Die Cauchy-Produktformel, auch Cauchy-Produkt oder Cauchy-Faltung, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy gestattet die Multiplikation unendlicher Reihen. Dabei handelt es sich um eine diskrete Faltung.
Sind
und
zwei absolut konvergente Reihen, dann ist die Reihe
mit ![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7762046c8a865b674ad9c1b09434d6af0ebd3dca)
ebenfalls eine absolut konvergente Reihe und es gilt
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4d518a300129b275b0c1bd54a57fe57858ccc9)
Die Reihe
wird Cauchy-Produkt der Reihen
und
genannt. Die Koeffizienten
können als diskrete Faltung der Vektoren
und
aufgefasst werden.
Schreibt man diese Formel aus, so erhält man:
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\underbrace {(a_{0}b_{0})} _{c_{0}}+\underbrace {(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})} _{c_{1}}+\underbrace {(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})} _{c_{2}}+...+\underbrace {(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})} _{c_{n}}+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40beff30d745b8f3e15471cb7995e6fe7d081235)
Bricht man diese Reihe bei einem gewissen Wert von
ab, so erhält man eine Näherung für das gesuchte Produkt.
Speziell für die Multiplikation von Potenzreihen gilt
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}{(x-x_{0})}^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }\beta _{n}{(x-x_{0})}^{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}{\alpha _{k}\beta _{n-k}}\right)(x-x_{0})^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790335c45a9547e62cde5f2a9609e112409e91fa)
Als Anwendungsbeispiel soll gezeigt werden, wie sich die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion aus der Cauchy-Produktformel herleiten lässt.
Die Exponentialfunktion
konvergiert bekanntlich absolut. Daher kann man das Produkt
mittels des Cauchy-Produktes berechnen und erhält
![{\displaystyle e^{x}e^{y}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {y^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}{\frac {1}{(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d65580134a80e5d759257899d8db02e5b198cb)
Nach Definition des Binomialkoeffizienten
kann man das weiter umformen als
![{\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(x+y)^{n}=e^{x+y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94654391291893fd2dd8b04cadc05e03666b96bc)
wobei das vorletzte Gleichheitszeichen durch den binomischen Lehrsatz gerechtfertigt ist.
Es soll das Cauchy-Produkt
![{\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166d1078faceaba2edd3d61c70978eecf73dfbc8)
einer nur bedingt konvergenten Reihe mit sich selbst gebildet werden.
Hier gilt
![{\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c69b6387c84a22e6c2d645b636f6a1b8c0be4cc)
Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
angewendet auf die Wurzel im Nenner folgt
![{\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{n+2}}={\frac {2(n+1)}{n+2}}\geq 1\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de04e0933ba8591e51e7eac321e7c5a308ee530e)
Da die
somit keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe
Mit Hilfe der Cauchy-Produktformel kann die Inverse einer Potenzreihe mit reellen oder komplexen Koeffizienten berechnet werden. Wir setzen hierfür
und
. Die Koeffizienten
berechnen wir mithilfe von:
,
wobei wir im letzten Schritt die Cauchy-Produktformel verwendet haben. Mit einem Koeffizientenvergleich folgt daraus:
![{\displaystyle r=0:\ a_{0}b_{0}=1\Rightarrow b_{0}={\frac {1}{a_{0}}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ae8c9fd7a50db385f02e154a2a12e1cf5fa7d6)
![{\displaystyle r=1:\ a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=0\Rightarrow b_{1}=-{\frac {a_{1}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}}{a_{0}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce7be90f9b190e05971fe6eb87adb973e458a42)
![{\displaystyle r=2:\ a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=0\Rightarrow b_{2}=-{\frac {a_{1}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{0}}{a_{0}}}={\frac {a_{1}^{2}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{2}}{a_{0}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ab11731a1a4dc70086b9b828f562762a2a9e80)
![{\displaystyle r=3:\ a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}=0\Rightarrow b_{3}=-{\frac {a_{1}b_{2}}{a_{0}}}-{\frac {a_{2}b_{1}}{a_{0}}}-{\frac {a_{3}b_{0}}{a_{0}}}=-{\frac {a_{1}^{3}}{a_{0}^{4}}}+{\frac {2a_{2}a_{1}}{a_{0}^{3}}}-{\frac {a_{3}}{a_{0}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3994dc88be715b9ba61423169d3468f212b94f5c)
![{\displaystyle \dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5411a9d9722322917df8faecb6e01b72e3ecede4)
Zur Vereinfachung und o. B. d. A. setzen wir
und finden
.
Nach dem Satz von Mertens ist es schon ausreichend zu fordern, dass mindestens eine der beiden konvergenten Reihen absolut konvergiert, damit ihr Cauchy-Produkt konvergiert (nicht notwendigerweise absolut) und sein Wert das Produkt der gegebenen Reihenwerte ist.
Konvergieren beide Reihen nur bedingt, so kann es sein, dass ihr Cauchy-Produkt nicht konvergiert, wie obiges Beispiel zeigt.
Wenn in diesem Fall jedoch das Cauchy-Produkt konvergiert, dann stimmt sein Wert nach einem Satz von Abel mit dem Produkt der beiden Reihenwerte überein.