9j-Symbol

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9j-Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln.

Entsprechend ist das 9j-Symbol folgendermaßen über den Umkopplungskoeffizienten definiert:

Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensätze: im Einen wird mit zu gekoppelt und mit zu und danach und zu . Im Anderen wird mit zu gekoppelt und mit zu und danach und zu .

Das 9j-Symbol ist invariant unter Reflexion an seinen Diagonalen und bei gerader Permutation der Reihen oder Spalten:

Bei ungerader Permutation von Reihen oder Spalten wird mit dem Phasenfaktor multipliziert, mit . Beispiel:

Zurückführung auf 6j-Symbole

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Die 9j-Symbole lassen sich als Summen über Produkte von drei 6j-Symbolen ausdrücken:

.

Dabei wird über alle summiert, bei denen für die Faktoren die Dreiecksbedingung erfüllt ist (siehe 3j-Symbol oder 6j-Symbol).

Ein Spezialfall ist, falls das 9j-Symbol proportional einem 6j-Symbol ist:

Orthogonalitätsrelation

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Die 9j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

Das trianguläre Delta ist wie bei 3j-Symbol definiert und drückt die Einhaltung der Dreiecksbedingung aus.

  • Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
  • A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C