Der -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus von Michael F. Newman[1] und E. A. O’Brien[2][3] ist innerhalb der algorithmischen Gruppentheorie ein rekursiver Prozess für die Konstruktion des Stammbaums einer vorgegebenen endlichen -Gruppe, die als Wurzel des Baums dient.

Dabei sind endliche -Gruppen endliche Gruppen mit Primpotenz-Ordnung , für eine feste Primzahl und veränderliche ganzzahlige Exponenten .

Dieser Algorithmus ist im Softwarepaket ANUPQ (Australian National University P-Quotient)[4] der Computer-Algebra-Systeme GAP (Groups-Algorithms-Programming) und Magma implementiert. Er ist unentbehrlich für die vertiefte Erforschung von endlichen -Gruppen, weil die SmallGroups Datenbank von H. U. Besche, B. Eick and E. A. O’Brien[5][6] für jede Primzahl nur -Gruppen mit Ordnungen bis zu einer von abhängigen oberen Schranke enthält, beispielsweise für , für und für . Alle -Gruppen mit höherer Ordnung als müssen mit dem sehr leistungsfähigen und schnellen -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus konstruiert werden, wobei für kleine Primzahlen durchaus noch Ordnungen um innerhalb der experimentellen Reichweite liegen.

Untere Exponent-p-Zentralreihe

Bearbeiten

Für eine endliche  -Gruppe   ist die untere Exponent- -Zentralreihe (kurz untere  -Zentralreihe) von   eine absteigende Reihe   charakteristischer Untergruppen von   und wird rekursiv erklärt durch

  und  , für  .

Weil jede nicht-triviale endliche  -Gruppe   nilpotent ist, gibt es eine ganze Zahl  , sodass der  -Term der Reihe,  , erstmals trivial wird, und diese Zahl   wird als Exponent- -Klasse (kurz  -Klasse) von   bezeichnet. Nur die triviale Gruppe   hat die  -Klasse  . Generell kann für eine endliche  -Gruppe   ihre  -Klasse als das Minimum   definiert werden.

Die vollständige untere  -Zentralreihe von   ist daher gegeben durch

 ,

weil   die Frattini Untergruppe von   ist.

Zum Vergleich und vor allem, um die verschobene Nummerierung hervorzuheben, sei erwähnt, dass die (gewöhnliche) untere Zentralreihe von   ebenfalls eine absteigende Reihe   charakteristischer Untergruppen von   ist und rekursiv definiert wird durch

  und  , für  .

Analog wie oben existiert zu jeder nicht-trivialen endlichen  -Gruppe   eine ganze Zahl   sodass der  -Term der Reihe,  , erstmals trivial wird, und diese Zahl   wird die Nilpotenzklasse (kurz Klasse) von   genannt, während   als Index der Nilpotenz von   bezeichnet wird. Die triviale Gruppe   hat als einzige den Nilpotenzindex   und somit die Klasse  .

Die untere Zentralreihe von   ist in ihrer Gesamtheit gegeben durch

 ,

weil   die Kommutatoruntergruppe oder abgeleitete Untergruppe von   ist.

Die folgenden vier Rechenregeln sind für das Arbeiten mit der Exponent-  Klasse nützlich:

Es sei   eine endliche  -Gruppe.

R
  1. Regel:  , weil die Terme   rascher absteigen als die   (R1).
  2. Regel: Ist  , mit irgendeiner Gruppe  , dann gilt  , für alle   (R2).
  3. Regel: Für   implizieren die Bedingungen   und  , dass   (R3).
  4. Regel: Sei  . Wenn  , dann ist  , für alle  , speziell,  , für alle   (R4).

Vorgänger und Stammbäume

Bearbeiten

Der (unmittelbare) Vorgänger   einer endlichen nicht-trivialen  -Gruppe   mit Exponent- -Klasse   ist definiert als der Quotient   von   nach dem letzten nicht-trivialen Term   der unteren Exponent- -Zentralreihe von  . Umgekehrt wird in diesem Fall   ein unmittelbarer Nachfolger von   genannt. Die  -Klassen von Vorgänger und unmittelbarem Nachfolger sind verbunden durch die Beziehung  .

Ein Stammbaum ist eine hierarchische Struktur zur anschaulichen Visualisierung von Vorgänger-Nachfolger Relationen zwischen Isomorphieklassen endlicher  -Gruppen. Die Vertices (Knoten, Ecken) eines Stammbaums sind Isomorphieklassen von endlichen  -Gruppen. In Baum-Diagrammen wird jedoch ein Vertex stets durch Auswahl eines konkreten Repräsentanten der entsprechenden Isomorphieklasse etikettiert. Wenn ein Vertex   der unmittelbare Vorgänger eines anderen Vertex   ist, so wird eine gerichtete Kante des Stammbaums definiert durch   in Richtung der kanonischen Projektion   auf den Quotienten  .

In einem Stammbaum können die Begriffe unmittelbarer Vorgänger und unmittelbarer Nachfolger folgendermaßen verallgemeinert werden. Ein Vertex   ist ein Nachfolger eines Vertex  , und umgekehrt ist   ein Vorgänger von  , wenn entweder   mit   übereinstimmt oder wenn ein Pfad

 , mit der Länge  ,

von gerichteten Kanten von   zu   existiert. Die Vertices, welche den Pfad bilden, stimmen notwendigerweise überein mit den iterierten Vorgängern   von  , wobei  :

 , mit  .

Sie können auch aufgefasst werden als die sukzessiven Quotienten   der p-Klasse   von  , wenn die p-Klasse von   gegeben ist durch  :

 , wobei  .

Insbesondere definiert jede nicht-triviale endliche  -Gruppe   einen maximalen Pfad, der aus   gerichteten Kanten besteht,

 
 ,

und in der trivialen Gruppe   endigt. Der vorletzte Quotient des Maximalpfades von   ist die elementar-abelsche  -Gruppe  , also der Frattini-Quotient vom Rang  , wobei   den Generatoren-Rang (oder Erzeugenden-Rang) von   bezeichnet (Basissatz von Burnside).

Generell ist der Stammbaum   eines Vertex   der Teilbaum aller Nachfolger von  , beginnend an der Wurzel  . Der maximal mögliche Stammbaum   der trivialen Gruppe   enthält alle endlichen  -Gruppen und ist exzeptionell, weil die triviale Gruppe   die unendlich vielen elementar-abelschen  -Gruppen mit variablem Generatoren-Rang   als ihre unmittelbaren Nachfolger besitzt. Eine nicht-triviale endliche  -Gruppe (mit durch   teilbarer Ordnung) besitzt jedoch nur endlich viele unmittelbare Nachfolger.

Einhüllende p-Gruppe, p-Multiplikator und Nucleus

Bearbeiten

Ist   eine endliche  -Gruppe mit   Erzeugenden, so möchte man in einem einzelnen Rekursionsschritt des  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus eine vollständige Liste paarweise nicht-isomorpher unmittelbarer Nachfolger von   zusammenstellen. Es stellt sich heraus, dass sich alle unmittelbaren Nachfolger konstruieren lassen als Quotienten einer gewissen Erweiterung   von  , welche die einhüllende  -Gruppe ( -covering group) von   genannt und in folgender Weise definiert wird.

Es existiert stets eine Präsentation von   in Form einer exakten Sequenz

 ,

wobei   die freie Gruppe mit   Erzeugern und   einen Epimorphism mit Kern   bezeichnet. Dann ist   ein Normalteiler von  , der aus den definierenden Relationen für   besteht. Für beliebige Elemente   und  , ist das konjugierte Element   und daher auch der Kommutator   in   enthalten. Folglich ist   eine charakteristische Untergruppe von  , und der  -Multiplikator   von   ist eine elementar-abelsche  -Gruppe, weil

 .

Nun kann die einhüllende  -Gruppe von   definiert werden als Quotient

 ,

und die exakte Sequenz

 

zeigt, dass   eine (Gruppen-)Erweiterung von   mittels des elementar-abelschen  -Multiplikators ist. Man nennt

 

den  -Multiplikator-Rang von  , der mit dem Relationen-Rang   von   übereinstimmt.

Unter der Annahme, dass die vorgegebene endliche  -Gruppe   von der  -Klasse   ist, dann implizieren die Bedingungen   und  , dass   ist, gemäß Regel (R3), und der Nucleus von   kann definiert werden durch

 

als eine (ebenfalls elementar-abelsche) Untergruppe des  -Multiplikators. Folglich ist der nukleare Rang

 

von   durch den  -Multiplikator-Rang nach oben beschränkt.

Erlaubte Untergruppen des p-Multiplikators

Bearbeiten

Auch weiterhin sei   eine endliche  -Gruppe mit   Erzeugenden.

Vorbereitungssatz. Jede  -elementare abelsche zentrale Erweiterung

 

von   mit einer  -elementaren abelschen Untergruppe   sodass   ist ein Quotient der einhüllenden  -Gruppe   von  . (  bezeichnet das Zentrum von  .)

Beweis. Wegen   existiert ein (von   induzierter) Epimorphismus  , sodass  , wobei   die kanonische Projektion bezeichnet. Unter Verwendung aller Voraussetzungen ergibt sich

 

und daher  . Ferner ist   trivial, weil   als  -elementar angenommen wurde, und  , weil   zentral ist. Zusammengenommen folgt   und somit induziert   den gewünschten Epimorphismus  , sodass sich   als Quotient von   darstellen lässt. (Ende des Beweises.)

Insbesondere ist ein unmittelbarer Nachfolger   von   eine  -elementare abelsche zentrale Erweiterung

 

von  , weil aus   folgt, dass   und  , wobei  .

Definition. Eine Untergruppe   des  -Multiplikators von   wird als erlaubt bezeichnet, wenn sie als Kern   eines Epimorphismus   auf einen unmittelbaren Nachfolger   von   gegeben ist.

Eine äquivalente Charakterisierung ist, dass   eine echte Untergruppe ist, welche den Nucleus ergänzt

 .

Demnach ist der erste Teil des Vorhabens, eine vollständige Liste aller unmittelbaren Nachfolger von   zusammenzustellen, erledigt, wenn alle erlaubten Untergruppen von   konstruiert sind, welche den Nucleus   ergänzen, wobei  . Im Allgemeinen wird aber die Liste

 ,

wobei  , redundant sein, infolge von gewissen Isomorphismen   zwischen den unmittelbaren Nachfolgern.

Orbits unter fortgesetzten Automorphismen

Bearbeiten

Zwei erlaubte Untergruppen   und   des  -Multiplikators   von   heißen äquivalent, wenn die Quotienten  , also die entsprechenden unmittelbaren Nachfolger von  , isomorph sind.

Ein solcher Isomorphismus   zwischen unmittelbaren Nachfolgern von   mit   hat die Eigenschaft, dass  . Er induziert daher einen Automorphismus   von  , der fortgesetzt werden kann zu einem Automorphismus   der einhüllenden  -Gruppe   von  . Die Einschränkung dieses fortgesetzten Automorphismus   auf den  -Multiplikator   von   ist durch   eindeutig bestimmt.

Wegen der Beziehung   induziert jeder fortgesetzte Automorphismus   eine Permutation   der erlaubten Untergruppen  . Man definiert   als die Permutationsgruppe, welche von allen durch Automorphismen von   induzierten Permutationen erzeugt wird. Dann ist die Abbildung  ,   ein Epimorphismus und die Äquivalenzklassen erlaubter Untergruppen   sind genau die Orbits erlaubter Untergruppen unter der Operation der Permutationsgruppe  .

Letztendlich wird das Ziel, eine vollständige und irredundante Liste   aller unmittelbaren Nachfolger von   zusammenzustellen, erreicht, wenn man einen Repräsentanten   aus jedem der   Orbits erlaubter Untergruppen des  -Multiplikators   unter der Operation der Permutationsgruppe   auswählt. Das ist genau der Prozess, welchen der  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus in einem Einzelschritt der rekursiven Prozedur für die Konstruktion des Stammbaums einer vorgegebenen Wurzel   durchführt.

Erweiterbare p-Gruppen und Schrittweite

Bearbeiten

Eine endliche  -Gruppe   heißt erweiterbar, wenn sie zumindest einen unmittelbaren Nachfolger besitzt. Anderenfalls wird sie als terminal (oder Blatt) bezeichnet. Der nukleare Rang   von   erlaubt eine Entscheidung über die Erweiterbarkeit von  :

  •   ist genau dann terminal, wenn  .
  •   ist genau dann erweiterbar, wenn  .

Im Fall der Erweiterbarkeit besitzt   unmittelbare Nachfolger mit   verschiedenen Schrittweiten  , in Abhängigkeit vom Index   der entsprechenden erlaubten Untergruppen   im  -Multiplikator  . Ist   von der Ordnung  , dann hat ein unmittelbarer Nachfolger der Schrittweite   die Ordnung    .

Für das verwandte Phänomen der Multifurkation eines Stammbaums an einem Vertex   mit nuklearem Rang   siehe den Artikel über Stammbäume.

Der  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus bietet die Flexibilität, die Konstruktion unmittelbarer Nachfolger auf jene mit einer einzelnen festen Schrittweite   zu beschränken. Diese Freiheit ist sehr vorteilhaft im Fall von außergewöhnlich großen Anzahlen von Nachfolgern (siehe den nächsten Abschnitt).

Anzahl der unmittelbaren Nachfolger

Bearbeiten

Man bezeichnet die Anzahl aller unmittelbaren Nachfolger, beziehungsweise der unmittelbaren Nachfolger der Schrittweite  , von   durch  , beziehungsweise  . Dann gilt also die Summenbeziehung  . Es ist illustrativ, einige interessante endliche metabelsche  -Gruppen mit ausgedehnten Kollektionen unmittelbarer Nachfolger vorzustellen. Zur Identifikation der Gruppen verwendet man üblicherweise die SmallGroups Datenbank. Zusätzlich empfiehlt es sich, die Anzahlen   der erweiterbaren unmittelbaren Nachfolger hervorzuheben, im üblichen Format  , das von aktuellen Implementierungen des  -Gruppen-Erzeugungs-Algorithmus in den Computer-Algebra Systemen GAP und MAGMA ausgegeben wird.

Zuerst sei  .

Die einfachsten Gruppen besitzen Kommutator-Quotienten des Typs  . Siehe die Figur 4 im Artikel über Stammbäume.

  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .
  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .
  • Einer ihrer unmittelbaren Nachfolger, die Gruppe  , hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .

Im Gegensatz dazu befinden sich Gruppen mit Kommutator-Quotient des Typs   teilweise bereits jenseits des Bereichs der Berechenbarkeit.

  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .
  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,   unbekannt.
  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,   unbekannt.

Nun sei  .

Vergleichbare Gruppen mit Kommutator-Quotient des Typs   besitzen größere Anzahlen von Nachfolgern als jene mit  .

  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .
  • Die Gruppe   mit Koklasse   hat die Ränge  ,   und Nachfolgerzahlen  ,  .

Schur-Multiplikator

Bearbeiten

Vermittelt durch den Isomorphismus  ,  , kann die Quotientengruppe   als additives Analogon zur multiplikativen Gruppe   aller Einheitswurzeln angesehen werden.

Ist   eine Primzahl und   eine endliche  -Gruppe mit Präsentation  , wie in einigen obenstehenden Abschnitten, dann wird die zweite Kohomologiegruppe   des  -Moduls   als Schur-Multiplikator von   bezeichnet. Dieser kann auch als Quotientengruppe   interpretiert werden.

I. R. Shafarevich[7] hat bewiesen, dass die Differenz zwischen dem Relationen-Rang   von   und dem Erzeugenden-Rang   von   durch die minimale Anzahl von Generatoren des Schur Multiplikators von   gegeben ist, also  .

N. Boston und H. Nover[8] haben gezeigt, dass  , für alle Quotienten   mit  -Klasse  ,  , einer pro- -Gruppe   mit endlichem Kommutator-Quotienten  .

Ferner hat J. Blackhurst im Anhang On the nucleus of certain  -groups der Abhandlung von N. Boston, M. R. Bush und F. Hajir[9] bewiesen, dass eine nicht-zyklische endliche  -Gruppe   mit trivialem Schur Multiplikator   ein terminaler Vertex im Stammbaum   der trivialen Gruppe   ist, das heißt,      .

Beispiele

Bearbeiten
  • Eine endliche  -Gruppe   hat genau dann eine ausgewogene Präsentation  , wenn  , also genau dann, wenn ihr Schur Multiplikator   trivial ist. Eine solche Gruppe wird als Schur Gruppe (oder geschlossene Gruppe in der älteren Literatur) bezeichnet und sie muss ein Blatt im Stammbaum   sein.
  • Eine endliche  -Gruppe   genügt genau dann der Bedingung  , wenn  , also genau dann, wenn sie einen nicht-trivialen zyklischen Schur-Multiplikator   besitzt. Eine solche Gruppe wird Schur+1 Gruppe genannt.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. Michael F. Newman: Determination of groups of prime-power order. In: Robert A. Bryce, John Cossey, Michael F. Newman (Hrsg.): Group Theory. Proceedings of a Miniconference held at the Australian National University, Canberra, November 4–6, 1975 (= Lecture Notes in Mathematics. 573). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08131-3, S. 73–84.
  2. Eamonn A. O’Brien: The  -group generation algorithm. In: Journal of Symbolic Computation. Band 9, Nummer 5/6, 1990, S. 677–698, doi:10.1016/S0747-7171(08)80082-X
  3. Derek F. Holt, Bettina Eick, Eamonn A. O’Brien: Handbook of computational group theory. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2005, ISBN 1-58488-372-3.
  4. Greg Gamble, Werner Nickel, Eamonn A. O’Brien: ANU p-Quotient –– p-Quotient and p-Group Generation Algorithms. 2006, An Accepted GAP 4 Package, Available also in MAGMA.
  5. Hans Ulrich Besche, Bettina Eick, Eamonn A. O’Brien: The SmallGroups Library – a library of groups of small order. An accepted and refereed GAP 4 Package, available also in MAGMA, 2005.
  6. Hans Ulrich Besche, Bettina Eick, Eamonn A. O’Brien: A millennium project: constructing small groups. In: International Journal of Algebra and Computation. Band 12, Nummer 5, 2002, S. 623–644, doi:10.1142/s0218196702001115.
  7. Игорь Р. Шафаревич: Расширения с Заданными Точками Вветвления. In: Institut des Hautes Ètudes. Publications mathématiques de l’IHES. Band 18, 1963, S. 71–92, (Englisch: Igor R. Šafarevič: Extensions with given points of ramification. In: American Mathematical Society. Translations. Serie 2, Band 59, 1966, S. 128–149).
  8. Nigel Boston, Harris Nover: Computing Pro-  Galois Groups. In: Florian Hess, Sebastian Pauli, Michael Pohst (Hrsg.): Algorithmic Number Theory. 7th International Symposium, ANTS-VII. Berlin, Germany, July 23–28, 2006. Proceedings (= Lecture Notes in Computer Science. 4076). Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-36075-1, S. 1–10, doi:10.1007/11792086_1.
  9. Nigel Boston, Michael R. Bush, Farshid Hajir: Heuristics for  -class towers of imaginary quadratic fields. With an Appendix by Jonathan Blackhurst. In: Mathematische Annalen. Band 368, Nummer 1/2, 2017, S. 633–669, arxiv:1111.4679.