so ähnlich gemacht werden. Ansonsten darf jeder für s und t einsetzen, was er will, und erhält dann diese frei gewählte Kombination. Ra-raisch (Diskussion) 16:05, 16. Mai 2021 (CEST)

Nach längerem Nachgeben muss ich Dir recht geben.

Setze ich $\Delta s=50km$ und $\Delta t=2h$ in $v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$ ein, so erhalte ich, $v={\frac {25km}{h}}$; so sind wir es gewohnt.

Setze ich $A=1000$ € und $t=9Jahre$ $inK(t)=A\cdot 1{,}08^{t/Jahre}$, so erhalte ich 1199 €.

Also solltest Du auch die "Schönheitsfehler" in den Beisielen konsequenterweise in dieser Form abändern. --Joachim Mohr (Diskussion) 10:15, 18. Mai 2021 (CEST)

Gut, freut mich. Es wäre gerade bei einem Beispiel tolerabel, aber ich versuche es schöner zu machen. Ra-raisch (Diskussion) 22:46, 18. Mai 2021 (CEST)

Meines Erachtens noch nicht erledigt. Die Beispiele sollten doch auch nicht dimensionslos gerechnet werden. Ich schlage vor:

Bei einem Anfangskapital von $A=100Eur$ ist nach 9 Jahren das Kapital wegen $K(9Jahren)=100Eur\cdot 1{,}08^{9}=199{,}90Eur$ auf 199,90 EUR angewachsen, es hat sich also fast verdoppelt. --Joachim Mohr (Diskussion) 16:05, 19. Mai 2021 (CEST)

Man muss Beispiele nicht übertreiben, aber es stimmt, dass die Angabe des Parameters schief ist. Tatsächlich kann man aber durchaus τ=t/Tb als den dimensionslosen Parameter ansehen. Genau genommen müßte ja auch der Zinssatz als Parameter mitgeführt werden, und die jeweilige Bezugsgröße Tb. Das überlastet ein Beispiel aber und wird auch in den obigen Rechnungen nicht so gehandhabt. Ra-raisch (Diskussion) 17:43, 19. Mai 2021 (CEST)

Ich habe es in K(τ) geändert, das ist besser, stimmt. Ra-raisch (Diskussion) 17:48, 19. Mai 2021 (CEST)

"Tagesschau"-Beispiel

Video: Veranschaulichung von exponentiellem Wachstum

Hat mal jemand versucht, das Beispiel nachzurechnen? - Wenn ja, mit welchem Rechner/welchen Einstellungen?

Geht man von λ=ln(2) und exponentiellem Wachstum aus, dann werden die Zahlen sehr schnell sehr groß. m(n)=e^(ln(2)*(n-1)) gibt bei "2 Tage" korrekt 2 aus, aber bei m(61) kommen 1,1529215E18 raus; m(61) ist dann auch nicht 100*m(55), sondern nur 64.

Völlig jeden Rahmen sprengt das Beispiel, wenn man m(60) = G (obere Schranke) setzt und versucht, damit den Verlauf für Logistisches Wachstum zu bestimmen. Dann wäre dort der Wachstumsfaktor k=-(ln(G-2)-ln(2G-2))/G = 1,202418686E-18. Die meisten Rechner runden bei r*10^17 * s*10^-18 auch schlicht s zu 0.

Die ganze Rechnung sprengt schon jeden vernünftigen Rahmen wenn man bedenkt, wie groß die "Wiese" sein müßte um 576,5 Billiarden(!!!) Löwenzahn unterzubringen.

ME hat da irgendwer irgendwelche Zahlen hingeworfen ohne darüber nachzudenken, daß er mit 2^59 Pflanzen nicht viel unter den 2^63 Weizenkörnern ist, die der Erfinder des Schachspiels der Legende nach von König erbat; die Legende soll eben zeigen, daß 2^n schon bei überschaubaren Zahlen (Felder auf einem Schachbrett, wobei das erste mit 2^0=1 Weizenkorn belegt ist) unbeherrschbar werden kann.

Daher fände ich es besser, ein realistischeres Beispiel zu nehmen. Wenn man die Verdopplung pro Tag hier als nur für die ersten Tage gültig ansieht und nach Tag 54 von einer Verdopplung des zugewachsenen Feldteiles ausgeht, sind nach 60 Tagen erst (2^6=)64% des Feldes zu; das ganze Feld ist erst nach 60,64 Tagen vollständig zugewachsen. Damit ist das für jeden Mittelstufenschüler falsch. Mitten im Video wird auch die Zählung geändert von "am Anfang des 1. Tages/2. Tages" zu "nachdem 54/60 Tage vergangen sind". --2003:C8:471E:2D00:F4AE:E8EC:FCA0:9552 16:17, 1. Sep. 2023 (CEST)

Schon bim ersten Anschauen, fand ich den Film nicht gut. Ich bin für die Entfernung! --Joachim Mohr (Diskussion) 18:25, 1. Sep. 2023 (CEST)